李永建 利雅婷 林志偉 程志光 田亞坤 陳瑞穎

基于改進Bouc-Wen模型的諧波激勵條件下電工鋼片磁滯特性模擬與驗證

李永建1,2利雅婷1,2林志偉1,2程志光3田亞坤1,2陳瑞穎1,2

（1. 省部共建電工裝備可靠性與智能化國家重點實驗室（河北工業(yè)大學） 天津 300130 2. 河北工業(yè)大學河北省電磁場與電器可靠性重點實驗室 天津 300130 3. 河北省輸變電裝備電磁與結構性能重點實驗室（籌） 保定 071056）

諧波分量會引起電氣設備激勵波形畸變，使鐵心損耗增加。為研究該工況下鐵心材料磁特性的變化，該文將疇壁移動時的復雜能量變化和最小化過程簡化為驅動力，將阻礙疇壁移動的釘扎力簡化處理為粘滯摩擦力，由此采用非線性力學Bouc-Wen模型對材料的磁滯現象進行描述。通過引入表征磁疇磁化的旋轉項對Bouc-Wen模型進行修正，采用修正模型實現準靜態(tài)條件下的磁滯回線模擬。通過進一步考慮渦流引起的阻力項，擴展該模型為動態(tài)模型，能夠模擬不同頻率的正弦以及高階諧波激勵條件下的非對稱回線，并詳細討論了不同激勵條件下所提出模型中的阻尼系數的變化規(guī)律及其頻率效應。通過對比實測結果與模型預測結果，驗證了模型的正確性與準確性。

電工硅鋼 諧波 Bouc-Wen模型 磁滯特性 損耗特性

0 引言

電氣設備的能量損耗主要由鐵心部件在磁化過程中的磁滯特性與渦流效應引起，因此建立能夠精確模擬鐵心材料磁滯特性及渦流分布的模型對電氣設備的高效運行具有重要意義[1]。由于電氣設備鐵心繞組中激勵電流的諧波含量不可忽視，畸變的激勵電流使鐵心磁通飽和程度增加，引起局部過熱加劇，損耗增加，嚴重危害電力系統(tǒng)的安全運行。因此，研究復雜勵磁下的磁滯和損耗特性對于電氣設備的優(yōu)化設計和安全運行至關重要[2]。

近年來眾多學者針對鐵心損耗計算進行研究，目前計算方法主要包括經驗公式法和磁滯模型法。工程上常采用的經驗公式法包括Steinmetz計算方法和Bertotti損耗分離公式法，雖計算方式簡便，但需大量實驗數據識別參數，且缺乏物理意義[3-4]。磁滯模型法主要分為數學模型和物理模型。數學模型一般精度較高，但不具備明確的物理意義[5-6]，如Preisach模型作為經典模型，可準確描述材料磁滯特性，但分布函數難以識別[7]。而物理模型一般求解過程復雜，精度較差，難以應用于實際工程材料的模擬中。如DSM(domain structure model)模型，具有嚴格的物理基礎，但求解困難[8]。此外，由于諧波會導致磁滯回線存在小回環(huán)，故要求模型具有出色的動態(tài)滯回特性[9]。然而，J-A(Jiles-Atherton)模型及Energetic模型雖具有一定物理意義，但均為靜態(tài)模型，無法應用于動態(tài)磁特性模擬[10-11]。有學者分別將J-A模型和Energetic模型與場分離模型相結合，將其擴展為動態(tài)模型用于計算復雜工況激勵下的磁滯回線[12-14]，但其計算形式復雜且非線性明顯的兩端區(qū)域計算誤差較大。因此，提出數學表達簡單、物理意義明確且具有較高精度的磁滯模型至關重要。

