王 靜, 陶雙平

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 蘭州 730070)

1 引言與預(yù)備知識

設(shè)Ω在n上零次齊次且滿足消失矩條件其中:x′=x/|x|,x≠0;Sn-1為n(n≥2)中的單位球面, dσ(x′)為其上的Lebesgue測度.

固定T>0, 對t∈(0,T), 與時間t相關(guān)的Marcinkiewicz積分μΩ定義為

(1)

對于局部可積函數(shù)b, Marcinkiewicz積分交換子定義為

(2)

同理, 對t∈(0,T), 0<α

(3)

當(dāng)f(y,t)恒為f(y)時, 上述定義的與時間t相關(guān)的Marcinkiewicz積分和Riesz位勢即為經(jīng)典的Marcinkiewicz積分和Riesz位勢. 文獻[1]得到了經(jīng)典的Riesz位勢在加權(quán)Lebesgue空間上的有界性, 進一步的結(jié)果可參見文獻[2]. 當(dāng)Ω∈Ls(Sn-1)(s>1),s′

定義1設(shè)T>0, 1

Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))∶={f(x,t): ‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))<∞},

其中

這里Bρ(x)={y∈n: |y-x|<ρ}.當(dāng)u=v時, 簡記為Lq,μ(0,T,Lp,λ(u)).

易見, 當(dāng)權(quán)函數(shù)u=v=1時, 時空混合范加權(quán)Morry空間Lq,μ(0,T,Lp,λ(u,v))即為文獻[10]中定義的Lq,μ(0,T,Lp,λ(n)), 且是文獻[7]中定義的加權(quán)Morry空間Lp,λ(u,v)的一種自然推廣.

設(shè)10, 使得

(4)

則稱非負(fù)可測函數(shù)w∈Ap[2].設(shè)10, 使得

(5)

設(shè)10, 使得下列反向H?lder不等式成立：

(6)

記w∈RHr.

引理2[3]設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1)(1

1)s′

則存在與f無關(guān)的常數(shù)C>0, 使得對任意的f∈Lp(w), 有‖μΩ(f)‖Lp(w)≤C‖f‖Lp(w).

引理3[4]設(shè)零階齊次函數(shù)Ω∈Ls(Sn-1)(10, 使得對任意的f∈Lp(w), 有‖[b,μΩ](f)‖Lp(w)≤C‖f‖Lp(w).

引理4[13]設(shè)w∈Ap且p≥1， 則對任意的球B, 存在一個絕對常數(shù)C>0, 使得w(2B)≤Cw(B).一般地, 對任意的λ>1, 有w(λB)≤C·λnpw(B), 其中C與B和λ無關(guān).

引理5[14]設(shè)w∈RHr(r>1), 則存在一個常數(shù)C>0, 使得對包含球B的任意可測集E, 成立

引理6[15]設(shè)b∈BMO(n), 則對任意的1≤p<∞, 有

其中‖b‖*=‖b‖BMO.

2 主要結(jié)果

‖Iα(f)‖Lq′,μ′(0,T,Lq,λq/p(wq))≤C‖f‖Lq′,μ′(0,T,Lp,λ(wp,wq)).

證明： 設(shè)B=B(x0,r)={x∈n: |x-x0|

由引理1和引理4, 可得

下面估計I2(t).由H?lder不等式得

注意到當(dāng)x∈B,y∈(2B)c時, 有|y-x|～|y-x0|.因此

從而

從而

于是由引理5得

結(jié)合I1(t)和I2(t)的估計, 有

對式(7)兩邊取q′次方, 再在(0,T)∩(t0-ρ,t0+ρ)上積分, 可得

將式(8)兩邊乘1/ρμ′, 并取上確界, 兩邊再取1/q′次方, 得

從而

‖Iα(f)‖Lq′,μ′(0,T,Lq,λq/p(wq))≤C‖f‖Lq′,μ′(0,T,Lp,λ(wp,wq)).

證畢.

定理2設(shè)10, 使得‖μΩ(f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

證明： 設(shè)B=B(x0,r), 類似定理1的證明, 記f=f1+f2, 其中f1=fχ2B.則

由引理2和引理4, 可得

下面估計K2(t).注意到當(dāng)x∈B,y∈2j+1B(2jB),j≥1時, 2j-1r≤|x-y|<2j+2r成立.因此利用Minkowski不等式和H?lder不等式, 得

再利用球坐標(biāo)變換, 有

注意到, 如果x∈B,y∈(2B)c, 則|y-x|～|y-x0|.因此可得

從而

由于w∈Ap/s′, 記p1=p/s′, 由H?lder不等式得

因此

于是由引理5可得

結(jié)合K1(t)和K2(t)的估計, 有

對式(9)兩邊取q次方, 再在(0,T)∩(t0-ρ,t0+ρ)上積分, 可得

將式(10)兩邊乘1/ρμ, 并取上確界, 兩邊再取1/q次方, 得

‖μΩ(f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

證畢.

定理3設(shè)10, 使得

‖[b,μΩ](f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

證明： 設(shè)B=B(x0,r)={x∈n: |x-x0|

由引理3和引理4, 可得

下面估計J2(t).對任意的x∈B, 有

由定理2的證明, 可知

則

因此

由于w∈Ap/s′, 則存在r>1, 使得w∈RHr.因此利用H?lder不等式和引理6, 可得

由式(11)和引理5, 得

下面估計J22.

當(dāng)x∈B,y∈(2B)c時, 有|y-x|～|y-x0|.由于w∈Ap/s′, 記p1=p/s′, 因此由H?lder不等式和定理2的證明, 可得

于是由引理5有

再由定理2的證明中關(guān)于K2(t)的估計, 可知

注意到當(dāng)b∈BMO(n)時, 有|b2j+1B-bB|≤Cj‖b‖*, 則

因此

結(jié)合J1(t)和J2(t)的估計, 得

對式(12)兩邊乘1/ρμ, 并取上確界, 兩邊再取1/q次方, 得

‖[b,μΩ](f)‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w))≤C‖f‖Lq,μ(0,T,Lp,λ(w)).

證畢.