李偉光，余秋霖，駱春林，孫菁瑤，林守金，龔德明

(1.華南理工大學(xué)機(jī)械與汽車工程學(xué)院，廣東廣州 510641；2.中山邁雷特數(shù)控技術(shù)有限公司，廣東中山 528437)

0 前言

刀具是對機(jī)械加工系統(tǒng)影響最大的加工要素，它的狀態(tài)決定了工件的加工質(zhì)量。因此，準(zhǔn)確識別滾齒刀磨損狀態(tài)能夠提高企業(yè)加工效率、降低經(jīng)濟(jì)成本。然而，由于生產(chǎn)加工環(huán)境十分復(fù)雜，采集到的主軸振動信號受到環(huán)境因素和人為因素影響，往往存在許多噪聲。為減小噪聲對信號特征的影響，對它進(jìn)行降噪尤為重要。

小波包降噪是一種常用的降噪方式，文獻(xiàn)[1]提出了一種基于互補總體經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMD)的小波包變換降噪方法。文獻(xiàn)[2]提出了一種基于總體平均經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解方法(CEEMDAN)聯(lián)合小波包分析的降噪方法。文獻(xiàn)[3]提出了一種用于一維數(shù)字信號分析的譜圖小波閾值降噪方法。

許多學(xué)者通過改進(jìn)閾值方式或結(jié)合其他降噪方法提高小波變換降噪性能，但常用的Heursure閾值、Donoho閾值等雖能對弱噪聲信號實現(xiàn)信噪分離，但對于強(qiáng)噪聲信號，效果并不理想。針對該問題，文獻(xiàn)[5]提出了一種基于樣本熵的改進(jìn)小波包閾值降噪方法，雖能去除強(qiáng)噪聲，提高信噪比，但該方法用時較長，計算速度慢，不適用于在線實時降噪分析與故障診斷。文獻(xiàn)[6]使用最小二乘法降噪以提高信噪比，該方法速度快，但信號會出現(xiàn)失真。

基于以上分析，針對實驗中樣本點數(shù)較多且信噪比低、小波包降噪效果不佳的問題，本文作者提出一種結(jié)合最小二乘擬合原理的小波包變換(Wavelet Packet Transform，WPT)方法，將它應(yīng)用于仿真實驗和滾刀主軸振動信號降噪實驗，并對所提方法進(jìn)行驗證。

1 SG-WPT基本理論

1.1 SG基本理論

Savitzky-Golay方法(以下簡稱SG)通過線性最小二乘法將相鄰離散數(shù)據(jù)點的連續(xù)子集擬合為一個低次多項式來對信號進(jìn)行降噪，是一種在時域內(nèi)的多項式最小二乘法擬合濾波方法。該方法最大的特點在于在濾除噪聲的同時可以確保信號的形狀、寬度不變，其原理如下：

一組以=0為中心的2+1個數(shù)據(jù)點可以用如下多項式擬合。

(1)

其最小二乘擬合殘差為

(2)

當(dāng)式(2)中殘差取最小值時擬合效果最好，而后通過移動該窗口數(shù)組即可得到原始數(shù)據(jù)的所有擬合點。在擬合過程中，過于偏離正常趨勢曲線的噪聲部分會被丟棄，因而該方法能夠?qū)?shù)據(jù)起到平滑濾波的作用。

1.2 小波包基本理論

如圖1所示，小波分解只對信號低頻部分進(jìn)行分解，不會對信號高頻部分進(jìn)行分解。小波包針對該問題進(jìn)行了改進(jìn)，不僅對上一層分解得到的信號中的低頻部分進(jìn)行分解，而且對高頻部分再一次進(jìn)行分解。因此，對比同層次小波分解，小波包分解后高頻信號細(xì)節(jié)更全面。小波包分解方程：

圖1 3層小波與小波包分解

(3)

(4)

式中:-2、-2分別為小波包分解中的高、低濾波系數(shù)。

小波包重構(gòu)方程如下：

(5)

