王龍濱，吳邦偉，李志強(qiáng)，陳勇

(1.東營(yíng)市商務(wù)局,山東東營(yíng) 257091；2.濟(jì)南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,山東濟(jì)南 250024)

0 前言

角接觸球軸承是機(jī)械系統(tǒng)的關(guān)鍵基本部件，當(dāng)角接觸球軸承的部件出現(xiàn)制造誤差和柔性變形時(shí)，軸承內(nèi)部載荷會(huì)發(fā)生非線性變化，從而產(chǎn)生異常振動(dòng)和疲勞損傷。因此，研究具有制造誤差的角接觸球軸承的振動(dòng)具有重要意義。

國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者對(duì)軸承振動(dòng)開(kāi)展了許多研究，LIU等研究了柔性圈和柔性滾子對(duì)柔性圓柱滾子軸承振動(dòng)的影響。VIITALA分析了內(nèi)圈圓度對(duì)轉(zhuǎn)子亞臨界響應(yīng)的影響。劉靜等人研究了計(jì)入內(nèi)圈表面波紋度的圓錐滾子振動(dòng)模型，分析了表面波紋度幅值和階次對(duì)圓錐滾子軸承的振動(dòng)特性。余光偉等研究了波紋度波數(shù)與某三自由度深溝球軸承振動(dòng)特性的影響規(guī)律。夏玉磊等研究了彈性支承的SDF圓柱滾子軸承振動(dòng)的耦合動(dòng)力學(xué)模型，分析圓柱滾子在工作過(guò)程中動(dòng)態(tài)特性的影響?？典h等人針對(duì)薄壁軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，分析了內(nèi)外圈波紋度等因素對(duì)軸承振動(dòng)的影響規(guī)律。李靜等人研究了航空發(fā)動(dòng)機(jī)雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性，結(jié)果表明軸承波紋度的影響加大了雙轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動(dòng)特性。周元坤等研究了載荷作用下軸承的幾何協(xié)調(diào)方程，提出了幾何協(xié)調(diào)方程與載荷作用下的迭代算法，在此基礎(chǔ)上研究了內(nèi)圈圓度誤差階次對(duì)軸承振動(dòng)的影響規(guī)律。

雖然對(duì)滾動(dòng)軸承動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了各種研究，但僅有少數(shù)學(xué)者對(duì)具有制造誤差的柔性圓柱滾子軸承動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了研究。此外，對(duì)于具有波紋度的柔性角接觸球軸承的動(dòng)力學(xué)研究還很少。因此，本文作者提出了一種計(jì)入波紋度的柔性角接觸球軸承動(dòng)力學(xué)模型，該模型考慮了潤(rùn)滑和波紋度對(duì)軸承動(dòng)力學(xué)的影響。為了測(cè)試軸承振動(dòng)，搭建了軸承振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性，研究結(jié)果對(duì)闡明軸承失效機(jī)制、提高軸承制造精度具有一定的指導(dǎo)意義。

1 角接觸球軸承的振動(dòng)模型

角接觸球軸承模型如圖1所示，可以看出：柔性角接觸球軸承圈和剛性角接觸球軸承圈之間的區(qū)別，與軸承連接的軸是剛性的。由于輪廓波紋度的存在，軸承內(nèi)部載荷會(huì)在振動(dòng)信號(hào)中產(chǎn)生邊帶頻率和峰值。潤(rùn)滑油和外部負(fù)載也會(huì)影響角接觸球軸承的振動(dòng)特性。因此，柔性角接觸球軸承和剛性角接觸球軸承之間的振動(dòng)是不同的，文中將對(duì)具有波紋度的柔性角接觸球軸承和剛性角接觸球軸承振動(dòng)進(jìn)行研究。

圖1 具有輪廓波紋度的角接觸球軸承模型

1.1 軸承油膜剛度計(jì)算方法

根據(jù)文獻(xiàn)[11]提出的等溫條件下彈性流體潤(rùn)滑(EHL)油膜厚度修正方程，點(diǎn)接觸量綱一化中心油膜厚度如式(1)：

(1)

(2)

(3)

其中，為

(4)

(5)

滾子與圈之間的油膜剛度定義為

(6)

式中:為接觸負(fù)載。因此，滾子與圈之間的綜合接觸剛度描述為

(7)

則兩圈與滾子之間的總接觸剛度為

(8)

其中:和分別為滾子與內(nèi)圈，以及滾子與外圈之間的接觸剛度。

1.2 滾子接觸力的計(jì)算方法

設(shè)第個(gè)滾子與內(nèi)外圈之間的回彈力為，與接觸彈性變形的關(guān)系為

=

(9)

式中:為載荷變形指標(biāo)，對(duì)于點(diǎn)接觸，=1.5;為滾子與圈之間的等效接觸剛度。為第個(gè)球在角度位置處的總接觸變形，表示為

sin)]+(cos+cos+cos+sin)+

i+o}12-++1+2

(10)

其中:i和o分別為內(nèi)圈和外圈上的軸向波紋度，可以表示為

(11)

(12)

