孫玉嬌，楊洪勇，于美妍

(魯東大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院，山東煙臺(tái) 264025)

1 引言

在大數(shù)據(jù)的時(shí)代，許多信息化平臺(tái)通過用戶數(shù)據(jù)可以為用戶提供越來越方便的服務(wù)，如:定位服務(wù)、網(wǎng)上購(gòu)物和健康服務(wù)等，提高了服務(wù)質(zhì)量和精度.然而，由于用戶在享受便利服務(wù)的同時(shí)需要向平臺(tái)提供自己的隱私信息，如:位置信息、興趣愛好和身體狀況等，使得用戶的信息被不可信任的第三方獲取，導(dǎo)致用戶的隱私數(shù)據(jù)遭到嚴(yán)重的侵害.因此，隱私保護(hù)問題成為許多領(lǐng)域的研究者共同關(guān)注的問題.

近年來，隱私保護(hù)被涉及到越來越多的問題當(dāng)中，如數(shù)據(jù)聚合問題.文獻(xiàn)[1]研究了自組織網(wǎng)絡(luò)中的隱私保護(hù)數(shù)據(jù)聚合問題，提出了具有隱私保護(hù)的基于一致性的數(shù)據(jù)聚合算法，該算法在保護(hù)敏感數(shù)據(jù)隱私的同時(shí)保證了精確的聚合.為了緩解數(shù)據(jù)收集和隱私保護(hù)的緊張，差分隱私算法被認(rèn)為是一個(gè)有效的解決方案.差分隱私由Cynthia Dwork[2]提出，差分隱私的定義要求協(xié)議或者機(jī)制保證一定范圍內(nèi)相鄰的數(shù)據(jù)集通過該協(xié)議或機(jī)制輸出在某一集合的概率的相差程度很小.隨著差分隱私的發(fā)展，差分隱私已經(jīng)被應(yīng)用到許多不同的領(lǐng)域中，如:機(jī)器學(xué)習(xí)、多智能體一致性等等.在考慮到隱私的情況下，傳統(tǒng)平均一致性算法中的智能體狀態(tài)不可用，使得傳統(tǒng)平均一致性算法失效.為了解決多智能體系統(tǒng)差分隱私平均一致性問題，許多控制學(xué)者致力于設(shè)計(jì)出控制協(xié)議或機(jī)制使其不僅滿足平均一致性，而且滿足差分隱私的定義，以確保攻擊者無(wú)法通過竊取通道信息獲得智能體真實(shí)的位置信息.文獻(xiàn)[3]研究了差分隱私平均一致性問題，提出了隱私算法，保證了智能體狀態(tài)的隱私性和平均一致性.但這種算法不能讓狀態(tài)收斂到精確平均值，只是平均值附近的一個(gè)隨機(jī)值.因此文獻(xiàn)[4]研究了具有隱私保護(hù)的平均一致性問題，提出了新的隱私保護(hù)平均一致性算法，保證初始狀態(tài)的隱私性和初始值精確平均值的漸近一致性.文獻(xiàn)[5]研究了考慮隱私保護(hù)的多智能體平均一致性問題，提出了差分隱私一致性算法，保證了智能體狀態(tài)收斂到初始狀態(tài)平均值的無(wú)偏估計(jì)，并保護(hù)了智能體狀態(tài)的隱私.除此之外，差分隱私被逐漸的拓展到越來越多不同多智能體系統(tǒng)中，如事件觸發(fā)系統(tǒng)、分布式優(yōu)化系統(tǒng)等等.文獻(xiàn)[6]研究了基于事件觸發(fā)機(jī)制的差分隱私平均一致性問題，提出了分布式事件觸發(fā)機(jī)制差分隱私算法，最終不僅保證了智能體初始狀態(tài)隱私性，而且可以提高整個(gè)系統(tǒng)的執(zhí)行效率.文獻(xiàn)[7]研究了多智能體差分隱私分布式優(yōu)化問題，提出了基于拉格朗日的差分隱私分布式算法，該算法不僅保證了智能體狀態(tài)的隱私性，而且系統(tǒng)具有更快的收斂速度.文獻(xiàn)[8]研究了軌跡隱私保護(hù)問題，提出了基于差分隱私的軌跡保護(hù)算法，該算法不僅保護(hù)了真實(shí)軌跡數(shù)據(jù)，而且獲得最后軌跡位置提高了數(shù)據(jù)發(fā)布的可用性.文獻(xiàn)[9]研究了差分隱私下多重一致性約束的最優(yōu)發(fā)布問題，提出了差分隱私一致性并行發(fā)布算法，該算法不僅保證了數(shù)據(jù)的最優(yōu)一致性發(fā)布，而且提高了計(jì)算效率.文獻(xiàn)[10]研究了具有差分隱私保護(hù)的多智能體系統(tǒng)最大一致性問題，提出了差分隱私最大一致性算法，最終保證初始狀態(tài)隱私性和初始狀態(tài)最大值的漸進(jìn)一致性.

