趙南皓，齊向陽(yáng)，熊明輝，黃平鈺，郭政

(1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.滄州市農(nóng)機(jī)推廣站，河北滄州 061000)

0 前言

當(dāng)前，我國(guó)制造業(yè)正處于高速發(fā)展階段，對(duì)工件的加工更加追求高精度、高效率、高智能。然而，在實(shí)際加工過(guò)程中總伴隨著各種誤差，從而影響機(jī)床加工精度。研究顯示：在諸多誤差項(xiàng)中，幾何誤差和熱誤差就占據(jù)所有誤差的50%以上。所以，在機(jī)床誤差的研究中，建立幾何與熱誤差的復(fù)合模型對(duì)提高機(jī)床精度尤為重要。高精度工件的加工依賴(lài)于精密機(jī)床，而大型、重型、高精度機(jī)床的直線軸常采用兩端固定的安裝方式，絲杠兩端都受約束限制，其熱誤差產(chǎn)生機(jī)制與固定-自由、固定-支撐的安裝方式并不相同，因此對(duì)具有兩端固定安裝方式的絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行研究具有重要意義。

近年來(lái)，為降低機(jī)床誤差，國(guó)內(nèi)外學(xué)者致力于誤差建模技術(shù)的研究，從靜態(tài)幾何誤差建模發(fā)展到熱誤差建模，以及兩種誤差的復(fù)合建模技術(shù)。靜態(tài)幾何誤差是機(jī)床本身固有的誤差，其建模方法常采用擬合法和插值法。擬合法建模方式多采用最小二乘法、多項(xiàng)式參數(shù)化建模法；插值方法常采用牛頓插值、三次樣條插值、B樣條插值。其中切比雪夫多項(xiàng)式參數(shù)化建模方法具有建模簡(jiǎn)單、易程序化的特點(diǎn)，用于幾何誤差建模具有更高的精度。

機(jī)床熱誤差，是在機(jī)床運(yùn)行過(guò)程中，由于絲杠螺母副的摩擦熱、絲杠兩端軸承摩擦熱以及電機(jī)等多處熱源的影響導(dǎo)致機(jī)床溫度分布發(fā)生變化，由此機(jī)床零部件會(huì)發(fā)生熱變形而產(chǎn)生熱誤差。對(duì)熱誤差預(yù)測(cè)，常用的兩類(lèi)建模方法是數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法和模型驅(qū)動(dòng)法。數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)法是將測(cè)得的溫度作為模型輸入，將熱誤差作為輸出，將實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)集用于訓(xùn)練模型。學(xué)者們多使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、多元線性回歸和狀態(tài)空間等方法建立熱誤差模型。模型驅(qū)動(dòng)法是對(duì)熱特性機(jī)制進(jìn)行分析，計(jì)算生熱量和邊界條件作為模型輸入量，將溫度或熱誤差作為輸出。常用方法為有限元法和有限差分法。這類(lèi)研究方法可降低實(shí)驗(yàn)成本，避免實(shí)驗(yàn)所帶來(lái)的繁瑣性。

由于機(jī)床存在多類(lèi)誤差，如果只對(duì)單類(lèi)誤差建立模型，可能會(huì)適得其反。因此，建立復(fù)合誤差模型至關(guān)重要。幾何與熱致定位誤差主要受滾珠絲杠的制造精度以及熱變形影響。本文作者針對(duì)臥式精密加工中心對(duì)幾何與熱致定位誤差進(jìn)行研究，在考慮兩端約束情況下分析絲杠的臨界載荷與熱應(yīng)力的關(guān)系，建立熱誤差模型。對(duì)幾何定位誤差建模采用切比雪夫多項(xiàng)式方法，利用多光束激光干涉儀XM-60檢測(cè)機(jī)床直線軸在不同時(shí)刻的誤差，實(shí)時(shí)采集關(guān)鍵點(diǎn)溫度，最終將復(fù)合模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，結(jié)果表明：復(fù)合模型具有較高的預(yù)測(cè)精度。

1 絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差機(jī)制分析

機(jī)床直線軸的溫度變化受多種因素影響，這些因素都會(huì)使絲杠溫度發(fā)生變化從而產(chǎn)生熱變形。如圖1所示，兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)產(chǎn)生熱變形時(shí)，在軸承剛度影響下，其絲杠兩端均受到軸向徑向載荷，限制絲杠熱膨脹，從而起到降低熱誤差的效果。

