基于學(xué)科核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)教學(xué)原則

蔣永鴻，張 靜

(西北師范大學(xué)附屬中學(xué)，甘肅蘭州，730070)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準(2017年版)》指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。[1]具體而言，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括以下四個層次的內(nèi)容。第一層次，掌握“四基”，即基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，以及學(xué)會“四能”，即發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題；第二層次，培育“六核”，即數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析，以及提升“三會”，即用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界、用數(shù)學(xué)的語言表達世界；第三層次，鑄造數(shù)學(xué)精神(情感、態(tài)度與價值觀)。[2]本文主要探討基于學(xué)科核心素養(yǎng)開展高中數(shù)學(xué)教學(xué)的原則和策略。

一、教學(xué)原則

(一)情意原則

課堂教學(xué)既是知識的傳授過程，又是師生情感的交流過程?；趯W(xué)科核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)，就必須把師生情感和數(shù)學(xué)知識的趣味性有機結(jié)合在一起，教師的創(chuàng)造性勞動就在于把數(shù)學(xué)原理變換為活生生的情感，把數(shù)學(xué)知識變成充滿吸引力的精神食糧，把數(shù)學(xué)教學(xué)變成不斷探索真理有情趣的意向活動，給學(xué)生以樂此不疲的力量，讓學(xué)生在迫切的要求下愉快學(xué)習(xí)，把興趣變成樂趣，并上升為經(jīng)久不衰的志趣。

在教學(xué)“空間直線與平面垂直關(guān)系”時，教師可以創(chuàng)設(shè)以下情境。首先映入學(xué)生眼簾的是一幅畫，湖水碧波蕩漾，湖邊垂柳依依。接著展現(xiàn)一首唐詩：碧玉妝成一樹高，萬條垂下綠絲絳。不知細葉誰裁出，二月春風(fēng)似剪刀。這樣的情境可以把學(xué)生帶入春意盎然的生命時空。教師可以重點突出“垂下”二字，讓學(xué)生感受生活中線面垂直的現(xiàn)象，繼而以輕松愉快的心情進入線面垂直的探索活動。

又如，在教授“反證法”時，教師可以一幅古人彈琴的畫面、一段悅耳動聽的琴聲和一首發(fā)人深思的詩詞(若言琴上有琴聲，放在匣中何不鳴？若言聲在指頭上，何不于君指上聽？)引入教學(xué)，并讓學(xué)生思考這首詩用了什么樣的推理方法，從而把學(xué)生引入對反證法的探究活動中。

因此，教師用巧思點燃學(xué)生的熱情，用知識的意趣增添學(xué)生的興趣是情趣原則的根本。

(二)序進原則

學(xué)生的認知是一個從簡單到復(fù)雜、從單一到綜合、從片面到全面的循序漸進的發(fā)展過程。[3]因此，教師要把教材提供的內(nèi)容按學(xué)生的認知規(guī)律進行組織加工，既要重視歸納、分析、類比、概括、演繹等抽象思維活動，也要重視表象、直覺、想象等形象思維活動，要為學(xué)生構(gòu)建一條從具體到抽象、由此及彼、由表及里、由個別到一般、由片面到全面的思維通道。深奧問題淺顯化，隱蔽問題明朗化，繁雜問題條理化，疑難問題簡單化，教師需要設(shè)計和組織好一個有層次的認知序列，讓數(shù)學(xué)的發(fā)生序、教材的編寫序、學(xué)生的思維序、教學(xué)的活動序有效融合，讓學(xué)生的思維能夠經(jīng)歷一個從模糊到清晰、從具體到抽象、從直覺到邏輯的過程。例如，在教學(xué)“等比數(shù)列前n項和公式”時，教師可以為學(xué)生設(shè)計以下認知通道。

1.以故事生趣，激發(fā)求知欲望

首先，為學(xué)生講述和國際象棋有關(guān)的“棋盤麥?！眰髡f：

一位國王非常喜歡玩國際象棋，他決定獎勵國際象棋的發(fā)明者，并讓發(fā)明者自己提出要求。發(fā)明者提出：在國際象棋的棋盤上放麥粒，第1格放1粒，第2格放2粒，第3格放4粒，第4格放8粒，依次放下去，最后一格放263粒。國王原本以為這個獎賞很少，最后發(fā)現(xiàn)所需麥粒鋪在地面上可以把地球表面鋪上三厘米厚的一層。

