杜錦龍，唐明君

(1.天津理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計與智能控制實驗室，天津 300384；2.天津理工大學(xué)機(jī)電工程國家級實驗教學(xué)示范中心，天津 300384)

0 引言

振動現(xiàn)象在工程的各個領(lǐng)域普遍存在，高效地降低機(jī)器的振動對提高產(chǎn)品的加工質(zhì)量，增長機(jī)器的有效使用時間和機(jī)器的安全性尤為重要[1-2]。非線性能量阱擁有較小的質(zhì)量以及較寬的減振頻帶等優(yōu)點(diǎn)，在現(xiàn)代工程中有良好的應(yīng)用前景[3-5]。楊豪[6]等人研究了混合阻尼對非線性能量阱吸振效果的影響。熊懷[7]等人基于傳遞和耗散能量的方向，提出一個擁有較好吸振作用的立方非線性能量阱。

張也弛[8]研究了一種由兩自由度非線性能量阱和單自由度吸振器構(gòu)成的減振裝置，該裝置有較好的振動抑制效果。王國旭[9]等人研究了含有兩個彈簧的非線性能量阱在簡諧激勵下的優(yōu)化問題。楊一帆[10]研究了一種兩自由度非線性能量阱。該系統(tǒng)相對于單自由度NES能夠高效抑制主結(jié)構(gòu)的振動。Gourc[11]等人研究了在車削過程中出現(xiàn)不穩(wěn)定的顫振時，非線性能量阱的被動控制問題。劉艮[12]等人研究了非線性能量阱對懸臂矩形板振動的抑制。Wang[13]等人提出了一種新的軌道雙穩(wěn)態(tài)非線性能量阱，目的是解決傳統(tǒng)軌道結(jié)構(gòu)對能量的依賴問題。

陳建恩[14]等人提出了一種剛度遞減的非光滑吸振器，該吸振器能夠消除穩(wěn)定的高分支響應(yīng)。Li[15]等人提出了一種分段線性非線性能量阱，用于同時抑制振動和收集能量。陳建恩[16]等人對比了并聯(lián)吸振器和單自由度吸振器的吸振效能，發(fā)現(xiàn)前者吸振能力優(yōu)于后者。孫敏[17]等人研究了串聯(lián)和并聯(lián)非線性能量阱的擇選以及對此兩種能量阱提高吸振效率的研究。

具有純立方剛度的非線性能量阱因具有寬頻吸振能力而受到廣泛關(guān)注，然而，在實際工程中實現(xiàn)并長時間保持NES的純非線性剛度特性具有一定的困難。鑒于此，本文研究了純立方剛度彈性元件在實現(xiàn)過程中存在較小偏差時，非線性能量阱的失效情況。例如，當(dāng)實現(xiàn)純立方剛度的橫置線性彈簧元件在使用中受到壓縮時，就會產(chǎn)生較小的負(fù)線性剛度，進(jìn)而會對吸振器吸振效能產(chǎn)生影響。

彭獻(xiàn)[18]等人對負(fù)剛度彈簧系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并且對此系統(tǒng)的能量進(jìn)行分析。研究表明具有負(fù)剛度彈簧的振動系統(tǒng)擁有較低的固有頻率、較大的承載能力、較好的隔振效果等優(yōu)點(diǎn)。王維銳[19]等人研究了一種利用負(fù)剛度來控制車懸架的方法。蘇智偉[20]等人研究了一種含負(fù)剛度混合隔振系統(tǒng)，該系統(tǒng)能夠在較大載荷下依然保持較好的吸振效能。

目前大部分非線性能量阱的研究都沒有完全考慮到實際安裝情況，缺少由于安裝誤差或長期服役導(dǎo)致的較小正或負(fù)剛度對非線性能量阱吸振效能的影響的研究。本文研究了單自由度吸振器和串聯(lián)兩自由度吸振器在這些情況下的剛度誤差許可范圍，進(jìn)而推進(jìn)非線性能量阱在工程中的應(yīng)用。

