陳海濤，李 婷，高曾輝

(1.成都師范學(xué)院 物理與工程技術(shù)學(xué)院，成都 611130；2.宜賓學(xué)院 計(jì)算物理四川省高校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，宜賓 610064)

引 言

奇點(diǎn)光學(xué)主要對(duì)光場(chǎng)中出現(xiàn)的位相奇點(diǎn)或者偏振奇點(diǎn)進(jìn)行研究，由于其在光操縱、原子捕獲光干涉度量和顯微檢測(cè)等方面日益重要的應(yīng)用而成為現(xiàn)代光學(xué)的一個(gè)重要分支。典型的位相奇點(diǎn)包括螺旋型位錯(cuò)(光渦旋)和刃型位錯(cuò)兩種，而光渦旋偶極子被定義為帶有相反拓?fù)潆姾傻囊粚?duì)光渦旋[1]。INDEBETOUW研究發(fā)現(xiàn),構(gòu)成光渦旋偶極子的兩個(gè)光渦旋，因帶有相反拓?fù)潆姾啥诳臻g傳輸中相互吸引并湮滅[1]。FREUND的研究表明：傳輸過(guò)程中湮滅的光渦旋偶極子會(huì)在光傳輸過(guò)程中在遠(yuǎn)場(chǎng)重現(xiàn)[2]。ROUX采用旁軸近似理論，分別討論了光渦旋偶極子在自由空間和梯度折射率介質(zhì)的傳輸軌跡[3-4]。Lü等人研究了光渦旋偶極子通過(guò)像散透鏡和半屏衍射的演化特性[5-6]。

矢量光束中存在的典型偏振奇點(diǎn)有兩種:一是光場(chǎng)中孤立的圓偏振點(diǎn)，定義為C點(diǎn)，從C點(diǎn)起偏振橢圓退化為圓；二是L線，線上點(diǎn)的偏振橢圓退化為線[7]。實(shí)驗(yàn)上可以采用干涉或者衍射的方法，兩束非均勻光束進(jìn)行疊加來(lái)產(chǎn)生C點(diǎn)[8-10]。此外,偏振奇點(diǎn)也可以由兩束單色光束非相干疊加產(chǎn)生[11-12]。類(lèi)似于光渦旋偶極子的定義。FREUND將C點(diǎn)偶極子定義為具有對(duì)稱性并帶相反指數(shù)IC為+1/2和-1/2的一對(duì)C點(diǎn)，通過(guò)相干疊加的方法在光束束腰處嵌入預(yù)期的奇點(diǎn)結(jié)構(gòu)，來(lái)浮現(xiàn)C點(diǎn)偶極子[10]。跟光束相干的相干疊加相比，激光束非相干疊加對(duì)其相位和偏振沒(méi)有嚴(yán)格要求，不需要控制光束的相位，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單而易于實(shí)現(xiàn)[13]。

穩(wěn)定激光腔輸出的光束屬于各類(lèi)高斯光束，而非穩(wěn)腔輸出的基模光束準(zhǔn)直后的遠(yuǎn)場(chǎng)光強(qiáng)度分布接近高斯分布，因此，高斯光束傳輸?shù)难芯吭诶碚摵驮诠こ虒?shí)踐中都有重要意義[14]。多數(shù)奇點(diǎn)光學(xué)的研究基于光束傳輸?shù)呐暂S近似理論對(duì)奇點(diǎn)的空間演化特性進(jìn)行討論。但是，對(duì)于擁有大發(fā)散角或者跟波長(zhǎng)相比擬的小光斑尺寸的光束傳輸，采用旁軸理論得到結(jié)果并不準(zhǔn)確，光束傳輸?shù)姆桥暂S效應(yīng)應(yīng)該予以考慮[15-18]。因此，作者擬對(duì)高斯光束進(jìn)行非相干疊加得到C點(diǎn)偶極子，對(duì)旁軸和非旁軸兩種情形下C點(diǎn)偶極子的演化進(jìn)行理論分析和數(shù)值模擬研究，并將兩種情形的演化特性進(jìn)行對(duì)比。

1 理論計(jì)算

1.1 旁軸情形

設(shè)初始單色矢量電場(chǎng)E由具有相同角頻率ω的兩束矢量光束E0,A和E0,B非相干疊加構(gòu)成，它們可以表示為:

(1)

式中,i和j分別表示x方向和y方向的單位矢量，t表示時(shí)間變量。

在非相干條件下，總電場(chǎng)的斯托克斯參數(shù)為各個(gè)非相干成分的斯托克斯參數(shù)之和[12]:

Sl=Sl,A+Sl,B，(l=0,1,2,3)

(2)

其中,

(3)