鐵磁學研究表明，磁疇與疇壁的形成是包括交換能、各向異性能、磁彈性能、疇壁能以及退磁能等在內的總能量最小化的結果。在外場作用下，能量重新分配，形成新的磁疇結構。而疇壁的移動過程受到外場、交換能、各向異性能、摻雜和內部的釘扎效應等因素影響[15]，能量項的相互作用非常復雜，磁化過程中復雜的疇壁移動過程與動力學過程相似，本文把由多種復雜能量變化驅動疇壁移動的力簡化為推動疇壁移動的動力；把微小區(qū)域能量漲落及缺陷造成的疇壁移動阻力，即釘扎力簡化為粘滯摩擦力。因此，可用滯回動力學模型Bouc-Wen模型[16]來描述磁疇結構的變化，從而建立了材料的微觀磁疇結構變化對宏觀特性影響的物理模型。相較于Preisach模型、改進的J-A模型及Energetic模型，基于Bouc-Wen模型改進的適用于磁滯模擬的新模型表達形式更加簡單，物理意義相對明確，同時可以保證計算的準確性。因此，從計算效率、求解精度及擴展性等方面綜合考慮，該模型具有廣闊的應用前景。

本文首先利用單片測試儀(Single Sheet Tester, SST，100mm′500mm)測量取向硅鋼片在準靜態(tài)、不同頻率正弦以及不同階次、相位諧波等激勵下的磁特性。其次，采用Bouc-Wen模型描述磁化過程中的疇壁運動過程，并引入描述磁疇磁矩旋轉項對Bouc-Wen模型加以改進，使該模型能夠較準確地模擬疇壁移動與磁疇磁矩轉動形成的磁滯回線。進一步引入渦流引起的阻力項，使改進后的模型能夠分別模擬動態(tài)及包含諧波激勵條件下的磁滯回線。所提出的改進模型的參數作為疇壁運動和磁疇磁矩旋轉的阻尼系數，具有一定的物理意義。利用粒子群算法對各個參數進行識別，得到阻尼系數隨外場大小及頻率的變化規(guī)律。最后，將模型計算結果與實驗數據進行對比，驗證了本文所建立模型的正確性與有效性。

1 電工硅鋼的磁特性測量

對于取向硅鋼片，可以簡單地理解為只有兩個方向的磁疇；而對于非取向硅鋼片、非晶、納米晶及粉末壓制而成的軟磁復合材料，磁疇呈360°隨機分布。由于本文所提出的模型描述的是單疇壁的運動狀態(tài)，故選擇取向硅鋼的磁特性以進行模型驗證。

本文采用SST測量取向硅鋼B27R090在準靜態(tài)、動態(tài)不同頻率以及動態(tài)加載諧波等激勵條件下的磁特性。測量頻率為5～500Hz，但是在接近飽和磁化樣品時，測量頻率最高為300Hz。測試樣品的規(guī)格為600mm′100mm′0.259mm，質量為492.9g。測試平臺通過計算機終端輸入的激勵信號經功率放大器放大后施加給一次繞組用于磁化樣品。勵磁電流()與磁場強度()之間的關系滿足安培定理，即

式中，1為線圈匝數；m為磁路的等效長度，由測量線圈系統(tǒng)的幾何形式規(guī)定。測量儀器的規(guī)格參數見表1。通過測量線圈二次繞組中的電壓2()得到磁感應強度()，即

式中，2為二次繞組匝數；為樣品橫截面積。

表1 測量儀器的規(guī)格參數

Tab.1 Specifications and parameters of measuring instrument

根據上述測量原理，分別測量了不同頻率正弦激勵下的動態(tài)磁滯回線。此外，在諧波條件下測量時，勵磁電壓1()施加到一次繞組以控制變壓器鐵心內的磁感應強度波形，勵磁電壓為

式中，為基波頻率，設置為50Hz；1m為基波電壓幅值；Um為次諧波電壓幅值；φ為次諧波與基波的相位差。磁感應強度()由測量得到的二次電壓2()積分得到，其峰值為m。諧波含量η定義為次諧波磁感應強度峰值Bm與基波磁感應強度峰值1m之比，即

2 靜態(tài)磁滯特性模擬

2.1 經典Bouc-Wen模型

在機械結構領域中，對非彈性行為的記憶定義為遲滯，是材料的一種本征特性。遲滯由抵抗運動的滯回力和耗散能量產生，其中滯回力取決于瞬時形變和歷史形變。Bouc模型最初應用于非線性振動力學領域，隨后由Wen改進，廣泛應用于描述結構和機械工程領域中摩擦力的粘滯特性[17-18]。Bouc-Wen模型的原始力學模型如圖1所示，由一個線性彈簧和一個非線性單元組成，其中非線性單元由一個線性彈簧和一個摩擦塊構成。