這一故事情境可以像磁石一樣吸引學(xué)生，使他們迫不及待地想知道怎樣算出需要這么多麥粒。這時，教師可以水到渠成地引入多比數(shù)列的求和問題。

2.從定義聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)證明方法

由于學(xué)生帶著強烈的探索欲望，教師可以通過精心設(shè)計問題串，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)比教材更容易想到的推導(dǎo)方法。

師：等比數(shù)列的定義是什么？用等式表示。

師：由等式①與和等比定理可以聯(lián)想到什么？

師：在等式②中能否用Sn簡化分子、分母，分母并且用a1，q表示出Sn？

對定義的復(fù)習(xí)可以溫故知新、奠定基礎(chǔ)，學(xué)生由連等式與和式聯(lián)想到等比定理，可以有效實現(xiàn)新舊知識的同化。

3.因結(jié)論設(shè)問，培養(yǎng)嚴謹思維

在等比數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用中，學(xué)生容易犯的錯誤是忽視q=l的情形而且屢糾屢錯。為糾正這一易錯點，教師可以設(shè)計詫異情境，“欲擒故縱”。

師：前面推導(dǎo)等比數(shù)列前n項和公式的過程是否嚴謹？

生：推導(dǎo)完全正確。

師：求等比數(shù)列：2，2，2，…，2的前n項和。

這一情境不僅可以使學(xué)生完成公式推導(dǎo)，而且能有效訓(xùn)練思維的嚴謹性。

4.帶疑念閱讀，剖析方法規(guī)律

學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式推導(dǎo)方法與教材上的不一樣。教材上的推導(dǎo)方法是“錯位相減法”，這是一種十分重要的數(shù)列求和方法，不僅可以推導(dǎo)等比數(shù)列的求和公式，而且可以解決一類特殊數(shù)列的求和問題。教師可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)這種方法的步驟。

設(shè)和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1①

錯位：兩邊同乘以q：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn②

為使學(xué)生進一步理解和掌握這種方法，教師可以設(shè)置練習(xí)：求數(shù)列a,2a2,3a3,…,nan的前n項和。

這一教學(xué)過程的設(shè)計步步深入、環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生不僅可以很好地掌握公式，而且可以很好地掌握推導(dǎo)公式的數(shù)學(xué)思想與方法。

(三)活動原則

課堂教學(xué)是師生有計劃、有目的、有步驟地去完成既定目標的認知活動，也是師生的思想碰撞和情感交流活動。數(shù)學(xué)是對事物的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)關(guān)系的研究，課堂教學(xué)必須凸顯學(xué)習(xí)的活動性特征，讓學(xué)生在操作活動中掌握知識、形成能力、交流情感。例如，在教學(xué)等差數(shù)列這一概念時，教師可以設(shè)置以下循序漸進的活動過程。

1.從特殊到一般，定義讓學(xué)生下

為了使學(xué)生在頭腦中建立起對有關(guān)事物的特征與聯(lián)系的感覺、知覺，從而獲得對數(shù)列的一些具體或感性的認識，可設(shè)計“l(fā)，2，3，4…”“1，3，5，7…”“2，5，8，11，14…”“l(fā)，2，4，6，8…”四個數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生分析、比較相鄰項的關(guān)系，讓他們自己發(fā)現(xiàn)前三個數(shù)列的共同特征，從而得出等差數(shù)列的定義。這樣可以加深學(xué)生對這一概念的本質(zhì)特性的理解，同時培養(yǎng)學(xué)生歸納猜想的能力。

2.從具體到抽象，通項讓學(xué)生寫

為了使學(xué)生的認識由具體形象思維上升到抽象邏輯思維，教師需要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語言來定義，即an-an-1=d(n≥2，n∈N+)。同時，又要讓學(xué)生根據(jù)定義抽象出用首項與公差d表示的an關(guān)系式，即通項公式an=a1+(n-1)d，訓(xùn)練學(xué)生抽象概括的能力。