圖1 兩端固定式絲杠

在絲杠受熱變性前，會(huì)有一個(gè)初始的軸向預(yù)載荷來(lái)限制絲杠的熱膨脹，隨著機(jī)床運(yùn)行，絲杠內(nèi)部熱應(yīng)力不斷增大。當(dāng)絲杠內(nèi)部熱應(yīng)力未達(dá)到臨界載荷時(shí)，絲杠會(huì)處于水平狀態(tài)，相對(duì)軸向位移為零；當(dāng)超過(guò)臨界載荷時(shí)會(huì)發(fā)生撓曲變形，如圖2所示。因此熱應(yīng)力產(chǎn)生的變形量是臨界載荷所限制的軸向變形量與撓曲變形產(chǎn)生的軸向誤差之和。

圖2 絲杠撓曲變形

(1)

式中：為預(yù)載應(yīng)力，Pa；為絲杠初始長(zhǎng)度，m;為彈性模量，N/m；為撓曲變形引起的軸向伸長(zhǎng)，m。

在絲杠冷態(tài)條件下，取絲杠微元長(zhǎng)度d，當(dāng)絲杠發(fā)生熱膨脹時(shí)，由于受到兩端約束的限制，此時(shí)發(fā)生撓曲變形，其初始微元長(zhǎng)度變?yōu)閐，此時(shí)絲杠伸長(zhǎng)率為

(2)

在兩端緊固狀態(tài)下，絲杠發(fā)生撓曲變形后引起的軸向伸長(zhǎng)為

(3)

式中：為撓曲線切線與水平方向夾角；為撓度誤差。

在考慮沒(méi)有約束情況下時(shí)，由溫度引起的絲杠軸向伸長(zhǎng)量為

(4)

式中：為熱膨脹系數(shù)，10m/℃；Δ(,)為絲杠表面溫升量，℃；為熱應(yīng)力，Pa。

將式(2)(3)代入式(1)得：

(5)

撓曲線微分方程通解以及絲杠兩端邊界條件為

=cos+sin++

(6)

(7)

式中：、、、為未知系數(shù)；為撓度波長(zhǎng)系數(shù)。將邊界條件(7)代入(6)，解得撓曲線方程為

=sin

(8)

將式(6)代入式(4)解得：

(9)

式中：=π/，為長(zhǎng)度因數(shù)，這里假設(shè)絲杠實(shí)際伸長(zhǎng)量全變?yōu)閾锨冃危?2。根據(jù)撓度與軸向位移的關(guān)系，推導(dǎo)出軸向熱位移誤差為

(10)

絲杠在受熱載荷的條件下產(chǎn)生熱應(yīng)力，熱應(yīng)力會(huì)使絲杠產(chǎn)生撓曲變形，通過(guò)撓曲線方程推導(dǎo)，將式(9)代入式(10)，得到熱誤差表達(dá)式。這里設(shè)絲杠的熱誤差的幅值=-280，波長(zhǎng)=π/1.3；比較熱應(yīng)力與臨界應(yīng)力之間的關(guān)系，得到兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱致定位誤差模型：

(11)

由推導(dǎo)公式可得：當(dāng)機(jī)床工作時(shí)，絲杠熱應(yīng)力會(huì)逐漸增加，當(dāng)熱應(yīng)力小于臨界應(yīng)力時(shí)，即<,其軸向熱位移為零，這說(shuō)明兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)對(duì)熱誤差具有一定的限制;當(dāng)絲杠溫度達(dá)到一定值時(shí)，熱應(yīng)力將大于臨界應(yīng)力，即≥，得到的熱誤差模型是以絲杠升溫與位移為自變量的正弦函數(shù)表達(dá)式。這為兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差建模與補(bǔ)償提供了基本思路。

2 幾何誤差與熱誤差復(fù)合建模

2.1 基于有限元法瞬態(tài)熱仿真分析

絲杠表面在多處邊界條件影響下，想要通過(guò)理論計(jì)算解出溫度模型非常困難。本文作者基于有限元法來(lái)提取絲杠表面溫度場(chǎng),因此對(duì)空心絲杠進(jìn)給系統(tǒng)建立生熱、散熱計(jì)算模型。

(1)軸承生熱計(jì)算

滾動(dòng)軸承的生熱主要由滾動(dòng)體與套圈之間摩擦力矩以及潤(rùn)滑劑的流體動(dòng)力學(xué)損耗所引起的，其生熱率計(jì)算公式為

=0104 7

(12)

=+

(13)