圖1 Bouc-Wen原始力學模型

該力學模型包含兩個狀態(tài)變量，即整個模型的整體位移和彈簧的滯回位移。其中，滯回位移為整體位移與摩擦塊位移之差[19]。整個過程中，在忽略加速度的條件下，結構的非線性回復力與兩種位移之間的關系為

Bouc提出了一種滯回位移從彈性到塑性的過渡方法[19]，即

式中，參數、和控制回環(huán)的形狀；控制著回線從彈性到塑性過渡的平滑性，越小，回線越平滑。因此，R. H. Sues等建議將設置為1.0[20]。即該模型將整體位移作為輸入，由式（6）計算滯回位移，求得1和2后得到輸出。

2.2 經典Bouc-Wen模型在靜態(tài)磁化過程中的應用

根據磁化機理，疇壁的移動過程是交換能、靜磁能、退磁能和各向異性能等多種能量平衡的結果。從較為宏觀的角度上看，其運動過程類似于粘滯摩擦力的動力學過程。而在材料的磁化過程中，疇壁的不可逆移動是導致磁滯回線分裂成上下支的主要原因。為了簡化疇壁的粘滯移動過程，將驅使疇壁移動的能量變化過程類比為一種與外場相關的力，將阻礙疇壁移動的力類比為導致磁滯現象的釘扎力，故本文利用經典非線性滯回力學Bouc-Wen模型表征疇壁的非線性運動，簡化疇壁移動過程中復雜的能量最小化的平衡過程。

在模型構建過程中，假設阻力w由疇壁能的增加引起，該阻力在一定的疇壁位移w的范圍內，與w呈線性關系[21]，即

式中，=s，為系數，s為飽和磁化強度。

阻力z是由材料缺陷引起的釘扎阻力，其值反映了材料內部缺陷(如雜質或空洞)對疇壁移動過程產生的阻礙作用。在模型構建過程中，釘扎阻力可簡化認為與材料的滯回位移w呈正比，即

式中，為阻力z的阻尼系數。滯回位移反映了疇壁的粘滯摩擦阻力，由式（6）計算得到。

疇壁移動過程中受到的外場推力H為[22]

式中，H為賽曼能；為外加磁場強度。忽略加速度，外場推力H為上述幾項阻力之和，即

根據上述分析，疇壁移動引起的阻力w可視為2.1節(jié)所述的彈性阻力1，而釘扎阻力z可視為滯回阻力2。在求解時，磁感應強度作為模型輸入計算疇壁位移w，同樣通過式（6）計算滯回位移w，進而得到外場推力H，最終通過式（10）得到外場強度。

2.3 改進的Bouc-Wen模型

在高場下，磁化過程不僅包含疇壁的移動過程，還有磁疇磁矩的旋轉過程，如果使用Bouc-Wen模型來模擬高場下的磁化過程，則應考慮各向異性引起的磁矩旋轉的阻力，因此需在式（11）中加入第三項代表磁疇磁矩旋轉的阻力。該項是關于磁感應強度()的單調遞增奇函數，為了便于計算，采用雙曲正弦函數sinh[()]表達，其中系數代表磁疇磁矩旋轉的阻力系數。改進后的Bouc-Wen模型為

由于低頻激勵下的渦流效應微弱，對磁滯回線的影響可被忽略，這里將準靜態(tài)磁滯回線視作靜態(tài)磁滯回線。分別使用經典的Bouc-Wen模型式（11）與改進Bouc-Wen模型式（12）對準靜態(tài)下磁滯回線進行模擬。圖2為樣品在靜態(tài)磁化條件下磁化至1.5T時實驗值、經典模型計算值以及改進模型計算值的對比結果。

由圖2可看出，在低場下實驗值與經典模型計算值比較一致，但在高場強下，兩者相差較大。經典模型無法準確模擬磁滯回線接近飽和的部分。這是由于經典模型僅考慮了疇壁移動過程，然而材料在接近飽和狀態(tài)時，磁疇磁矩旋轉對材料磁化的貢獻逐漸增強。改進后的模型式（12）考慮了磁矩旋轉對磁化的貢獻，計算得到的磁滯回線與實驗測得的回線很好地吻合，提高了靜態(tài)磁滯回線模擬的準確性。