隨著智能機(jī)器人、傳感器等設(shè)備的發(fā)展，以及更復(fù)雜的實(shí)際應(yīng)用的需求，固定拓?fù)湎碌南到y(tǒng)很難滿足自動(dòng)控制研究的現(xiàn)狀.在實(shí)際情況中，固定拓?fù)湎到y(tǒng)可能會(huì)發(fā)生因通信能力、傳感范圍等限制因素導(dǎo)致的故障，使得系統(tǒng)的通訊網(wǎng)絡(luò)變得不連通，因此研究切換拓?fù)鋵?duì)系統(tǒng)的影響具有很大的實(shí)際意義.由于切換拓?fù)渲欣绽咕仃嚰捌涮卣髦狄矔?huì)隨之發(fā)生變化，使得理論分析過程變得相對(duì)復(fù)雜.目前與切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的相關(guān)研究已有不少.文獻(xiàn)[11]研究了非線性多智能體系統(tǒng)在切換拓?fù)湎碌幕谑录|發(fā)的一致性控制問題，提出了分布式事件觸發(fā)一致性算法，該算法得到了多智能體達(dá)到一致有界的充分條件，并且降低了網(wǎng)絡(luò)通信負(fù)載.文獻(xiàn)[12]研究了切換拓?fù)湎码x散和連續(xù)多智能體系統(tǒng)的一致性問題，提出了一致性控制協(xié)議，最終得到了智能體達(dá)到一致的充分條件.文獻(xiàn)[13]研究了時(shí)變拓?fù)湎露A多智能體系統(tǒng)有限時(shí)間一致性，提出了有限時(shí)間一致性控制算法，得到了多智能體在切換拓?fù)湎逻_(dá)到有限時(shí)間一致的條件.文獻(xiàn)[14]研究了具有聯(lián)合連通的時(shí)延的二階多智能體系統(tǒng)一致性問題，提出了時(shí)延控制算法，得到了系統(tǒng)達(dá)到平均一致性的充分條件.文獻(xiàn)[15]研究了有向動(dòng)態(tài)拓?fù)涠嘀悄荏w系統(tǒng)一致性控制問題，提出了一致性控制算法，得到了智能體達(dá)到指數(shù)一致的條件.文獻(xiàn)[16]研究了二階動(dòng)態(tài)拓?fù)湎到y(tǒng)跟蹤虛擬領(lǐng)導(dǎo)者的問題，提出了跟蹤控制協(xié)議，得到了聯(lián)合連通條件下智能體協(xié)調(diào)跟蹤控制的條件.文獻(xiàn)[17]研究了具有聯(lián)合連通拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的做智能體系統(tǒng)領(lǐng)導(dǎo)跟隨一致性問題，提出了自適應(yīng)一致性控制算法，得到了領(lǐng)導(dǎo)者和跟隨者漸近一致的條件.文獻(xiàn)[18]研究了具有不確定拓?fù)涞枚嘀悄荏w系統(tǒng)的包容控制問題，提出了具有時(shí)變的包容控制算法，得到了多智能體系統(tǒng)分布式包容控制的約束條件.

