柯偉，金仲平，呂信策，余肇鴻

(1.臺(tái)州市特種設(shè)備檢驗(yàn)檢測(cè)研究院，浙江臺(tái)州 318000；2.武漢科技大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)化學(xué)院，湖北武漢 430081)

0 前言

旋轉(zhuǎn)機(jī)械被廣泛應(yīng)用于眾多領(lǐng)域中，而滾動(dòng)軸承在旋轉(zhuǎn)機(jī)械中起著至關(guān)重要的作用，同時(shí)也是最常見(jiàn)、最主要的故障來(lái)源之一。當(dāng)軸承發(fā)生故障時(shí)，相應(yīng)的故障特征會(huì)表現(xiàn)在振動(dòng)信號(hào)中，因此對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行故障特征提取即可有效地對(duì)滾動(dòng)軸承進(jìn)行故障診斷。但是旋轉(zhuǎn)機(jī)械的傳動(dòng)系統(tǒng)十分復(fù)雜，振動(dòng)信號(hào)通常被淹沒(méi)于背景信號(hào)與噪聲中，難以被準(zhǔn)確識(shí)別。并且，在實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)中，設(shè)備往往是以變轉(zhuǎn)速的運(yùn)行狀態(tài)工作，此時(shí)滾動(dòng)軸承的故障信號(hào)為非平穩(wěn)信號(hào)，傳統(tǒng)的故障特征提取方法無(wú)法準(zhǔn)確識(shí)別其故障特征。因此，能夠揭示信號(hào)非線性時(shí)變特征的時(shí)頻分析方法(Time-Frequency Analysis，TFA)開(kāi)始為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注。

常見(jiàn)的時(shí)頻分析方法包括：短時(shí)傅里葉變換(Short-Time Fourier Transform，STFT)、Chirplet變換(Chirplet Transform，CT)、連續(xù)小波變換(Continuous Wavelet Transform，CWT)等。STFT是通過(guò)窗函數(shù)將信號(hào)切分成許多相同的小的時(shí)間間隔，近似認(rèn)為每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)的信號(hào)是平穩(wěn)信號(hào)，用傅里葉變換(Fourier Transform，F(xiàn)T)分析每一個(gè)時(shí)間間隔，以此來(lái)確定該時(shí)間間隔存在的頻率。但由于STFT是一種線性固定分辨率的時(shí)頻分析方法，受Heisenberg-Gabor不等式的約束，對(duì)復(fù)雜信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析的效果較差。連續(xù)小波變換(CWT)利用一個(gè)小波函數(shù)在局部時(shí)間窗口內(nèi)與信號(hào)相乘，具有多分辨率、局部性好等優(yōu)勢(shì)，但其窗口仍是相對(duì)固定的，不能夠根據(jù)信號(hào)特征調(diào)節(jié)窗口參數(shù)。CT是一種具有較高分辨率的參數(shù)化時(shí)頻分析方法，采用變換核函數(shù)，通過(guò)一個(gè)額外的調(diào)頻參數(shù)，使之能更好地匹配待分析信號(hào)，達(dá)到更優(yōu)的時(shí)頻分析效果。

傳統(tǒng)時(shí)頻分析方法自身存在一些不足，無(wú)法滿(mǎn)足高分辨率的需要，這就需要對(duì)它們進(jìn)行改進(jìn)。為實(shí)現(xiàn)理想時(shí)頻表達(dá)，借鑒同步壓縮變換(Synchrosqueezing Transform，SST)算法思想，YU等提出一種新的時(shí)頻分析方法，并命名為同步提取變換(Synchroextracting Transform，SET)。與SST的壓縮方式不同，SET方法僅保留與信號(hào)瞬時(shí)頻率(Instantaneous Frequency，IF)有關(guān)的時(shí)頻信息，并去除大部分模糊能量。盡管SET可以增強(qiáng)能量集中度，但是由于SET依賴(lài)于恒定振幅和線性頻率調(diào)制信號(hào)的假設(shè)，在分析強(qiáng)調(diào)制信號(hào)時(shí)，很容易偏離真實(shí)的IF時(shí)頻脊線。ZHU等對(duì)SET算法進(jìn)行了改進(jìn)，借鑒CT變換的思想，提出SECT算法，并進(jìn)行了驗(yàn)證，得出SECT較SET確實(shí)有一定改進(jìn)，但時(shí)頻面上的能量不夠集中，同時(shí)與SET一樣易受噪聲影響，計(jì)算結(jié)果的時(shí)頻面上仍具有較多噪聲成分。BAO等推導(dǎo)了二階SET算法，通過(guò)對(duì)STFT求二階偏導(dǎo)數(shù)，能夠更好地實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)頻率的估計(jì)，進(jìn)而使得計(jì)算結(jié)果更加接近IF曲線，但由于STFT本身受到固定窗寬的影響，其應(yīng)用前景有限。