3 諧波激勵下磁滯模型應用

為了模擬高階諧波對磁滯回線的影響，必須對改進后的靜態(tài)模型進一步修正。利用正弦激勵條件(如m=1.5T，50Hz)下的實驗測量結果對2.3節(jié)所述的改進靜態(tài)模型進行參數識別，并將得到的參數直接用于模擬該磁感應強度下，含有諧波激勵條件(如m=1.5T，5=20%，5=90°)下的磁滯回線，與實驗值進行對比，對比結果如圖3所示。可以看出，若直接將靜態(tài)模型的參數用于模擬包含諧波激勵條件下的磁滯回線，則小回環(huán)的回轉點在磁滯回線的另一支上，無法準確模擬小回環(huán)，使計算值與實驗值差別較大。目前研究表明，經典的Bouc-Wen模型可模擬結構或構件在循環(huán)力作用下的滯回特性。考慮了與移動速度成正比的粘性摩擦力之后，Bouc-Wen模型可進一步描述動態(tài)的滯回特性[19]。為了描述包含諧波激勵的磁性材料的動態(tài)磁滯特性，本文在經典Bouc-Wen中增加描述動態(tài)特性的分量，使得改進的模型具備描述動態(tài)特性的功能。

圖3 未考慮動態(tài)分量的計算值與實驗值對比

第2節(jié)討論了靜態(tài)磁化過程中通過磁疇結構的變化表征靜態(tài)磁特性的方法，而動態(tài)磁化過程是描述磁性材料在交變磁場下磁特性的變化過程。為了模擬動態(tài)磁特性，需要考慮渦流在疇壁移動過程和磁疇磁矩旋轉過程中產生的反作用力。根據磁疇理論，在交變磁場作用下，磁感應強度的變化是通過疇壁移動實現的。若阻礙疇壁移動的阻力主要由疇壁附近的渦流引起，則渦流阻力造成的能量損耗是由動態(tài)磁化造成的。疇壁移動的速度反映了磁化的快慢，將渦流引起的阻尼作用e設為[21]

式中，0為阻力e的阻尼系數。即將式（12）改進為

動態(tài)激勵下，勵磁頻率發(fā)生改變，疇壁的移動速度發(fā)生變化，故模型中表征疇壁移動引起阻力的阻尼系數0受到頻率及磁感應強度變化影響。為計算包含諧波激勵下的磁特性，模型應采用式（14），輸入含有諧波的波形。由于輸入的波形含有諧波，參數0需要進行調整，而其他參數的變化規(guī)律則與靜態(tài)模型一致。

4 模型仿真驗證及結果分析

本文選取不同激勵條件下的實測磁滯回線與損耗數據來驗證所建立的改進Bouc-Wen模型的準確性。

4.1 模型參數識別

2.3節(jié)所述的改進后的靜態(tài)Bouc-Wen模型(式（6）和式（12）)需要識別的參數有0、、、、、及。根據控制變量法，分析了各個變量對磁滯回線的影響，結果見表2。其中，形狀參數、、對回線狀態(tài)變量的影響相同；阻尼系數0與剩磁和磁導率有關；僅影響材料的剩磁，與材料的各向異性有關；影響回線低場強下回線面積，代表了疇壁移動做功。

表2 靜態(tài)模型參數對磁滯回線影響

Tab.2 Influence of static parameters on hysteresis loop

采用粒子群算法對準靜態(tài)條件下磁滯回線進行參數識別。目標函數設置為計算得到的磁場強度與實測磁場強度之間的相對誤差，從而實現靜態(tài)Bouc-Wen模型參數識別。目標函數為

式中，mea為實測磁場強度；cal為計算得到的磁場強度；為采樣點數。

粒子群算法通過更新一組初始化隨機粒子來搜索最優(yōu)解。在探索和尋找更好的目標函數值的過程中，粒子僅具有速度和位置兩個屬性，速度代表粒子移動的快慢，位置代表粒子移動的方向。在每一次迭代中，粒子的速度和位置信息通過跟蹤個體最優(yōu)和群體最優(yōu)進行更新[23]。具體流程如圖4所示。