1 單自由度吸振器吸振效能研究

由單自由度吸振器和單自由度線性主結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)如圖1所示(當(dāng)吸振器僅具有非線性剛度時，即構(gòu)成所謂的非線性能量阱)，其動力學(xué)方程為：

(1)

(2)

目前，實現(xiàn)純立方剛度最常用的方式是利用垂直于質(zhì)量塊運(yùn)動方向的兩根線性彈簧，圖2[21]給出了其示意圖。

質(zhì)量塊的運(yùn)動被限制在X軸方向上，線性彈簧的兩端分別與質(zhì)量塊和支座鉸接。其中彈簧線性剛度系數(shù)為K，原長為L，鉸支座與振子距離為l。

當(dāng)振子中的彈簧處于自由伸長狀態(tài)時，吸振器僅具有純立方剛度；當(dāng)振子中的彈簧處于拉伸狀態(tài)(l>L)時，除具有純立方剛度外，該吸振器還存在正線性剛度；當(dāng)振子中的彈簧處于壓縮狀態(tài)(l

根據(jù)靜力學(xué)分析可得回復(fù)力函數(shù)：

(3)

將F(X)對X進(jìn)行泰勒級數(shù)展開(展開前2項)得：

(4)

令L=0.2 m，當(dāng)彈簧被壓縮時，質(zhì)量塊會偏離圖2中所示的位置，根據(jù)彈簧被壓縮量的不同，可以通過勾股定理算出質(zhì)量塊的初始位置并將其用于后續(xù)計算。

令主結(jié)構(gòu)剛度k1=100 N/m，主結(jié)構(gòu)質(zhì)量M=1 kg，吸振器中小質(zhì)量塊的質(zhì)量為0.05 kg，吸振器中的線性彈簧的剛度系數(shù)K取兩個值，分別為150 N/m和500 N/m，主結(jié)構(gòu)和吸振器的線性阻尼系數(shù)均為0.01 Ns/m，則可以得出表1。

表1 彈簧具有不同壓縮程度和K值時的k2、k3值和質(zhì)量塊初始位置

主結(jié)構(gòu)能量的計算公式為：

(5)

沖擊載荷F為半波形式：

(6)

其中，T=0.4/π。

如圖3(a)所示，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且壓縮量為0.003 m時，吸振器吸振效能曲線出現(xiàn)較大波動；如圖3(b)，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且壓縮量為0.006 m時，吸振效能曲線才會出現(xiàn)波動?？梢缘贸觯瑥椈傻木€性剛度系數(shù)越小，吸振器的剛度具有較大誤差允許范圍。彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且壓縮量為0.002 m時，吸振器在較小載荷下的吸振效能比同等壓縮量下，線性剛度系數(shù)為500 N/m時的吸振效能高。吸振器在較大載荷下，兩個吸振器吸振效能曲線趨勢大致相同，可以得出，吸振器受到較小載荷且彈簧受到相同壓縮量的情況下，線性剛度系數(shù)越大，吸振器的吸振效能越低。

彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且壓縮量為0.001 m時的吸振效能比同等剛度下彈簧自由伸長狀態(tài)時的吸振效能高，彈簧剛度為150 N/m且壓縮量為0.002 m時的吸振效能比同等剛度系數(shù)下彈簧自由伸長狀態(tài)時的吸振效能高。可以得出，不論彈簧的剛度系數(shù)取值的大小，彈簧具有一個很小的壓縮量，能夠使吸振器的吸振效能大于同等條件下彈簧處于自由伸長狀態(tài)時的吸振效能。