式中:-2、-2分別為重構(gòu)小波包高、低濾波器系數(shù)。

1.3 SG-WPT降噪流程

SG-WPT方法降噪流程如下：

(1)選定小波基函數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)熵，確定最佳小波分解樹，進(jìn)行小波包變換，得小波包系數(shù)。信號分解的層數(shù)過大或者過小都會影響降噪性能，所以確定最佳小波分解樹尤為重要。首先，通過均方根誤差的穩(wěn)定性確定最優(yōu)分解層次；然后，比較底層子節(jié)點和父節(jié)點的代價函數(shù)值，若子節(jié)點函數(shù)值大于父節(jié)點，則父節(jié)點替代子節(jié)點。

圖2 SG-WPT降噪流程

2 仿真信號降噪實驗

為驗證該方法的有效性和可行性，采用Blocks、Bumps、Heavy sine和Doppler 4種經(jīng)典仿真信號進(jìn)行降噪實驗，并與其他方法對比。

2.1 降噪性能評價指標(biāo)

常用的降噪性能評價指標(biāo)有很多，為直觀體現(xiàn)降噪性能，采用信噪比(SNR)作為降噪效果的評價指標(biāo)。

信噪比定義為

(6)

由式(6)知，對于輸入信噪比相同的信號，降噪后輸出信噪比越大，降噪性能越好。

2.2 仿真信號降噪實驗

設(shè)定仿真信號輸入信噪比為10 dB。樣本點個數(shù)與工程應(yīng)用相對應(yīng)，設(shè)定為16 384(2)。

仿真信號降噪實驗流程如下：

(1)生成仿真信號的原信號，添加輸入信噪比為10 dB的高斯白噪聲，得到加噪后的仿真信號;

(2)采用SG-WPT方法對加噪后的仿真信號進(jìn)行降噪，得到降噪后信號;

(3)計算降噪后信號與原信號的輸出信噪比。

表1所示為仿真信號降噪流程，對原信號增加為10 dB的噪聲信號后，原信號被噪聲信號嚴(yán)重淹沒，特征難以識別。4種仿真信號經(jīng)SG-WPT降噪后，仿真信號中大部分噪聲被去除，恢復(fù)了原信號的基本特征，輸出信噪比均達(dá)到20 dB以上，信噪比提升明顯。

表1 仿真信號降噪實驗流程

分析仿真實驗結(jié)果可得：SG-WPT方法具有較強(qiáng)降噪能力，能大幅減小噪聲并避免原信號損失，使被噪聲嚴(yán)重污染的信號恢復(fù)特征。

2.3 不同階數(shù)降噪性能對比

選定上文所述4種仿真信號，設(shè)定其為10 dB，分別進(jìn)行1～10階SG-WPT降噪。由圖3可知:當(dāng)擬合階數(shù)為1時，Bumps、Heavy sine和Doppler 3種仿真信號的最大，均到達(dá)25 dB以上，隨著擬合階數(shù)的增大，出現(xiàn)陡然減小后逐漸減小的趨勢；Blocks仿真信號,其出現(xiàn)在1～3階緩慢增大，在3階以后逐漸減小的趨勢。4種仿真信號在6階擬合處，大小趨近一致，且下降趨勢變緩，相對于1階擬合平均下降了22.68%。綜上分析，第1階為最佳擬合階數(shù)。

圖3 不同階數(shù)下的信噪比輸出

2.4 與其他降噪方法的性能對比

完備集合經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(CEEMDAN)是一種在 EMD 基礎(chǔ)上改進(jìn)的方法，它克服了傳統(tǒng)EMD方法的模態(tài)混疊現(xiàn)象，解決了 EEMD 方法中計算量大、分解完備性差等問題。

經(jīng)典小波包閾值降噪方法是由小波降噪改進(jìn)而來，其中，“db7”、“sym5”、“coif1”和“demy”等小波基具有較好的降噪效果，“db7”與“sym5”小波基的降噪性能相近，且優(yōu)于“coif1”小波基。因此，選取“db7”和“demy”小波基進(jìn)行對照實驗。用文中提出的方法與以上3種方法進(jìn)行對比實驗，設(shè)定4種經(jīng)典仿真信號輸入信噪比從-20 dB遞增到10 dB，小波包分解均采用3層分解。