從以上文獻(xiàn)的研究發(fā)現(xiàn)，對(duì)于切換拓?fù)涞南嚓P(guān)研究考慮了聯(lián)合連通拓?fù)涞那闆r，聯(lián)合連通拓?fù)涫峭負(fù)湓谀硞€(gè)時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行若干次切換，且不需要切換后的拓?fù)鋾r(shí)刻連通，這對(duì)降低通信成本、排除一定程度的通信鏈路故障具有很好的效果.然而據(jù)作者所知，對(duì)具有聯(lián)合連通拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)隱私保護(hù)問題的相關(guān)研究很少.

受到已有研究成果的啟發(fā)，本文擬對(duì)具有切換拓?fù)涠嘀悄荏w系統(tǒng)的一致性的隱私保護(hù)進(jìn)行研究.本文的創(chuàng)新點(diǎn)主要是:

1) 本文提出了具有隱私保護(hù)的多智能體均方一致性控制算法，該算法成功結(jié)合了傳統(tǒng)平均一致算法和差分隱私算法，可以保護(hù)智能個(gè)體的數(shù)據(jù)隱私，同時(shí)可以使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)均方一致.

2) 當(dāng)多智能體系統(tǒng)的連接拓?fù)涫莿?dòng)態(tài)變化不連通的情況下，本文研究了具有切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)協(xié)同控制的隱私保護(hù)問題，對(duì)該算法的收斂性和隱私性進(jìn)行理論分析，并討論了切換拓?fù)鋵?duì)隱私保護(hù)的影響.

2 問題描述

2.1 代數(shù)圖論與概率理論

用無(wú)向圖G{V，E}描述n個(gè)智能體的通信拓?fù)鋱D，V(v1，v2，···，vn)表示節(jié)點(diǎn)集合，E ?V ×V表示邊集合.記智能體i的鄰域?yàn)镹i{j|(j，i)∈E，?j ∈V}.圖G對(duì)應(yīng)的鄰接矩陣為A[aij]，其中aij表示智能體i和智能體j之間的連接權(quán)重，當(dāng)且僅當(dāng)智能體i與它鄰域中的任一智能體之間有通信時(shí)，aij ＞0，否則aij0.Laplacian矩陣為L(zhǎng)D-A，其中度矩陣D是一個(gè)對(duì)角矩陣，表示為Ddiag{d1，d2，···，dn}，di在一個(gè)無(wú)向圖G中，若從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有路徑相連(當(dāng)然從j到i也一定有路徑)，則稱i和j是連通的.如果圖中任意兩點(diǎn)都是連通的，那么圖被稱作連通圖.

假設(shè)x表示一個(gè)服從均值為0，方差為2b2的拉普拉斯分布的隨機(jī)變量，記作x～Lap(μ，b)，它的概率密度函數(shù)表示為f其中b ＞0.

2.2 相關(guān)引理和定義

引理1[12]如果一組無(wú)向圖的并集G1-n是連通，那么稱這組圖是聯(lián)合連通的，矩陣的積

為SIA(不可約非周期矩陣)，其中矩陣C(ti)是無(wú)向圖對(duì)應(yīng)的矩陣.

成立.

引理3[12]設(shè)正整數(shù)m＞2，如果P1，P2，···，Pm是具有正對(duì)角元素的非負(fù)n×n矩陣，那么

其中γ ＞0可以由矩陣Pi指定.

定義1對(duì)于任意智能體i，j，多智能體系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)均方一致性，如果以下等式成立:

其中xi表示智能體狀態(tài).

定義2對(duì)于兩組數(shù)據(jù)x ∈Rn，x′ ∈Rn，隱私保護(hù)的敏感度定義如下:

其中d1.

定義3向量x ∈Rn，x′ ∈Rn被稱為是Δf-鄰接的，如果以下不等式成立:

其中Δf表示敏感度.