上文研究了吸振器中的彈簧在不同壓縮狀態(tài)下的吸振效能，下面將研究彈簧在不同拉伸狀態(tài)下的情況，可以得出表2。

表2 彈簧具有不同拉伸程度和K值時的k2、k3值和質(zhì)量塊初始位置

得出彈簧具有不同K值時吸振器在不同的彈簧拉伸量下的吸振效能，如圖4。

如圖4(a)所示，吸振器在較小載荷下，彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且拉伸量為0.001 m時吸振器的吸振效能大于相同剛度系數(shù)條件下彈簧處于自由伸長狀態(tài)時的吸振效能。如圖4(b)所示，吸振器在較小載荷下彈簧拉伸量為0.002 m、0.004 m、0.006 m時的吸振效能比彈簧自由伸長狀態(tài)時的吸振效能高。可以得出，吸振器在較小載荷下，彈簧具有一定伸量時的吸振效能比彈簧自由伸長狀態(tài)時的吸振效能高。具有純非線性剛度的吸振器具有一定的激發(fā)閾值，只有外激勵達(dá)到該值，吸振器才能夠較好地發(fā)揮作用。

如圖4(a)所示，彈簧剛度系數(shù)為500 N/m且彈簧拉伸量大于0.003 m時，吸振器的吸振效能始終約為20%；如圖4(b)所示，當(dāng)彈簧剛度系數(shù)為150 N/m且拉伸量為0.008 m時的吸振效能仍保持在40%左右，比前者的吸振效能高?？梢缘贸?，彈簧剛度系數(shù)越小，彈簧的可拉伸范圍就會越大。而且，載荷增大到一定程度后，相同的剛度系數(shù)下，彈簧的拉伸量越大，吸振器的吸振效能越低。

如圖4所示，在彈簧的拉伸量為0.002 m時，剛度系數(shù)為150 N/m時的吸振效能比剛度為500 N/m時的吸振效能高?？梢缘贸?，在彈簧的拉伸量一定時，彈簧的剛度系數(shù)越小，吸振器的吸振效能越高。在系統(tǒng)受到小載荷時，不論彈簧剛度系數(shù)取值的大小，只要彈簧處于自由伸長狀態(tài)，吸振器的吸振效能均約為50%，在吸振器受到載荷約為5 N時的吸振效能達(dá)到峰值，隨著載荷不斷增加，吸振效能逐步下降，吸振效能下降的快慢取決于彈簧的剛度系數(shù)，其剛度系數(shù)越大，吸振器的吸振效能下降得越快。由圖4還可以看出，不論彈簧的剛度系數(shù)取值的大小和拉伸量數(shù)值的大小，其吸振效能曲線始終是平滑的。

2 串聯(lián)兩自由度NES吸振效能研究

本節(jié)將研究兩自由度吸振器中彈簧在拉伸或者壓縮狀態(tài)且彈簧剛度系數(shù)均為150 N/m時的吸振效能。

由串聯(lián)兩自由度吸振器和單自由度線性主結(jié)構(gòu)組成的系統(tǒng)如圖5所示，其動力學(xué)方程為：

(7)

(8)

(9)

吸振器中兩個小質(zhì)量塊的質(zhì)量均為0.025 kg，兩個線性阻尼系數(shù)均為0.005 Ns/m，主結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，研究第一、二級吸振器中彈簧在不同拉伸或壓縮量下，吸振器的吸振效能變化。首先研究僅拉伸第一級彈簧或第二級彈簧，對吸振器吸振效能的影響。如圖6所示，吸振器在較小載荷下，僅第一級吸振器具有正線性剛度時，誤差許可范圍較大。隨著載荷的增加，增大某一級吸振器正線性剛度會使吸振效能有所降低。

下面將研究第一、二級吸振器中兩個彈簧都處于拉伸狀態(tài)時的吸振效能，首先要研究第一級彈簧拉伸量固定時，第二級彈簧在不同拉伸量的影響下吸振器的吸振效能。如圖7(a)所示，隨著第二級吸振器正線性剛度的增加，吸振效能逐步下降，同樣地，如圖7(b)所示，吸振效能同樣降低，且在第二級吸振器具有較大正線性剛度時，吸振效能已不足50%。