表2所示為4種經(jīng)典仿真信號輸出信噪比隨輸入信噪比的變化趨勢。由表2第2行可知，“db7”和“demy”小波基的降噪性能相近，降噪性能隨信噪比提高逐漸提升；CEEMDAN方法在信噪比較低時，4種仿真信號輸出信噪比提升幅值保持在4 dB左右，當(dāng)輸入信噪比達(dá)到5 dB以上，降噪性能大幅提升,信噪比提升均值為4.44 dB；而文中所采用的SG-WPT方法在信噪比較低時也能表現(xiàn)出良好的降噪性能，4種仿真信號信噪比提升均值達(dá)到16.60 dB。綜述所述，在4種仿真信號降噪實驗中，SG-WPT方法降噪性能相比于小波包和CEEMDAN降噪性能有較大改善，解決了文獻(xiàn)[4]中方法存在的問題。

表2 輸出信噪比隨輸入信噪比變化趨勢

由表3可知：CEEMDAN-相關(guān)系數(shù)法計算量大，耗時達(dá)293.872 s，明顯長于小波包降噪方法；SG-WPT降噪方法耗時略高于“db7”小波基降噪方法；而“demy”小波基降噪方法耗時高于SG-WPT方法49.3%。從耗時上分析，SG-WPT方法能夠滿足時間短、反應(yīng)快的需求，解決了文獻(xiàn)[5]中存在的問題，更符合工業(yè)生產(chǎn)加工過程中在線實時降噪分析與故障診斷的要求。

表3 4種方法對仿真信號降噪結(jié)果

由表3可知：“db7”與“demy”小波基降噪后仍殘留較多噪聲信號，難以甄別信號特征；CEEMDAN-相關(guān)系數(shù)法降噪后會出現(xiàn)信號失真現(xiàn)象，如Heavy sine仿真信號降噪后時域圖中框選部分所示，階躍信號被抹去，喪失了原信號的特征，因此穩(wěn)定性不夠；SG-WPT方法，在濾除噪聲的同時減少了原信號特征損失，因此輸出信噪比明顯提高。對于4種仿真信號，當(dāng)輸入信噪比為10 dB時，文中方法輸出信噪比相比于傳統(tǒng)小波包和CEEMDAN平均提高了31.35%和16.36%。

綜上所述，對于信噪比較低的仿真信號，文中提出的SG-WPT方法不僅能有效濾除噪聲，還能夠避免信號失真且計算速度快，彌補了傳統(tǒng)小波包閾值降噪性能差的缺陷，優(yōu)于傳統(tǒng)小波閾值方法和CEEMDAN-相關(guān)系數(shù)法。

3 滾刀主軸振動信號降噪應(yīng)用

3.1 滾刀主軸振動信號采集

為驗證文中方法在實際工程信號處理中的有效性，在某數(shù)控機(jī)床生產(chǎn)廠進(jìn)行了滾齒加工實驗，采集到了主軸振動信號。圖4所示為滾刀振動信號采集現(xiàn)場，為防止因切削液沖擊而導(dǎo)致傳感器脫落，在方向上安裝了2個PCB加速度傳感器，采集滾齒機(jī)加工過程中滾刀主軸向和向振動加速度信號，采樣頻率為12 800 Hz。加工過程中，滾刀主軸振動信號經(jīng)PCB加速度傳感器、LMS信號采集儀后傳入計算機(jī)進(jìn)行存儲和顯示。

圖4 滾刀振動信號采集現(xiàn)場

在靠近滾刀的2號傳感器采集到的信號中截取16 000個采樣點作為滾刀當(dāng)前加工狀態(tài)的振動信號，并對該信號進(jìn)行分析處理。

3.2 滾刀自轉(zhuǎn)頻率和滾切頻率

采集到的滾刀主軸振動信號中有用信號包括滾刀主軸自轉(zhuǎn)頻率和滾切頻率，它們是滾刀主軸振動信號特性的主要體現(xiàn)，可通過表4中影響滾刀主軸振動信號分析的滾齒機(jī)主要加工參數(shù)計算。

表4 影響振動信號分析的主要加工參數(shù)

滾刀主軸自轉(zhuǎn)頻率：

=60

(7)

滾刀滾切頻率：

=60

(8)