定義4已知一對(duì)Δf鄰接的狀態(tài)向量x，x′，多智能體系統(tǒng)滿足ε-差分隱私，如果以下不等式成立:

其中:Pr[·]表示算法執(zhí)行后的觀測(cè)序列構(gòu)成的集合的概率，M(·)表示算法的執(zhí)行，O表示觀測(cè)序列，ε ＞0表示隱私保護(hù)預(yù)算.

3 具有固定拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的隱私保護(hù)

3.1 均方一致性

考慮n個(gè)智能體的協(xié)同運(yùn)動(dòng)問題，假設(shè)第i個(gè)智能體的運(yùn)動(dòng)方程為

其中:xi ∈R表示智能體i的位置，ui ∈R表示智能體i的控制輸入.

其中wi是服從均值為0，方差為2b2拉普拉斯分布的噪聲，記作x～Lap(μ，b).

假設(shè)1對(duì)任意智能體i，j ∈{1，2，···，n}，，xi，wi相互獨(dú)立，wi，wj相互獨(dú)立.

注1隱私算法保證了智能體i與它的鄰域中的任一智能體通信的狀態(tài)不是真實(shí)狀態(tài)，而是加密狀態(tài).

通過以上的分析，該系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程可以表示為

引理4若非負(fù)矩陣C[cij]∈Rn×n是一個(gè)隨機(jī)矩陣，則矩陣有以下性質(zhì):

1) 特征值滿足λ11，|λi|＜1，i2，3，···，n.

2)C11，其中1(1 1···1)T是特征值1對(duì)應(yīng)的特征向量.

將系統(tǒng)寫成矩陣形式

其中:矩陣LE-C，E表示單位矩陣，w(w1w2··· wn)T表示隱私保護(hù)噪聲向量.

注3通過構(gòu)造的隱私一致性算法(9)可以看到，網(wǎng)絡(luò)傳輸?shù)男畔⑹墙?jīng)過加密的隱私數(shù)據(jù)，在網(wǎng)絡(luò)傳遞時(shí)隱藏了智能體的真實(shí)信息，即使攻擊者竊取通道傳輸信息，也不會(huì)獲得智能體真實(shí)數(shù)據(jù)信息，這樣就保護(hù)了智能體的隱私.這是本文算法與傳統(tǒng)平均一致性算法的區(qū)別.協(xié)同控制采用隱私保護(hù)的意義在于保護(hù)智能體的敏感數(shù)據(jù)同時(shí)使得多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)均方一致.

注4如果不給網(wǎng)絡(luò)傳輸信息加密，那么攻擊者獲取智能體真實(shí)數(shù)據(jù)后，可能會(huì)對(duì)多智能體系統(tǒng)的運(yùn)行造成負(fù)面影響.例如，當(dāng)智能體i的初始狀態(tài)信息泄露后，攻擊者使用相同的初始狀態(tài)進(jìn)行冒充，并且切掉智能體i與鄰居智能體的連接，最終使得多智能體系統(tǒng)的運(yùn)行受到破壞.

定理1考慮一個(gè)具有n個(gè)智能體的系統(tǒng)，它的運(yùn)動(dòng)方程為式(6)，智能體的加密算法為式(7)，在隱私保護(hù)一致性控制算法(9)的作用下，智能體位置會(huì)漸近收斂到均方一致，并且智能體位置的隱私得到了保護(hù).

證由無(wú)向圖的性質(zhì)可知，矩陣Laplacian有一個(gè)0特征值，其余特征值均大于0.假設(shè)λ1≤λ2≤···≤λn，?i，λi≥0，λ10，λ1對(duì)應(yīng)的特征向量v1(1 1···1)T.已知線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程(8)的零解為

分析方程(8)的零解.由于矩陣L有一個(gè)特征值為0，因此存在正交矩陣P使得矩陣L相似對(duì)角化，即PTLPΛdiag{0，λ2，···，λn}，其 中λi是矩陣L的n-1個(gè)不為0的特征值.由于特征值0對(duì)應(yīng)的特征向量為(1 1···1)T，則正交矩陣P(p1，p2，···，pn)的第1列表示為

PT的第1行表示為

因此式(11)的第1項(xiàng)表示為

由于w(t)服從期望為0的Laplace分布，因此對(duì)式(11)兩邊求期望可得

根據(jù)定義1，該分布式系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，智能體的狀態(tài)漸近收斂到均方一致，收斂點(diǎn)為所有智能體初始值的平均值，即證畢.