式中，Re和Im表示相應(yīng)函數(shù)的實(shí)數(shù)和虛數(shù)部分，*表示對(duì)相應(yīng)函數(shù)取復(fù)共軛。

光場(chǎng)中的C點(diǎn)位置可以通過(guò)對(duì)應(yīng)的斯托克斯標(biāo)量場(chǎng)來(lái)描述[19]：

S1，2=S1+iS2

(4)

要采用非相干疊加光束在光場(chǎng)中得到C點(diǎn)偶極子，假定初始場(chǎng)成分E0,A和E0,B為：

(5)

式中,w0為光腰半徑,s為離軸距離。將(5)式代入(2)式～(4)式得：

S1,2=(x0+s+iy0)(x0-s-iy0)×

exp[-(x02+y02)/w02]

(6)

(6)式表明,初始平面光場(chǎng)含有奇點(diǎn)指數(shù)為±1/2的一對(duì)C點(diǎn)偶極子，這兩個(gè)C點(diǎn)對(duì)稱位于(-s,0)和(s,0)。

在旁軸近似下，采用菲涅耳衍射積分公式，得到平面?zhèn)鬏斁嚯xz>0處的EAx,EAy,EBx和EBy為：

(7)

其中,

(8)

式中，k為與背景光束波長(zhǎng)λ有關(guān)的波數(shù)，k=2π/λ。

將(7)式和(8)式代入(2)式～(4)式,得到z平面處C點(diǎn)的坐標(biāo)：

(9)

由(9)式可以看出：在旁軸近似下，雖然攜帶C點(diǎn)偶極子的兩束非相干疊加光束中C點(diǎn)的位置跟傳輸距離z、光束波長(zhǎng)λ、光腰半徑w0以及離軸距離s有關(guān)，但并沒(méi)有出現(xiàn)C點(diǎn)產(chǎn)生和湮滅。這與攜帶C點(diǎn)偶極子的單一高斯光束的傳輸特性不同，后者在傳輸過(guò)程中，有新的C點(diǎn)產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象發(fā)生[10]。

由(9)式可知，連接這兩個(gè)C點(diǎn)的直線斜率可以表示為:

m=2z/(kw02)

(10)

(10)式表明,隨著傳輸距離的增加，連接這兩個(gè)C點(diǎn)直線的斜率是單調(diào)增加的。

1.2 非旁軸情形

在非旁軸情形下，將(5)式代入瑞利-索末菲衍射積分，得z>0平面處的光場(chǎng)為：

(11)

式中,

(12)

比較(7)式和(11)式可以看出，攜帶C點(diǎn)偶極子的光束非旁軸情形下的傳輸表達(dá)式比旁軸情形復(fù)雜得多，并且也不容易得到光束傳輸過(guò)程中的C點(diǎn)位置坐標(biāo)公式。

2 數(shù)值模擬

2.1 旁軸情形

在數(shù)值計(jì)算時(shí)，C點(diǎn)的奇點(diǎn)指數(shù)可以根據(jù)符號(hào)法則來(lái)確定[20]，其旋向性由斯托克斯參數(shù)S3的正負(fù)來(lái)判定[21]，偏振度由下式?jīng)Q定[22]:

(13)

圖1為旁軸情形下自由空間傳輸?shù)腃點(diǎn)偶極子光束的S1,2的等位相線圖。其中計(jì)算參數(shù)λ=1050nm,w0=2mm,s=0.2w0,圖中用白色小圓點(diǎn)(黑色小圓點(diǎn))表示奇點(diǎn)指數(shù)為+1/2或-1/2的C點(diǎn)。由圖1a可見(jiàn)，與(6)式一致，初始平面z=0出現(xiàn)了有由奇點(diǎn)指數(shù)為±1/2的C點(diǎn)1和2構(gòu)成的C點(diǎn)偶極子，這兩個(gè)C點(diǎn)對(duì)稱的位于(-0.4mm,0mm)和(0.4mm,0mm),其旋向性均為+1，偏振度都是1。由傳輸距離增加到z=0.001zR(其中zR=πw02/λ2)的圖1b可見(jiàn)，C點(diǎn)1和2移動(dòng)到分別到位置(-0.41mm,0.04mm)和(0.41mm,0.04mm)處。雖然，這兩個(gè)奇點(diǎn)的旋向性不變，但是它們的偏振度分別變?yōu)镻=0.008和P=0.97。由圖1a～圖1d可以看出，隨著傳輸距離的增加，連接兩個(gè)C點(diǎn)的直線斜率不斷增加，這與(9)式相一致。因此，隨著傳輸距離的增加，由高斯光束非相干疊加形成的C點(diǎn)偶極子的位置和偏振度可能改變，但并沒(méi)有新的C點(diǎn)產(chǎn)生。該結(jié)論與通過(guò)相干高斯光束產(chǎn)生的C點(diǎn)偶極子演化特性不同，后者隨著傳輸距離的增加，會(huì)出現(xiàn)C點(diǎn)的產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象[10]。