式中：為軸承轉(zhuǎn)速，r/min；為軸承摩擦力矩，N·m；為與軸承類(lèi)型、轉(zhuǎn)速和潤(rùn)滑劑性質(zhì)有關(guān)的力矩；為與軸承所受載荷有關(guān)的摩擦力矩。

(2)絲杠生熱計(jì)算

絲杠螺母副是由滾珠與滾道間摩擦產(chǎn)生熱量，其生熱計(jì)算公式與軸承生熱計(jì)算相同。絲杠螺母摩擦力矩為

=094+

(14)

式中：為預(yù)緊阻力矩；為驅(qū)動(dòng)力矩。

(3)電機(jī)生熱計(jì)算

電機(jī)與絲杠前軸承處一端通過(guò)聯(lián)軸器連接，其溫度不會(huì)直接影響絲杠，但電機(jī)的生熱會(huì)影響前軸承座的溫度，因此需計(jì)算電機(jī)生熱量。其計(jì)算公式為

(15)

式中：為電機(jī)輸出扭矩；為電機(jī)機(jī)械效率。

(4)對(duì)流換熱系數(shù)

(16)

式中：為努賽爾數(shù)；為空氣熱傳導(dǎo)系數(shù)；為特征尺寸。

(5)空心絲杠冷卻液強(qiáng)制散熱

=(-)

(17)

式中：為冷卻液密度，kg/m；為冷卻液流量，L/min；為冷卻液比熱容，J/(kg·℃)。

2.2 建立絲杠溫度模型

所研究的臥式精密加工中心采用的是雙驅(qū)動(dòng)進(jìn)給系統(tǒng)，對(duì)滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)單元的各部分材料物性參數(shù)進(jìn)行定義，如表1所示。

表1 絲杠螺母副各部分物性參數(shù)

圖3為向進(jìn)給系統(tǒng)，首先利用ANSYS Fluent進(jìn)行流體分析獲得冷卻液出口溫度，計(jì)算出冷卻液進(jìn)出口溫差為0.69 ℃；以工況為15 m/min的進(jìn)給速度對(duì)向絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行瞬態(tài)熱分析。設(shè)置環(huán)境溫度為20 ℃，根據(jù)上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算出熱載荷以及邊界條件參數(shù)，如表2所示。

圖3 Z向進(jìn)給系統(tǒng)

表2 各部位熱載荷與邊界條件

設(shè)置絲杠螺母運(yùn)動(dòng)行程為900 mm，利用imprint faces生成有效路徑面，對(duì)有效路徑施加絲杠螺母副摩擦產(chǎn)生的熱流密度。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，精密加工中心達(dá)到熱平衡時(shí)間約為14 400 s，為驗(yàn)證熱平衡時(shí)間的準(zhǔn)確性，故取18 000 s為滾珠絲杠螺母副的總仿真時(shí)間。設(shè)置最小載荷步為18 s，最大載荷步為600 s。將上述參數(shù)施加到有限元模型中，計(jì)算得到向滾珠絲杠進(jìn)給系統(tǒng)溫度場(chǎng)。

對(duì)雙驅(qū)動(dòng)絲杠進(jìn)給系統(tǒng)兩邊施加同等邊界條件，其熱源分布較為對(duì)稱(chēng)，以右絲杠進(jìn)給系統(tǒng)為例，仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 有效行程下絲杠表面溫度

由圖4(a)可知:前軸承座溫度高于后軸承，是由于電機(jī)溫度的影響，但絲杠靠近前軸承部分溫度較低是由于選取的有效行程偏向于后軸承，因此絲杠在靠近前軸承處沒(méi)有產(chǎn)生摩擦熱。提取絲杠有效行程下的表面溫度，將絲杠表面溫度數(shù)據(jù)導(dǎo)入到MATLAB中,在有效行程下絲杠表面溫度如圖5所示。

圖5 有效行程下絲杠表面溫度

利用MATLAB將絲杠瞬態(tài)溫度代入到式(4)，其中絲杠熱膨脹系數(shù)=1.18×10℃，計(jì)算熱應(yīng)力變化情況，取位置270、540、810 mm處的絲杠熱應(yīng)力的變化情況如圖6所示。臨界預(yù)載荷為最大工作載荷的1.35倍，故臨界應(yīng)力值=4.88 MPa。由圖6可發(fā)現(xiàn)3個(gè)位置在非穩(wěn)態(tài)條件下均大于臨界應(yīng)力值，在4 h左右達(dá)到穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，且在1 h內(nèi)負(fù)載熱應(yīng)力增長(zhǎng)幅度最大，即在=1 h時(shí)產(chǎn)生的熱變形量較大。