3.2 隱私保護(hù)算法分析

為了保護(hù)任意智能體的位置狀態(tài)的隱私，給智能體真實(shí)位置加上一個(gè)服從拉普拉斯分布的噪聲得到發(fā)送位置，使得后續(xù)狀態(tài)更新過程中不會(huì)再出現(xiàn)與真實(shí)狀態(tài)相關(guān)的信息.

定理2給定一對(duì)Δf-鄰接的狀態(tài)向量x和x′，則隱私保護(hù)一致性控制算法(9)提供ε-隱私保護(hù)，其中ε ＞0.

根據(jù)假設(shè)1，噪聲變量wi，wj相互獨(dú)立，因此添加到n個(gè)智能體的噪聲變量的概率密度函數(shù)可以表示為

假設(shè)添加到Δf-鄰接的狀態(tài)向量x，x′的噪聲變量的概率密度函數(shù)用ρ1，ρ2表示，那么可以得到以下不等式:

對(duì)式(16)兩邊求積分后可以得到Pr[M(x)∈O]≤eεPr[M(x′)∈O].也就是說，對(duì)于Δf鄰接的狀態(tài)向量x，x′，使用隱私保護(hù)協(xié)同控制算法得到相同的觀測(cè)向量的概率是非常大的.換句話說，攻擊者試圖從觀測(cè)序列中估計(jì)噪聲進(jìn)而推斷出準(zhǔn)確的真實(shí)狀態(tài)的概率是非常小的.這說明了隱私保護(hù)一致性控制算法保證了相似的輸入有大致相同的輸出，使得攻擊者無(wú)法從截取的觀測(cè)信息中區(qū)分x，x′，因此智能體系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)向量x受到隱私保護(hù).

下面分析隱私保護(hù)強(qiáng)度.取ε在噪聲方差一定的條件下，Δf越小，ε就越小，隱私保護(hù)算法提供的隱私保護(hù)強(qiáng)度就越高，這說明兩個(gè)向量之間的差值越小，噪聲對(duì)真實(shí)數(shù)據(jù)的保護(hù)就越好. 證畢.

4 具有切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的隱私保護(hù)

4.1 均方一致性

定理3考慮具有n個(gè)智能體的系統(tǒng)，智能體的運(yùn)動(dòng)方程為式(6)，智能體加密算法為式(7)，在算法(9)的作用下，如果智能體系統(tǒng)在無(wú)窮時(shí)間序列t0，t1，t2，···的每個(gè)時(shí)間間隔[tk，tk+1)都是聯(lián)合連通的，那么任意智能體的位置將會(huì)漸近收斂到均方一致，并且任意智能體的真實(shí)狀態(tài)受到保護(hù).

以此類推，迭代后得到時(shí)間間隔[tk，tk+1)的子系統(tǒng)的解，表示為

經(jīng)過類似的分析，通過迭代可以得到系統(tǒng)在無(wú)窮時(shí)間序列的解表示為

其中k0，1，2，···.

已知時(shí)間間隔[tk，tk+1)內(nèi)系統(tǒng)的拓?fù)鋱D的并集Gk，1-s是連通的，根據(jù)引理1，矩陣的積

是SIA的，也就是存在向量使得以下等式成立:

由于w(t)服從期望為0的Laplace分布，因此對(duì)系統(tǒng)的解兩邊求期望可得

這意味著多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通條件下能夠漸近收斂到均方一致性，且最終收斂值是智能體初始值的平均值. 證畢.