基于此，本文作者基于STFT的標(biāo)準(zhǔn)SET算法進(jìn)行了理論分析；考慮到STFT受到窗寬的局限性，基于Chirplet變換推導(dǎo)同步提取Chirplet變換(SECT)理論，可以有效地改善時(shí)頻表達(dá)；利用相位的二階展開(kāi)進(jìn)行更準(zhǔn)確瞬時(shí)頻率估計(jì)，進(jìn)一步提高時(shí)頻脊線的能量集中性，提出二階同步提取Chirplet變換算法。利用模擬信號(hào)說(shuō)明SECT2在應(yīng)用中具有更好的時(shí)頻聚焦性。利用蝙蝠信號(hào)與變轉(zhuǎn)速試驗(yàn)臺(tái)數(shù)據(jù)對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，并實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速下軸承故障診斷。

1 理論描述

1.1 同步提取理論

標(biāo)準(zhǔn)SET算法基于STFT時(shí)頻譜估算瞬時(shí)頻率，設(shè)多分量AM-FM信號(hào)()的數(shù)學(xué)模型為

(1)

(2)

其中：()為Schwartz空間中的窗函數(shù)，定義為標(biāo)準(zhǔn)偏差的高斯窗函數(shù)：

(3)

基于STFT的標(biāo)準(zhǔn)SET寫(xiě)成：

(4)

(5)

[-(,)]為同步提取算子(SEO)，滿(mǎn)足以下條件：

(6)

基于STFT的SET算法框架如圖1所示。由于STFT受到Heisenberg-Gabor不等式的約束，導(dǎo)致它進(jìn)行瞬時(shí)頻率估算的結(jié)果不準(zhǔn)確。因此,本文作者對(duì)基于CT時(shí)頻譜的IF估算展開(kāi)研究。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)SET算法框架

1.2 同步提取Chirplet變換

由于STFT窗函數(shù)選定之后，分辨率無(wú)法改變，CT通過(guò)使用額外的參數(shù)調(diào)頻率(Chirp Rate，CR)進(jìn)行窗口調(diào)節(jié)。對(duì)于信號(hào)()，其CT定義為

(7)

其中:為CR參數(shù)。假設(shè)在=附近，信號(hào)()的相位近似等于其二階局部展開(kāi)：

(8)

同樣，考慮幅值調(diào)制定律在=附近的展開(kāi)，即：

(9)

其中:為一個(gè)正整數(shù);()為()的階導(dǎo)數(shù)。

基于式(8)(9)的假設(shè)，若≡″()，式(7)可以改寫(xiě)為

(10)

則基于CT進(jìn)行的瞬時(shí)頻率IF估計(jì)公式寫(xiě)為

(11)

(12)

因此，SECT算法定義為

(13)

1.3 二階同步提取Chirplet變換

基于CT，式(1)定義信號(hào)()的理想時(shí)頻表示(ITFR)描述為

(14)

通常，假設(shè)單分量信號(hào)在每個(gè)瞬間都被高斯調(diào)制：

()=e[(-)](2)ei2π(++12)

(15)

基于此假設(shè)，信號(hào)()對(duì)的導(dǎo)數(shù)可以寫(xiě)成：

(+)()

(16)

(17)

(18)

結(jié)合式(17)和式(18)，得到：

(19)

因此，對(duì)瞬時(shí)頻率IF即′()的二階估計(jì)可描述為

′(,)=(+)

(20)

其中:()表示復(fù)數(shù)的虛部。

最終，文中所提出的二階同步提取Chirplet變換(SECT2)定義為

(21)

其中：[-′(,)]為二階同步提取算子。文中所提出方法的整體流程如圖2所示。

圖2 文中方法的流程

2 數(shù)值仿真信號(hào)分析

在噪聲背景下，時(shí)頻分析方法可以有效識(shí)別時(shí)變特征，正確提取不同組分的時(shí)頻脊線，即表明它具有良好的適用性。文中數(shù)值模擬仿真各組分信號(hào)設(shè)置如下：

()=e-003cos[2π(007-08+4+25)]

(22)

()=e-003cos[2π(014-16+8+50)]

(23)

()=e-003cos[2π(021-24+12+75)]

(24)

()=()+()+()+()

(25)

對(duì)模擬信號(hào)添加信噪比為15 dB的噪聲()，信號(hào)時(shí)域圖如圖3(a)所示，模擬信號(hào)的理想IF曲線如圖3(b)所示。