由表4中參數(shù)和式(7)(8)可計算出滾刀主軸自轉(zhuǎn)頻率和滾刀滾切頻率，如表5所示。

表5 自轉(zhuǎn)頻率和滾切頻率倍頻 單位：Hz

3.3 滾刀主軸振動信號降噪性能分析

由于CEEMDAN相關(guān)系數(shù)法耗時長、穩(wěn)定性差且“db7”與“demy”小波基降噪性能相似，選取耗時稍短的“db7”小波基與SG-WPT進(jìn)行滾刀主軸振動信號降噪對比實驗。對降噪前后的信號分別進(jìn)行FFT、包絡(luò)譜和小波終端節(jié)點的彩色系數(shù)分析，結(jié)果如表6所示。可知：針對降噪前后FFT頻域圖，可見滾刀主軸振動原信號頻率在4 500 Hz以下；“db7”小波基降噪后，1 000 Hz以上噪聲基本濾除，但1 000～2 000 Hz頻段依然存在部分噪聲，能提取1～7倍滾切頻率(～7)；SG-WPT方法降噪后，1 000 Hz以上噪聲完全濾除，能有效提取1～8倍滾切頻率特征(～8)，但FFT卻沒有有效提取出自轉(zhuǎn)頻率。因此，對其低頻部分采用包絡(luò)譜分析方法以提取其自轉(zhuǎn)頻率。

對信號先進(jìn)行Hilbert 變換后，再進(jìn)行 FFT可得到信號的包絡(luò)譜。如表6第3行所示，對比降噪前后0～70 Hz包絡(luò)譜頻域圖可知，“db7”小波基和SG-WPT方法均能將自轉(zhuǎn)頻率特征(～8)提取出，但SG-WPT降噪后，周邊信號干擾明顯減少，中心頻率更突出。

表6 降噪前后對比

由式(7)(8)可知，主軸自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率存在倍率關(guān)系，因相互疊加影響，導(dǎo)致包絡(luò)譜變換后，滾切頻率在5倍頻后出現(xiàn)中心頻率不準(zhǔn)確現(xiàn)象。因此，為取長補短，對頻率相對較低的主軸自轉(zhuǎn)頻率采用包絡(luò)譜方法進(jìn)行分析，而對頻率相對較高的滾切頻率采用FFT進(jìn)行分析。

3層小波包將原信號分為8個終端節(jié)點，每個終端節(jié)點的全局絕對值彩色系數(shù)圖中灰色線條表示信號在該段樣本點內(nèi)，存在對應(yīng)于左側(cè)頻段的頻率，顏色越深，能量和幅值越大。由此可知，原信號頻率主要在0～2 400 Hz頻段，經(jīng)“db7”小波基降噪后，在800～1 600 Hz頻段仍存留部分信號；SG-WPT降噪后，信號中800 Hz以上頻段基本去除，有效提取了主軸自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率，降噪效果明顯。綜合上述分析，在滾刀主軸振動信號降噪應(yīng)用中，文中提出的SG-WPT優(yōu)于經(jīng)典小波閾值降噪方法，降噪性能突出。

4 結(jié)論

(1)針對采樣點較多信號CEEMDAN方法計算量大耗時長、經(jīng)典小波包降噪效果不佳的問題，本文作者提出了一種基于最小二乘法平滑擬合的SG-WPT方法。將SG-WPT方法應(yīng)用于仿真實驗，結(jié)果表明該方法對于實驗中的強(qiáng)、弱噪聲信號均表現(xiàn)出良好的降噪性能，相比于傳統(tǒng)小波包和CEEMDAN分別提高了31.35%和22.71%。

(2)將SG-WPT方法應(yīng)用于滾刀主軸振動信號降噪實驗中，結(jié)果表明該方法能去除信號中的高頻噪聲，使主軸自轉(zhuǎn)頻率與滾切頻率周邊信號干擾明顯減少，中心頻率更為突出，降噪效果優(yōu)于傳統(tǒng)小波閾值降噪。

(3)在降噪后滾刀主軸振動信號頻譜分析過程中，對比FFT和包絡(luò)譜分析，包絡(luò)譜分析能更準(zhǔn)確地提取主軸自轉(zhuǎn)頻率，而FFT能更準(zhǔn)確地提取滾切頻率，在頻譜分析過程中可結(jié)合兩者優(yōu)點，取長補短。