圖6 絲杠熱應(yīng)力

將絲杠表面溫度數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)一化處理，除去波動(dòng)較大的溫度數(shù)據(jù)，計(jì)算每小時(shí)絲杠表面平均升溫量，將絲杠表面升溫量代入到式(9)中計(jì)算得到熱誤差幅值，見(jiàn)表3。根據(jù)式(11)計(jì)算在1、2、3、4 h時(shí)刻的熱致定位誤差如圖7所示。

表3 不同時(shí)刻絲杠表面升溫值與幅值

圖7 熱誤差

2.3 基于切比雪夫多項(xiàng)式幾何誤差建模

在機(jī)床運(yùn)行零時(shí)刻所產(chǎn)生的誤差視為幾何誤差，由于幾何誤差受到加工與裝配等諸多影響因素，因此對(duì)其理論計(jì)算較為困難，本文作者采用切比雪夫多項(xiàng)式對(duì)幾何定位誤差進(jìn)行參數(shù)化建模。

切比雪夫多項(xiàng)式是以遞歸方式所定義的一系列正交多項(xiàng)式，第一類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式在多項(xiàng)式插值時(shí)可最大限度降低龍格現(xiàn)象，可實(shí)現(xiàn)連續(xù)函數(shù)的最佳逼近。第一類(lèi)切比雪夫前4項(xiàng)公式為

(18)

式中：為切比雪夫變量。

對(duì)直線軸運(yùn)動(dòng)行程進(jìn)行歸一化處理，其轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(19)

式中：為行程最大值，=900 mm；為初始位置，=0 mm；建立切比雪夫多項(xiàng)式模型并計(jì)算基函數(shù)的回歸系數(shù)：

=()+()+()+…+

(20)

(21)

式中：為回歸模型；為數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)；為第個(gè)檢測(cè)數(shù)據(jù)；為誤差數(shù)據(jù)；()為階切比雪夫多項(xiàng)式。

根據(jù)式(21)計(jì)算得到回歸系數(shù)，并代入到式(20)中，解得含有切比雪夫變量的多項(xiàng)式，再將式(18)代入，得到最終的直線軸靜態(tài)下的幾何定位誤差模型為

(,0)=-6993 9-5226 3+0939 7(2-1)-1052 8(4-3)

(22)

將幾何誤差與熱誤差模型疊加如式(23)，得到向直線軸幾何與熱誤差復(fù)合模型。

=(,0)+(,)

(23)

3 復(fù)合誤差模型實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證復(fù)合定位誤差模型的正確性，在JIG630精密臥式加工中心上進(jìn)行復(fù)合定位誤差檢測(cè)實(shí)驗(yàn)。通過(guò)測(cè)得不同時(shí)刻下的定位誤差來(lái)驗(yàn)證所建立模型的正確性。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

以精密臥式加工中心的向進(jìn)給系統(tǒng)為研究對(duì)象，利用多束激光干涉儀XM-60作為定位誤差檢測(cè)裝置,在螺母座、前軸承座、后軸承座、電機(jī)、冷卻液進(jìn)出口處布置溫度傳感器，對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)溫度進(jìn)行實(shí)時(shí)檢測(cè)，布置方式如圖8所示。

圖8 精密機(jī)床實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

復(fù)合定位誤差檢測(cè)流程：在初始冷態(tài)下，采用XM-60對(duì)機(jī)床軸幾何定位誤差進(jìn)行測(cè)量，然后以進(jìn)給速度為15 m/min進(jìn)行往復(fù)運(yùn)動(dòng)，每隔1 h對(duì)軸進(jìn)行一次定位誤差測(cè)量，當(dāng)運(yùn)行4 h左右時(shí)，溫度基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)，進(jìn)行最后一次測(cè)量。除初始冷態(tài)測(cè)得的為幾何誤差，其余4次誤差測(cè)量，均為幾何與熱的復(fù)合定位誤差。

3.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

以進(jìn)給速度15 m/min運(yùn)行的向絲杠進(jìn)給系統(tǒng)各關(guān)鍵點(diǎn)溫度與仿真溫度對(duì)比如圖9所示，實(shí)驗(yàn)過(guò)程中環(huán)境溫度為(20±0.5)℃，冷卻液流量為5 L/min，整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程保持不變。