4.2 隱私保護(hù)算法分析

假設(shè)分別用ρ1，1和ρ2，2表示，那么可以得到

5 仿真示例

5.1 具有固定拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的隱私保護(hù)

為了驗(yàn)證本文算法的效果，本文考慮由6個(gè)智能體組成的多智能體系統(tǒng)，每個(gè)智能體的初始狀態(tài)取值為x(0)[-6.5，5.4，-9.6，10.3，6.9，4.2]，假設(shè)多智能體系統(tǒng)的無(wú)向通信拓?fù)鋱D如圖1所示.

圖1 多智能體系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱DFig.1 The communication topology of multi-agent systems

圖2表示在隱保護(hù)私協(xié)同控制算法作用下所有智能體的位置狀態(tài)，從圖中可以看出多智能體狀態(tài)最終都漸近收斂到初始狀態(tài)的平均值，這說明了隱私保護(hù)協(xié)同控制算法不會(huì)影響多智能體系統(tǒng)的收斂性.圖3表示在傳統(tǒng)平均一致性控制算法作用下和在隱私保護(hù)協(xié)同控制算法作用下所有智能體位置狀態(tài)的誤差，從圖中可以看出這兩個(gè)狀態(tài)之間一直存在一個(gè)很小的偏差，產(chǎn)生這種偏差的原因是在隱私保護(hù)協(xié)同控制算法中的智能體真實(shí)狀態(tài)被加密狀態(tài)代替;偏差很小的原因是隱私保護(hù)協(xié)同控制算法能夠保證相似的輸入有大致相同的輸出，這也說明了攻擊者無(wú)法準(zhǔn)確的區(qū)分智能體真實(shí)狀態(tài)，使得智能體的真實(shí)狀態(tài)受到保護(hù).圖4表示智能體的控制器隨時(shí)間變化圖，從圖中可以看出隨著智能體的狀態(tài)收斂到初始狀態(tài)的平均值，智能體的控制器狀態(tài)逐漸趨于0.

圖2 具有隱私保護(hù)的智能體位置狀態(tài)Fig.2 The position states of agents with privacy protection

圖3 智能體真實(shí)狀態(tài)與加密狀態(tài)的誤差Fig.3 The errors of agents between actual value and encrypted value

圖4 智能體的控制器狀態(tài)Fig.4 The controller states of agents

通過仿真可以發(fā)現(xiàn)，本文的提出的差分隱私協(xié)同控制算法是在傳統(tǒng)平均一致性算法的基礎(chǔ)上提出的，結(jié)合差分隱私算法后，使得智能體狀態(tài)逐漸收斂到均方意義下的平均一致性.相比傳統(tǒng)平均一致性算法，本文算法能夠保護(hù)智能體真實(shí)狀態(tài)，而傳統(tǒng)平均一致性算法不能保護(hù)智能體狀態(tài).

5.2 具有切換拓?fù)涞亩嘀悄荏w系統(tǒng)的隱私保護(hù)

假設(shè)6個(gè)智能體在時(shí)間間隔[ti-1，ti)內(nèi)按照?qǐng)D5所示拓?fù)鋱D依次進(jìn)行切換，那么多智能體系統(tǒng)在隱私保護(hù)協(xié)同控制算法的作用下的仿真結(jié)果如下圖所示.

圖5 智能體切換通信拓?fù)鋱DFig.5 The switching communication topologies of multi-agent systems

圖6表示在隱私保護(hù)協(xié)同控制算法作用下所有智能體位置狀態(tài)，從圖中可以看出所有智能體的位置狀態(tài)隨著時(shí)間的變化最終都趨向于初始狀態(tài)的平均值，這說明了隱私保護(hù)協(xié)同控制算法不會(huì)影響多智能體系統(tǒng)的收斂性.而且從圖6可以看出智能體的狀態(tài)曲線圖是不光滑的，產(chǎn)生不光滑曲線的原因是在時(shí)間間隔內(nèi)有的智能體沒有與別的智能體產(chǎn)生連接，進(jìn)而沒有位置更新.圖7表示在傳統(tǒng)平均一致性協(xié)同控制算法和本文提出的隱私保護(hù)協(xié)同控制算法作用下所有智能體狀態(tài)的誤差，從圖中可以看出所有智能體的真實(shí)狀態(tài)與加密狀態(tài)的誤差一直在一個(gè)很小的范圍內(nèi)，產(chǎn)生這種偏差的原因是在隱私保護(hù)協(xié)同控制算法中的智能體真實(shí)狀態(tài)被加密狀態(tài)代替;偏差很小的原因是隱私保護(hù)協(xié)同控制算法能夠保證相似的輸入有大致相同的觀測(cè)序列，這保證了攻擊者無(wú)法準(zhǔn)確的區(qū)分智能體真實(shí)狀態(tài)，也就使得智能體的真實(shí)狀態(tài)受到保護(hù).