圖3 模擬信號(hào)時(shí)域圖及其理想IF曲線

分別使用STFT、CT的時(shí)頻分析方法對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行分析，其計(jì)算結(jié)果如圖4所示。相比于STFT，CT的計(jì)算結(jié)果具有更高的時(shí)頻能量聚焦性，因此對(duì)CT進(jìn)行進(jìn)一步研究。

圖4 STFT及CT計(jì)算結(jié)果(數(shù)值仿真信號(hào))

對(duì)SET算法進(jìn)行改進(jìn)，將原有基于STFT的SET算法改為基于CT的SET得到SECT算法。SET、SECT的計(jì)算結(jié)果如圖5所示。

圖5 SET及SECT計(jì)算結(jié)果(數(shù)值仿真信號(hào))

由圖5可以發(fā)現(xiàn)：無(wú)論是SET還是SECT，噪聲對(duì)時(shí)頻表達(dá)分辨率均有較大影響，存在不同程度的時(shí)頻模糊現(xiàn)象。對(duì)比圖3(b)，圖5均不能獲得理想的時(shí)頻表達(dá)，存在著時(shí)頻脊線能量發(fā)散甚至脊線扭曲失真的問(wèn)題。為增強(qiáng)時(shí)頻聚焦性，進(jìn)行更加準(zhǔn)確的瞬時(shí)頻率估計(jì)，利用文中所提出的SECT2算法對(duì)數(shù)值仿真信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖6所示。

圖6 SECT2計(jì)算結(jié)果(數(shù)值仿真信號(hào))

通過(guò)觀察以上幾種方法的計(jì)算結(jié)果，SECT2計(jì)算的結(jié)果時(shí)頻聚焦性最好，且脊線能量較高，脊線形狀與圖3(b)所示理想IF曲線最符合。各種方法的Renyi熵對(duì)比如表1所示。Renyi是一種衡量時(shí)頻面能量聚集程度的指標(biāo)，其值越低表明該處理結(jié)果脊線的能量越集中，SECT2方法的時(shí)頻處理結(jié)果具有最集中的能量，驗(yàn)證了所提方法具有較好的有效性與先進(jìn)性。

表1 幾種方法計(jì)算結(jié)果的Renyi熵比較(數(shù)值仿真信號(hào))

3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

3.1 蝙蝠信號(hào)分析

以萊斯大學(xué)(Rice University)記錄的蝙蝠信號(hào)為例，該信號(hào)的采樣頻率為140 kHz，時(shí)域圖、頻譜如圖7所示。對(duì)它進(jìn)行STFT、CT計(jì)算，結(jié)果如圖8所示。兩種時(shí)頻處理方法能量均過(guò)于分散，但相比之下CT方法計(jì)算結(jié)果比STFT方法計(jì)算結(jié)果好。

圖7 蝙蝠數(shù)據(jù)時(shí)域圖及頻譜

圖8 STFT及CT計(jì)算結(jié)果(蝙蝠信號(hào))

在STFT、CT方法的基礎(chǔ)上，利用SET、SECT方法對(duì)蝙蝠信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖9所示?？芍篠ECT能量發(fā)散，不能很好地反映多組分信號(hào)時(shí)頻脊線。利用SECT2方法對(duì)蝙蝠信號(hào)進(jìn)行處理，結(jié)果如圖10(a)所示，顯然其時(shí)頻能量的聚集性更好。

圖9 SET及SECT計(jì)算結(jié)果(蝙蝠信號(hào))

對(duì)SECT2計(jì)算結(jié)果作脊線提取，結(jié)果如圖10(b)所示，可知所提出方法能夠較好提取蝙蝠信號(hào)中包含的脊線信息。表2所示為幾種方法的Renyi熵值比較，結(jié)果表明SECT2方法計(jì)算結(jié)果的時(shí)頻面上噪聲干擾信息較少，具有更好的多組分信號(hào)時(shí)頻分析能力。

圖10 SECT2計(jì)算結(jié)果及其脊線提取結(jié)果

表2 幾種方法計(jì)算結(jié)果的Renyi熵比較(蝙蝠信號(hào))

3.2 試驗(yàn)臺(tái)故障數(shù)據(jù)分析

為驗(yàn)證所提出的SECT2方法的有效性，以實(shí)驗(yàn)室軸承-齒輪故障綜合試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行測(cè)試和分析。試驗(yàn)臺(tái)及其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖11所示，其中測(cè)點(diǎn)處為可更換的故障軸承，軸承故障類(lèi)型為外圈故障。為模擬變轉(zhuǎn)速工況，試驗(yàn)轉(zhuǎn)速?gòu)?加速到1 000 r/min，并經(jīng)過(guò)一段時(shí)間恒轉(zhuǎn)速運(yùn)行，最終減速到0，采樣頻率設(shè)置為2 560 Hz。測(cè)量得到的原始振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖及頻譜如圖12所示。