如圖9所示:隨著機(jī)床運(yùn)行時(shí)間的增加，關(guān)鍵點(diǎn)溫度不斷增加，電機(jī)座相對(duì)于軸承座溫度較高，是由于電機(jī)的生熱對(duì)電機(jī)座有一定的影響。第一個(gè)小時(shí)增加幅度最大，隨后生熱減少，實(shí)驗(yàn)溫度呈波動(dòng)趨勢(shì)，是由于每次定位誤差檢測(cè)，絲杠停止運(yùn)行，機(jī)床處于自然散熱，會(huì)出現(xiàn)降溫的趨勢(shì)。

圖9 溫度仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比

仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)溫度曲線進(jìn)行對(duì)比，各關(guān)鍵點(diǎn)瞬態(tài)仿真曲線的升溫趨勢(shì)與實(shí)驗(yàn)溫度曲線相符，且達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的仿真值與實(shí)驗(yàn)值相差不大，絲杠表面溫度受各處關(guān)鍵點(diǎn)溫度的影響，證明利用有限元法對(duì)絲杠表面溫度進(jìn)行描述具有正確性。

對(duì)機(jī)床向進(jìn)給系統(tǒng)每隔1 h進(jìn)行誤差檢測(cè)，測(cè)量行程與仿真行程保持一致，每次測(cè)量得到幾何誤差與熱誤差的復(fù)合定位誤差，機(jī)床運(yùn)行1 h后產(chǎn)生的熱致誤差最大，2 h之后誤差幅度增加變小，是由于絲杠表面溫度在1 h左右增幅最大，2 h之后升溫幅度變得緩慢，當(dāng)運(yùn)行4 h左右時(shí)，溫度基本達(dá)到穩(wěn)態(tài)，所以將4 h后的誤差作為穩(wěn)態(tài)誤差。將幾何誤差與不同時(shí)刻下的熱誤差代入式(23)，得到不同時(shí)刻幾何與熱復(fù)合誤差模型。實(shí)驗(yàn)曲線與預(yù)測(cè)曲線進(jìn)行對(duì)比，如圖10所示。

圖10 不同時(shí)刻下復(fù)合誤差實(shí)驗(yàn)值與預(yù)測(cè)值

由圖10可看出:機(jī)床冷態(tài)狀況下預(yù)測(cè)值與測(cè)量值最大誤差為1.42 μm，機(jī)床跑車(chē)1 h，復(fù)合誤差預(yù)測(cè)值與測(cè)量值最大誤差為0.92 μm；跑車(chē)2 h，復(fù)合誤差的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的最大誤差為1.285 μm；跑車(chē)3 h，復(fù)合誤差的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的最大誤差為1.285 μm；跑車(chē)4 h，復(fù)合誤差的預(yù)測(cè)值與測(cè)量值的最大誤差為1.85 μm。復(fù)合預(yù)測(cè)精度達(dá)到85%以上,驗(yàn)證了幾何與熱誤差復(fù)合模型的有效性。此外，對(duì)于兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，預(yù)測(cè)模型計(jì)算得到的熱致誤差小于實(shí)測(cè)值，其原因是由于床身在多處熱源的影響下會(huì)發(fā)生變形，從而會(huì)減少兩端的臨界載荷對(duì)絲杠的限制，進(jìn)一步增大熱致定位誤差的產(chǎn)生。

4 結(jié)論

(1)針對(duì)兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)，從誤差產(chǎn)生機(jī)制角度分析，提出了幾何與熱復(fù)合定位誤差建模方法。通過(guò)對(duì)絲杠受熱膨脹所產(chǎn)生的熱應(yīng)力與兩端固定所產(chǎn)生臨界載荷的分析，根據(jù)絲杠的撓曲變形，推導(dǎo)出兩端固定式絲杠進(jìn)給系統(tǒng)熱誤差的正弦函數(shù)表達(dá)式。

(2)利用有限元法對(duì)絲杠進(jìn)給系統(tǒng)進(jìn)行瞬態(tài)熱分析，提取有效行程處的絲杠表面溫度并作為輸入量代入到誤差模型中，從而分析不同時(shí)刻所產(chǎn)生的熱致定位誤差。

(3)機(jī)床靜態(tài)下的幾何誤差采用切比雪夫多項(xiàng)式進(jìn)行參數(shù)化建模，與熱誤差進(jìn)行疊加，從而得到不同時(shí)刻下的復(fù)合誤差模型。

(4)根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)得的不同時(shí)刻下定位誤差曲線，與文中所建立的復(fù)合誤差模型預(yù)測(cè)曲線進(jìn)行對(duì)比，其重合度達(dá)到85%以上，驗(yàn)證了復(fù)合誤差模型的準(zhǔn)確性，為提高直線軸定位精度提供了理論依據(jù)。