3.從感性到理性，性質(zhì)讓學(xué)生找

對定義教學(xué)，如果不能從定義的詞句中讓學(xué)生看到其蘊含的本質(zhì)屬性，那么學(xué)生的理解始終會停留在表象階段，更談不上從理論到實踐的應(yīng)用。因此，教師可以在等差數(shù)列的定義教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)下列性質(zhì)：若n1,n2,n3,…,nn成等差數(shù)列，則an1,an2，an3……也成等差數(shù)列；若m+n=p+q，則am+an=ap+aq。這一做法可以讓學(xué)生對定義的內(nèi)涵有更深刻的理解。

4.從理論到實踐，練習(xí)讓學(xué)生做

學(xué)生的學(xué)習(xí)始終遵循著由理論到實踐的規(guī)律，學(xué)習(xí)的目的在于應(yīng)用。學(xué)生對上述定義、通項、性質(zhì)的認識程度，只有通過練習(xí)才能鑒別、鞏固和深化。因此，筆者在課后為學(xué)生精心配置了練習(xí)題。

(四)反饋原則

課堂教學(xué)是由教師、學(xué)生、教材、教法等多種因素組成的一個動態(tài)生成系統(tǒng)，要想使系統(tǒng)有活力，就必須有信息的及時交換與暢通，有對系統(tǒng)活動的有效調(diào)節(jié)與控制。一方面，教師的教是以學(xué)生現(xiàn)有水平和潛在水平為基礎(chǔ)的，這種信息的接收要靠良好的反饋渠道。如果課堂教學(xué)缺少信息交流渠道，或不重視信息交流渠道的設(shè)計，那么教師的教就可能因缺乏信息的支持而失去“準頭”。另一方面，學(xué)生的學(xué)主要是在課堂上接收來自教師和教材的知識信息，不同的學(xué)生對同一知識的掌握所需要時間不同，理解的深淺程度不同，反應(yīng)的快慢也有差異。[4]因此，課堂教學(xué)應(yīng)遵循反饋原則，精心設(shè)計反饋渠道，促使教與學(xué)的信息收發(fā)同步、接收同頻，進而達成共識、共享、共進的目的。

在課堂教學(xué)中落實反饋原則有以下四步法：一是讓學(xué)生展開討論，說出困惑，教師做針對性答疑；二是上課觀察學(xué)生，及時提問，有效調(diào)控課堂教學(xué)的速度、難度和進度；三是讓學(xué)生進行板演，暴露存在的問題，對癥下藥；四是課前做診斷性測試題。

二、教學(xué)策略

(一)找準切入點

教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特質(zhì)選擇切入點，創(chuàng)設(shè)能觸景生情的問題情境、生活情境、科學(xué)情境，引領(lǐng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維思考，用數(shù)學(xué)的語言表達。例如，在教學(xué)“等差數(shù)列前n項和公式”時，教師可以采取以下策略。

一是用高斯的故事激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過介紹數(shù)學(xué)家高斯計算1+2+3+…+100的故事，引入等差數(shù)列的求和問題，從而激發(fā)學(xué)生強烈的學(xué)習(xí)意愿。

二是用楊輝的方法推陳出新。我國數(shù)學(xué)家楊輝曾提出以下問題：“今有草一垛，頂上一束，底闊八束，問共幾束？答：36束?！彼挠嬎惴椒梢杂脠D表示：設(shè)想有另一堆同樣的草，將其倒置，并和原來的草堆拼到一起，就得到8×9的草堆，一共72束，因此，原來的草堆共有36束。教師可以利用“本末倒置”圖形引導(dǎo)學(xué)生探索公式的推導(dǎo)方法——“倒寫相加法”，從而架起數(shù)學(xué)家的思想與學(xué)生的思維之間的認知橋梁。

三是用圖形的直觀強化記憶。教師可以借助圖形的特點創(chuàng)設(shè)聯(lián)想情境，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想到梯形的面積公式和求和公式的相似性。