圖11 試驗(yàn)臺(tái)實(shí)物圖及其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

圖12 試驗(yàn)臺(tái)振動(dòng)信號(hào)時(shí)域圖及頻譜

由于試驗(yàn)臺(tái)模擬變轉(zhuǎn)速工況，從圖12(b)中的頻譜圖中無(wú)法反映出時(shí)變的故障特征信息。對(duì)采集的信號(hào)作STFT及CT分析，結(jié)果如圖13所示。可知：STFT的時(shí)頻模糊現(xiàn)象很明顯，噪聲隨機(jī)地分布于時(shí)頻平面，無(wú)法正確識(shí)別時(shí)變故障特征；相比之下，CT的結(jié)果較好，其時(shí)頻脊線的能量較高，但仍然很發(fā)散，難以進(jìn)行脊線提取。利用所提出的SET及SECT對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，結(jié)果如圖14所示。

圖13 STFT及CT計(jì)算結(jié)果(試驗(yàn)臺(tái)信號(hào))

圖14 SET及SECT計(jì)算結(jié)果(試驗(yàn)臺(tái)信號(hào))

對(duì)比計(jì)算結(jié)果可知：SET、SECT方法時(shí)頻表達(dá)效果較STFT和CT有所提升，但依然存在時(shí)頻脊線能量不集中問(wèn)題，在100～150 Hz之間有嚴(yán)重的能量發(fā)散現(xiàn)象，無(wú)法從時(shí)頻圖中有效地識(shí)別故障特征，導(dǎo)致時(shí)頻分析的效果欠佳。利用所提出的SECT2方法進(jìn)行進(jìn)一步處理，使其時(shí)變信號(hào)的能量進(jìn)一步集中，相應(yīng)的處理結(jié)果如圖15所示。

圖15 SECT2計(jì)算結(jié)果(試驗(yàn)臺(tái)信號(hào))

對(duì)比圖14和圖15可知，SECT2方法處理結(jié)果相比于SET和SECT，其時(shí)頻表示的分辨率明顯增強(qiáng)，時(shí)頻脊線更加集中，且有效地解決了能量發(fā)散問(wèn)題。上述幾種方法的Renyi熵比較如表3所示?？芍篠ECT2具有最小的Renyi熵，說(shuō)明它具有最高能量的時(shí)頻脊線，且能量集中程度最佳。

表3 幾種方法計(jì)算結(jié)果的Renyi熵比較(試驗(yàn)臺(tái)信號(hào))

對(duì)SECT2方法處理結(jié)果進(jìn)行脊線提取，結(jié)果如圖16所示。從圖中可以很清晰地識(shí)別到故障特征頻率及其2倍頻。通過(guò)安裝轉(zhuǎn)速傳感器，實(shí)際測(cè)量得轉(zhuǎn)頻曲線為0遞增到16.6 Hz，再遞減至0。根據(jù)圖15中提取的故障特征頻率曲線為0遞增到53 Hz，再遞減至0，故障特征頻率(FCF)曲線為轉(zhuǎn)頻曲線的3.2倍。根據(jù)軸承動(dòng)力學(xué)特征，利用外圈故障計(jì)算公式：=04××=3.2，可以判斷故障為軸承外圈故障，驗(yàn)證了所提方法對(duì)變轉(zhuǎn)速下軸承故障診斷的有效性。

圖16 SECT2方法脊線提取結(jié)果

4 結(jié)論

基于同步提取理論，本文作者結(jié)合Chirplet變換，推導(dǎo)同步提取Chirplet變換公式，進(jìn)一步地，對(duì)瞬時(shí)頻率進(jìn)行二階估計(jì)，提出了二階同步提取Chirplet變換，用于實(shí)現(xiàn)噪聲干擾下的多組分信號(hào)高分辨率表達(dá)。與基于STFT的標(biāo)準(zhǔn)SET進(jìn)行了對(duì)比，所提出的SECT2具有更強(qiáng)的時(shí)頻脊線聚焦性，可獲得比SET更集中、更高能量的時(shí)頻脊線。通過(guò)蝙蝠信號(hào)、試驗(yàn)臺(tái)測(cè)量信號(hào)對(duì)所提方法進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明SECT2方法具有更好的時(shí)頻分析能力。