此外，i和o分別為內(nèi)圈和外圈的徑向波紋度，可以表示為

(13)

(14)

其中:1和2分別為滾子與兩圈接觸點(diǎn)的中心油膜厚度;表示為

=+-

(15)

其中:和分別為內(nèi)圈和外圈通道的曲率半徑;和分別為內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸在和方向的位移；為滾子直徑；為節(jié)圓直徑；為預(yù)緊作用下內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸在方向的位移，并由下式給出：

=sin-

(16)

其中：為滾子與圈在預(yù)緊力作用下的接觸變形，可以表示為

(17)

是預(yù)緊力作用下內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸在方向上的位移，表示為

(18)

其中:為初始接觸角;是預(yù)緊力作用下的接觸角，預(yù)緊力和可以由下式得到：

(19)

另外，在任何角度位置處的第個(gè)滾子被描述為

(20)

其中:為第一個(gè)滾子的初始角速度位置;為滾子數(shù);為保持架的角速度。軸向載荷為

(21)

第個(gè)滾子接觸角可以描述為

=

(22)

其中:、為轉(zhuǎn)軸和內(nèi)圈繞、軸的擺角位移。

1.3 接觸力的計(jì)算方法

根據(jù)柔性圈變形計(jì)算方法，外圈的離心膨脹描述為

(23)

其中:是外圈轉(zhuǎn)速;為外圈彈性模量;為外圈泊松比;為外圈密度;和分別為外圈的內(nèi)徑和外徑。內(nèi)圈的離心膨脹公式為

(24)

其中:為內(nèi)圈密度;為內(nèi)圈轉(zhuǎn)速;為內(nèi)圈彈性模量;為內(nèi)圈泊松比;和分別為內(nèi)圈的內(nèi)徑和外徑。接觸載荷作用下的滾子柔性變形為

()=()(+cos+cos2)

(25)

其中:()是作用在圈上的接觸載荷;、、為剛度系數(shù)，其值可參考文獻(xiàn)[15]中的方法計(jì)算。因此，柔性圈的變形可表示為

(26)

(27)

其中:上標(biāo)i和o分別表示內(nèi)圈和外圈。在任意角位置處的總接觸變形描述為

(28)

其中：為剛性圈在任意角位置處的總接觸變形，因此滾子與柔性圈之間的接觸力可由下式表示：

(29)

1.4 動(dòng)力學(xué)方程

圖2所示為角接觸球軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，圖中h、h、h為圈體在、、三個(gè)方向上的剛度，h、h、h為圈體在、、三個(gè)方向上的阻尼。此研究在拉格朗日方程的基礎(chǔ)上，建立考慮軸承潤(rùn)滑、軸承柔性變形和波紋度的角接觸球軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：

圖2 角接觸球軸承轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

式中：、和分別為內(nèi)圈和轉(zhuǎn)軸在、、3個(gè)方向上的位移，、、分別為外圈在、、3個(gè)方向上的位移;和分別為內(nèi)圈-轉(zhuǎn)軸總質(zhì)量和外圈-圈體總質(zhì)量，和分別為軸承和圈體的阻尼系數(shù)；是重力加速度；、、分別為內(nèi)圈-轉(zhuǎn)軸繞、、軸的慣量；()、()、()分別是沿、、方向的外荷載。

2 計(jì)算結(jié)果與分析

采用四階Runge-Kutta數(shù)值解法求解角接觸球軸承的動(dòng)力學(xué)方程，分析含有波紋度的柔性軸承的動(dòng)載荷和振動(dòng)。表1給出了不同波紋度階數(shù)情況下的軸向和徑向振動(dòng)頻率，主頻率=1，諧波≥1。表2給出了不同波紋度階數(shù)情況下的振動(dòng)邊帶頻率。當(dāng)波紋度階數(shù)大于滾子數(shù)時(shí)，表2中標(biāo)記為“過(guò)大”，波紋度激勵(lì)下的軸承振動(dòng)頻率由滾子和保持架旋轉(zhuǎn)頻率組成。角接觸球軸承的幾何參數(shù)如表3所示，軸承轉(zhuǎn)速為18 000 r/min，徑向力為700 N，軸向力為1 000 N。

表1 不同波紋度情況下的主頻率和諧波

表2 不同波形情況下的邊帶頻率

表3 軸承的幾何參數(shù)

2.1 外圈波紋度(ORW)幅值對(duì)振動(dòng)的影響

外圈波紋度(ORW)階數(shù)為13，初始振幅為0.1 μm，幅值分別為5、6、7、8、9、10 μm，分別計(jì)算不同ORW振幅情況下的均方根(RMS)和峰峰值(PTP)，分析不同ORW幅值情況下柔性環(huán)和剛性環(huán)的振動(dòng)。