圖4 粒子群算法流程

根據實驗測量結果，經上述識別過程得到的形狀參數、、可取常數，分別為10.2、5.2、0.4；可取2；阻尼系數、0及等隨m的增加單調變化，識別結果見表3。

表3 靜態(tài)Bouc-Wen模型參數識別結果

Tab.3 Parameter identification results of static Bouc-Wen model

4.2 改進的動態(tài)Bouc-Wen模型用于正弦激勵下磁特性模擬

由第3節(jié)可知，阻尼系數0為動態(tài)系數，與磁化頻率有關。為考慮參數的頻率效應，通過在50～300Hz頻率范圍下測得的磁滯特性數據分別識別參數。不同頻率下0變化規(guī)律見表4。依據參數隨頻率的變化特性，采用多項式擬合的方式得到參數0與以及m之間的關系式為

式中，1=2.652×10-2，2=-4.584×10-3，3=-1.391×10-4，4=7.4×10-2，5=1.137×10-4。

表4 不同及m下參數0變化

Tab.4 The static parameters at different frequencies and the maximum values of magnetic strength

圖5比較了不同頻率下實驗測得的磁滯回線與改進模型式（14）計算的磁滯回線?？梢钥闯?，在m＜0.7T時，計算與測量的磁滯回線兩者結果一致；當m=1.5T時，回線總體表現出一致，但在膝點出現了較大的偏差；當m＞1.5T時，計算與實驗結果偏差較大。在頻率增大時，偏差主要表現在高磁感應強度磁化時的膝點處。這是由于式（12）中引入的第三項簡單表達式雖能描述磁疇磁矩旋轉，但并不能準確地描述旋轉過程。用該模型計算的總損耗和測量結果對比見表5，當磁感應強度增大到1.5T時，計算值與測量值的相對誤差為5.87%；當磁感應強度繼續(xù)增大到高飽和狀態(tài)(m=1.7T)時，誤差增加，但仍保持在10%之內。

圖5 不同頻率正弦激勵下實測和計算的磁滯回線對比

表5 不同頻率正弦激勵下的總損耗計算值與實驗值對比

Tab.5 The comparison of calculated and experimental total loss under sinusoidal excitation

4.3 改進的Bouc-Wen模型用于諧波激勵條件下磁特性模擬

基于本文提出的動態(tài)Bouc-Wen模型，即式（14），模擬不同諧波激勵下的磁滯模型特性。根據4.2節(jié)的討論，在模型求解過程中，除了采用表3所示的靜態(tài)模型參數，動態(tài)參數0需要重新識別，用于模擬和預測諧波激勵條件下的磁滯回線。諧波激勵條件下的動態(tài)參數0見表6。

表6 諧波激勵條件下動態(tài)參數0

Tab.6 Dynamic coefficient c0 under harmonic excitation

考慮取向硅鋼在不同階次及不同相位諧波激勵條件下的磁滯回線，并將其與相應的實測回線進行對比，對比結果如圖6和圖7所示。可以看出在諧波激勵條件下，隨著諧波的階次和相位不同，磁滯回線發(fā)生畸變并出現局部回環(huán)。對比計算與實測的回線發(fā)現，二者在較低磁感應強度下吻合較好，但在較高磁感應強度下效果欠佳。在較高磁感應強度時，膝點以及回轉點處的誤差依然存在。

此外，通過對動態(tài)Bouc-Wen模型計算結果進行積分求解，得到樣品在不同諧波激勵條件下的損耗計算值，并將其與實測數據進行對比，對比結果見表7。對比可得，諧波激勵條件下的動態(tài)Bouc-Wen模型損耗計算結果與實測結果接近，誤差最大為5.75%，驗證了本文改進模型的正確性與有效性。

表7 諧波激勵條件下的總損耗計算值與實驗值對比

Tab.7 The comparison of calculated and experimental total loss under harmonic excitation