等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法體現(xiàn)了整體代換、對稱、方程等重要的數(shù)學(xué)思想，準確的切入點可以使學(xué)生的認知活動變得生動而富有情趣。

(二)尋求發(fā)散點

落實數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，需要找根源，講述數(shù)學(xué)的文化背景；找方法，凸顯數(shù)學(xué)的思想方法；找變化，展示數(shù)學(xué)的多姿多彩。例如，在教學(xué)求過圓x2+y2=r2上一點P(x0,y0)的圓的切線方程時，教師可以采取以下策略。

一是推陳出新，從一題多解的視角尋找發(fā)散點。二是同性同法，讓學(xué)生在了解切線性質(zhì)法、幾何法d=r、判別式法的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)向量法和勾股定理法。三是借題發(fā)揮，從一題多變的視角尋求點：若點在圓外，過點作圓的兩條切線，求過兩切點的直線方程；如果點在圓內(nèi)，過該點作圓的弦，過弦的兩端點做圓的切線，相交于一點，求這點的軌跡方程。四是小題大做，從引申推廣的視角尋求發(fā)散點：如果點在橢圓上、橢圓內(nèi)、橢圓外，將會得到什么結(jié)果？如果點在雙曲線、拋物線上，結(jié)果又將是什么？

(三)點擊興奮點

要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，教師需要給學(xué)生問的機會，給學(xué)生思的方法，給學(xué)生悟的空間，給學(xué)生做的時間。例如，在“正切和角公式”的教學(xué)中，教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生完成公式的推導(dǎo)，然后突出公式的應(yīng)用方法，凸顯轉(zhuǎn)化的思想方法，最后讓學(xué)生正用、逆用、變形用、聯(lián)合用公式，具體做法如下。

1.順水推舟，正用公式

(1)設(shè)tanα，tanβ是方程x2-3x+2=0的根，則tan(α+β)=______。

2.逆水行舟，逆用公式

3.揚帆催舟，變用公式

tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ)

tanα+tanβ+tan(α+β)tanαtanβ=tan(α+β)

(1)已知A+B=45°，則(1+tanA)(1+tanB)的值為________。

(2)化簡：tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=________。

4.碧波蕩舟，活用公式

(1)已知△ABC不是直角三角形，求證：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

(3)A+B+C=nπ,n∈Z，求證：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC。

(四)提煉整合點

讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)的抽象概括是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵之一，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維方式。因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對所學(xué)內(nèi)容進行歸納和整理，提煉成知識系統(tǒng)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)。數(shù)學(xué)教學(xué)的整合點主要包括知識的盲點、方法的節(jié)點、思想的高點、思維的難點和素養(yǎng)的落點。以“導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用”為例，其知識的盲點是“知道求導(dǎo)數(shù)，不知道設(shè)切點”，其方法的節(jié)點是“設(shè)切點坐標，列方程組”，其思想的高點是“數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化”，其思維的難點是“列方程組的條件①y0=f(x0)，②k=f＇(x0)③y-y0=f＇(x0)(x-x0)”，其素養(yǎng)的落點是“數(shù)學(xué)推理，數(shù)學(xué)運算”。

因此，教學(xué)函數(shù)時，教師可以給學(xué)生總結(jié)以下規(guī)律：先求函數(shù)定義域，再定函數(shù)偶與奇，三判增減有成竹，四畫圖像難變易。這一規(guī)律可以讓學(xué)生做題時從思路找出路，抓細節(jié)定成敗。

數(shù)學(xué)是思維的體操，更是思維的藝術(shù)。教師需要以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為基點，精煉、拓展、延伸，把情意原則、序進原則、活動原則和反饋原則貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)之中，運用好找準切入點、尋求發(fā)散點、點擊興奮點和提煉整合點等教學(xué)策略，讓學(xué)生提出數(shù)學(xué)之問、探究數(shù)學(xué)之謎、體驗數(shù)學(xué)之妙、經(jīng)歷數(shù)學(xué)之旅、認識數(shù)學(xué)之功、欣賞數(shù)學(xué)之美、建構(gòu)數(shù)學(xué)之思，形成數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求的數(shù)學(xué)精神。