圖6 具有隱私保護(hù)的智能體位置狀態(tài)Fig.6 The position states of agents with privacy protection

圖7 智能體真實(shí)狀態(tài)與加密狀態(tài)的誤差Fig.7 The errors of agents between actual value and encrypted value

對(duì)比圖3和圖7可以看出，隱私保護(hù)算法在固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)涞那闆r下都可以保護(hù)個(gè)體數(shù)據(jù)隱私，真實(shí)數(shù)據(jù)與加密數(shù)據(jù)之間都會(huì)有一個(gè)很小的偏差，也就是切換拓?fù)洳粫?huì)影響個(gè)體數(shù)據(jù)的隱私保護(hù).但通過對(duì)比還可以發(fā)現(xiàn)，切換拓?fù)鋵?duì)施加保護(hù)的系統(tǒng)的收斂性來說，會(huì)使得系統(tǒng)收斂性分析更加復(fù)雜，也會(huì)影響系統(tǒng)的收斂速度.

5.3 隱私泄露

在本節(jié)中，將對(duì)隱私泄露后的系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析.假設(shè)1號(hào)智能體的被攻擊，攻擊者冒充1號(hào)智能體，并切斷1號(hào)智能體與鄰居智能體的連接.

圖8表示隱私泄露后智能體狀態(tài)隨著時(shí)間變化的曲線圖，從圖中可以看出，1號(hào)智能體表示隱私泄露的智能體，該智能體狀態(tài)保持不變，2號(hào)和3號(hào)智能體狀態(tài)最終都保持-2.1不變，4號(hào)，5號(hào)和6號(hào)智能體狀態(tài)最終都保持7.1不變.這說明了隱私泄露對(duì)系統(tǒng)造成無(wú)法收斂的影響，使得系統(tǒng)的穩(wěn)定性受到破壞.

圖8 具有隱私泄露的智能體位置狀態(tài)Fig.8 The position states of agents with privacy leak

圖9表示隱私保護(hù)強(qiáng)度隨著尺度參數(shù)變化的曲線圖，紅色曲線表示在Δf0.3 時(shí)，隱私保護(hù)強(qiáng)度隨著尺度參數(shù)的變化情況，藍(lán)色曲線表示在Δf0.6時(shí)，隱私保護(hù)強(qiáng)度隨著尺度參數(shù)的變化情況.從圖中可以看出，在Δf一定時(shí)，隨著尺度參數(shù)b越來越大，ε會(huì)越來越小，也就是隱私保護(hù)算法的隱私保護(hù)強(qiáng)度會(huì)越來越高，算法對(duì)數(shù)據(jù)的保護(hù)性越好.

圖9 隱私保護(hù)強(qiáng)度Fig.9 The comparison of privacy protection strength

6 結(jié)論

本文研究了具有固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的連續(xù)多智能體系統(tǒng)的隱私保護(hù)問題，提出了具有隱私保護(hù)的多智能體系統(tǒng)協(xié)同控制算法，應(yīng)用矩陣論和概率統(tǒng)計(jì)對(duì)隱私保護(hù)協(xié)同控制算法的收斂性和隱私性進(jìn)行理論分析，得出了隱私泄漏對(duì)分布式協(xié)同控制閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，最終該算法可以保護(hù)智能個(gè)體的數(shù)據(jù)隱私，同時(shí)可以使得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)均方一致.