4.4 改進的Bouc-Wen模型用于直流偏磁激勵條件下磁特性模擬

在2.3節(jié)所述改進后的Bouc-Wen模型基礎上，針對直流偏磁激勵下對磁特性的影響，進一步對式（12）進行改進。改進后的形式為

式中，為附加阻力的阻尼系數，由該工況下的實驗數據識別得到。

將直流偏磁的影響看作是對疇壁移動和磁疇磁矩旋轉施加的額外阻力。為便于計算，采用一個偶函數來模擬直流偏磁引起的附加阻力，形式為式（17）的最后一項。

圖8展示了準靜態(tài)下含直流偏磁分量dc=20A/m激勵條件下磁滯回線的計算結果與測量結果對比，證明本文所提出模型能夠實現材料在直流偏磁激勵下磁滯特性的準確模擬。

圖8 準靜態(tài)偏磁激勵條件下磁滯回線計算結果與實測結果對比

5 結論

1）利用經典Bouc-Wen模型，表征疇壁在移動過程中受到的由于疇壁能增加引起的阻力和材料缺陷引起的滯回阻力。另外，引入表征磁疇磁矩旋轉項對原始模型進行改進。改進后的模型能很好地模擬取向硅鋼片準靜態(tài)磁化時的飽和磁滯回線。

2）考慮動態(tài)損耗分量對磁滯回線的影響，引入由渦流對疇壁的阻力項，并考慮了該項阻尼系數的頻率效應，將模型擴展為動態(tài)模型。改進后的動態(tài)模型可很好地模擬不同頻率正弦激勵下的磁滯特性。

3）應用改進后的動態(tài)Bouc-Wen模型模擬了包含不同諧波激勵條件下磁特性，分析比較了動態(tài)分量對于小回環(huán)模擬的重要性。通過對比計算結果與實驗測量結果，驗證了所建立的動態(tài)Bouc-Wen模型的正確性和有效性，并初步驗證了該模型在直流偏磁激勵下的模擬效果。

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An Improved Bouc-Wen Based Hysteresis Model under Harmonic Magnetization

Li Yongjian1,2Li Yating1,2Lin Zhiwei1,2Cheng Zhiguang3Tian Yakun1,2Chen Ruiying1,2

(1. State Key Laboratory of Reliability and Intelligence of Electrical Equipment Hebei University of Technology Tianjin 300130 China 2. Key Laboratory of Electromagnetic Field and Electrical Apparatus Reliability of Hebei Province Hebei University of Technology Tianjin 300130 China 3. Hebei Provincial Key Laboratory of Electromagnetic & Structural Performance of Power Transmission and Transformation Equipment Baoding 071056 China)

The excitation current of electrical equipment is distorted by harmonic components, which causes a significant increase in iron loss. This paper analogizes the complicated energy change and minimization of total energies during the domain wall motion to the driving force and simplifies the pinning force hindering the domain wall motion as viscous friction. Therefore, the nonlinear hysteretic mechanics Bouc-Wen model is adopted to characterize the hysteresis phenomenon. The initial model is modified by adding new terms that characterize the rotation of domain magnetization. The modified model is used to simulate the hysteresis loops under quasi-static magnetization. The model is further modified to a dynamic model by taking account of the resistance caused by the eddy current, then the loops under sinusoidal excitation with different frequencies and high order harmonics are simulated. The variation and frequency effect of parameters representing the damping coefficients under different excitations are discussed. Finally, the comparison between the measured and calculated results shows good agreement, and the accuracy of the proposed model is validated.

Electrical silicon steel, harmonic, Bouc-Wen model, hysteresis characteristic, loss characteristic

10.19595/j.cnki.1000-6753.tces.210994

TM41

國家自然科學基金（51777055,51690181），河北省自然科學基金創(chuàng)新群體項目（E2020202142）和河北省重點研發(fā)計劃項目（20311801D）資助。

2021-07-01

2021-09-14

李永建 男，1978年生，教授，博士生導師，研究方向為工程電磁場與磁技術、三維磁特性測量與建模。E-mail：liyongjian@hebut.edu.cn（通信作者）

利雅婷 女，1997年生，碩士研究生，研究方向為工程電磁場與磁技術。E-mail：liyatingtt@163.com

（編輯 李冰）