圖8給出了第二級彈簧拉伸量固定時，第一級彈簧在不同拉伸量下的吸振效能。不論第二級吸振器正線性剛度數(shù)值的大小，增加第一級吸振器正線性剛度，吸振效能逐步下降。對比圖7和圖8可知，第二級吸振器對于彈性元件拉伸的許可范圍稍大于第一級吸振器。

圖9給出了第一、二級彈簧壓縮時的吸振效能。先研究僅壓縮第一級彈簧和第二級彈簧時的吸振效能。

如圖9(a)所示，第一級吸振器負(fù)線性剛度的增加不會降低吸振效能，反而會使吸振效能有所增加。如圖9(b)所示，第二級吸振器具有負(fù)線性剛度且吸振器在較大載荷下，才能得到較大的吸振效能，吸振效能曲線大致和圖9(a)一致?？梢缘贸觯谝患壩衿骶哂胸?fù)線性剛度時，誤差許可范圍較大。

對比圖6和圖9，可以得出某一級吸振器具有負(fù)線性剛度時的吸振效能比其具有正線性剛度時的吸振效能高，該結(jié)論和關(guān)于單自由度吸振器的結(jié)論定性上一致。

研究第一、二級彈簧都處于壓縮狀態(tài)時的吸振效能。首先研究當(dāng)?shù)谝患墢椈商幱谀硞€固定壓縮量下，第二級彈簧在不同壓縮量下的吸振效能，如圖10。

如圖10(a)所示，第二級吸振器負(fù)線性剛度數(shù)值的大小不會影響吸振效能。但是，當(dāng)?shù)谝患墢椈蓧嚎s量增大后，增加第二級吸振器負(fù)線性剛度，吸振效能曲線就會出現(xiàn)較大波動，如圖10(b)所示。但在較大載荷下，吸振效能曲線又回到相對較高位置。對比圖7和圖10，第一級吸振器具有負(fù)線性剛度時的吸振效能比其具有正線性剛度時的吸振效能高。

圖11給出了當(dāng)?shù)诙墢椈商幱谀硞€固定壓縮量時，第一級彈簧在不同壓縮量下的吸振效能。

吸振器在較大載荷下，不論第二級吸振器負(fù)線性剛度數(shù)值的大小，吸振效能都很高。但是，第一級吸振器負(fù)線性剛度越大，在較小載荷下，吸振效能曲線越容易出現(xiàn)波動，隨著載荷的增加，吸振效能曲線又回到較高位置且趨于平穩(wěn)。對比圖10和圖11可知，第二級吸振器對于彈性元件壓縮的許可范圍稍大于第一級吸振器。對比圖8和圖11，可以得出，第二級吸振器具有負(fù)線性剛度時的吸振效能比其具有正線性剛度時的吸振效能高。

3 結(jié)論

目前，關(guān)于非線性能量阱的研究較少考慮到實際安裝情況，缺少由于安裝誤差或長期服役導(dǎo)致的較小正或負(fù)線性剛度對非線性能量阱吸振效能的影響的研究。本文研究了單自由度和串聯(lián)兩自由度非線性能量阱在這些情況下的剛度誤差許可范圍，進(jìn)而推進(jìn)非線性能量阱在工程中的應(yīng)用。獲得的主要結(jié)論如下：

(1)無論單自由度吸振器還是兩自由度吸振器，相對于正線性剛度，彈性元件對于負(fù)線性剛度的誤差許可范圍較大，當(dāng)彈性元件適當(dāng)?shù)呢?fù)剛度時，甚至能夠提升吸振器的性能。

(2)對于兩自由度吸振器，第一級或第二級吸振器具有負(fù)線性剛度時的吸振效能比其具有正線性剛度時的吸振效能高。第二級吸振器對于彈性元件拉伸或壓縮的許可范圍稍大于第一級吸振器。