對(duì)于柔性環(huán)和剛性環(huán)，當(dāng)ORW的振幅為7 μm時(shí)，方向的軸承振動(dòng)如圖3所示。內(nèi)圈的振動(dòng)加速度譜如圖3(a)所示，外圈加速度譜如圖3(b)所示。當(dāng)ORW幅值分別為5、6、7、8、9、10 μm時(shí)，計(jì)算了2個(gè)環(huán)加速度的統(tǒng)計(jì)值，對(duì)于內(nèi)圈，統(tǒng)計(jì)值如圖3(c)和3(d)所示,對(duì)于外圈，統(tǒng)計(jì)值如圖3(e)和3(f)所示。在圖3(a)—(b)中，當(dāng)ORW階數(shù)等于時(shí)，特征頻率如表4表示。從圖3(c)—(f)中可以看出：2個(gè)環(huán)的RMS值和PTP值隨著ORW振幅的增加而增加。柔性環(huán)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生不同的撓性變形，從而加劇了柔性環(huán)波紋度對(duì)振動(dòng)的影響。因此，柔性環(huán)的振動(dòng)比剛性環(huán)的振動(dòng)更大。

表4 ORW的特征頻率(Nw=13)

圖3 外圈波紋度振幅對(duì)振動(dòng)的影響仿真

2.2 內(nèi)圈波紋度(IRW)幅值對(duì)振動(dòng)的影響

內(nèi)圈波紋度(IRW)階數(shù)為13，初始振幅為0.1 μm，幅值分別為5、6、7、8、9、10 μm，分別計(jì)算不同IRW振幅情況下的均方根(RMS)和峰峰值(PTP)，分析不同IRW幅值情況下柔性軸承和剛性軸承的振動(dòng)特性。

對(duì)于柔性環(huán)和剛性環(huán)，當(dāng)IRW的振幅為7 μm時(shí)，方向的軸承振動(dòng)如圖4所示。

圖4 內(nèi)圈波紋度振幅對(duì)振動(dòng)的影響仿真

內(nèi)圈的振動(dòng)加速度譜如圖4(a)所示，外圈加速度譜如圖4(b)所示。當(dāng)IRW幅值分別為5、6、7、8、9、10 μm時(shí)，計(jì)算了2個(gè)環(huán)加速度的統(tǒng)計(jì)值，對(duì)于內(nèi)圈，統(tǒng)計(jì)值如圖4(c)和圖4(d)所示,對(duì)于外圈，統(tǒng)計(jì)值如圖4(e)和圖4(f)所示。在圖4(a)—(b)中，當(dāng)ORW階數(shù)等于時(shí)，特征頻率如表5所示。從圖4(c)—圖(f)中可以看出：2個(gè)環(huán)的RMS值和PTP值隨著ORW振幅的增加而增加，柔性環(huán)的振動(dòng)比剛性環(huán)的振動(dòng)更大。

表5 IRW的特征頻率(Nw= 13)

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證角接觸球軸承的振動(dòng)模型，進(jìn)行了軸承振動(dòng)測(cè)試實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示。測(cè)試軸承安裝在芯軸的非驅(qū)動(dòng)端，2個(gè)徑向加載裝置以120°的角度加載在外圈上，軸向加載裝置加載在內(nèi)圈上。在外圈垂直方向和水平方向安裝2個(gè)振動(dòng)加速度測(cè)量頭(靈敏度9.91 mV/)，用于測(cè)量外圈、方向的加速度。

圖5 軸承振動(dòng)實(shí)驗(yàn)臺(tái)

在此實(shí)驗(yàn)中，軸承轉(zhuǎn)速為1 800 r/min,方向徑向力為150 N,方向軸向力為210 N，信號(hào)采樣頻率為20 kHz，采樣時(shí)間為10 s。實(shí)驗(yàn)和仿真得到的外圈加速度頻譜如圖6所示。實(shí)驗(yàn)和仿真得到的軸向旋轉(zhuǎn)頻率分別為30、30.5 Hz。外圈的通過(guò)頻率分別為189.7、190 Hz。內(nèi)圈的通過(guò)頻率分別為260.3、256.3 Hz。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果的、、分別相差約1.7%、-1.5%和0.16%，如表6所示。頻率之間的細(xì)微差異可能是由于滾子的打滑或電機(jī)速度誤差造成。

圖6 加速度實(shí)驗(yàn)譜與仿真譜比較

表6 實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果

4 結(jié)論

建立了柔性角接觸球軸承振動(dòng)模型，考慮了波動(dòng)幅值和波動(dòng)階數(shù)的影響。通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了振動(dòng)模型的正確性，得出結(jié)論如下：

(1)柔性環(huán)在方向加速度的統(tǒng)計(jì)值小于剛性環(huán)體，分析原因是柔性變形減小了徑向的振動(dòng)。隨著徑向力的增大，角接觸球軸承的振動(dòng)隨軸承轉(zhuǎn)速的增加而增強(qiáng)。

(2)柔性環(huán)的振動(dòng)更大。柔性環(huán)的PTP值和頻率峰值均大于剛性環(huán)，分析原因是旋轉(zhuǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的柔性變形，加劇了波紋度對(duì)振動(dòng)的影響。

(3)根據(jù)實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果，外圈加速度頻譜差異均小于1.7%，驗(yàn)證了動(dòng)力學(xué)模型的正確性。