Fig.1 Contour lines of phase of S1,2 of the paraxial beams carrying a C-dipolea—z=0 b—z=0.1zR c—z=zR d—z=50zR

2.2 非旁軸情形

圖2為非旁軸旁軸情形下自由空間傳輸?shù)腃點(diǎn)偶極子光束的S1,2的等位相線圖。為了滿足瑞利衍射積分條件，背景高斯光束成分的光腰半徑取作w0=2μm，其它計(jì)算參數(shù)與圖1相同。當(dāng)傳輸距離增加到z=0.01zR(見(jiàn)圖2b)時(shí)，C點(diǎn)1和2分別移動(dòng)到位置(-0.374mm,0.008mm)和(0.161mm,0.003mm)處,它們的偏振度則由P均為1分別變?yōu)?.22和0.27。除了C點(diǎn)1和2之外，光場(chǎng)還出現(xiàn)了C點(diǎn)3,4,5和6，它們的奇點(diǎn)指數(shù)分別為+1/2,-1/2,+1/2,-1/2，偏振度分別為0.36,0.35,0.36,0.67。當(dāng)傳輸距離增加到z=0.042zR(見(jiàn)圖2c)，光場(chǎng)中除了C點(diǎn)1～6之外，出現(xiàn)了新的C點(diǎn)7和8，這兩個(gè)奇點(diǎn)的奇點(diǎn)指數(shù)分別為+1/2和-1/2，偏振度分別為0.65,0.57。在此之后，C點(diǎn)3和4因其奇點(diǎn)指數(shù)相反和旋向性相同，隨著傳輸距離的增加而相互靠近，直到z=0.5zR時(shí)(見(jiàn)圖2d)最終結(jié)合而湮滅。同理，C點(diǎn)2和5在距離傳輸?shù)絲=4.9zR時(shí)(見(jiàn)圖2e)湮滅，C點(diǎn)2和5在距離傳輸?shù)絲=10.39zR時(shí)(見(jiàn)圖2f)湮滅。因此，隨著傳輸距離的增加，非旁軸旁軸情形下C點(diǎn)偶極子光束在傳輸過(guò)程中出現(xiàn)了多對(duì)C點(diǎn)的產(chǎn)生和湮滅。這與旁軸情形C點(diǎn)偶極子光束傳輸特性不同，隨著傳輸距離的增加，旁軸C點(diǎn)偶極子光束中沒(méi)出現(xiàn)C點(diǎn)產(chǎn)生的產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象。

Fig.2 Contour lines of phase of S1,2 of the nonparaxial beams carrying a C-dipolea—z=0 b—z=0.01zR c—z=0.042zR d—z=0.5zR e—z=4.9zR f—z=10.39zR

圖3是位置z=zR處C點(diǎn)偶極子非旁軸光束的S1,2隨其光腰半徑w0變化的等位相線圖。其它的計(jì)算參數(shù)跟圖2相同。由w0=0.1μm(見(jiàn)圖3a)可以看出，C點(diǎn)1,2,3和4出現(xiàn)在光場(chǎng)中，它們的奇點(diǎn)指數(shù)分別為+1/2,-1/2,+1/2,-1/2，偏振度分別為0.968,0.968,0.342,0.168。隨著w0增加，C點(diǎn)3和4因帶相反的奇點(diǎn)指數(shù)相互吸引而靠近(見(jiàn)圖3b)。在w0增加到0.222μm(見(jiàn)圖3c)時(shí)，C點(diǎn)3和4湮滅。但當(dāng)w0

Fig.3 Contour lines of phase of S1,2 for different waist widths of the host beamsa—w0=0.1μm b—w0=0.221μm c—w0=0.222μm d—w0=0.56μm e—w0=0.597μm f—w0=6.2μm

增加到0.56μm(見(jiàn)圖3d)時(shí)，光場(chǎng)出現(xiàn)了一對(duì)新的C點(diǎn)5和6，它們帶有相反奇點(diǎn)指數(shù)+1/2和-1/2，相同偏振度0.75。當(dāng)w0增加到0.597μm(見(jiàn)圖3e)時(shí)，光場(chǎng)又出現(xiàn)了帶有相反奇點(diǎn)指數(shù)+1/2和-1/2，相同偏振度0.27的一對(duì)C點(diǎn)7和8。此后，隨著w0增加，C點(diǎn)1和8因帶有相反拓?fù)潆姾珊拖嗤穸榷舜丝拷螠?見(jiàn)圖3f)。因此，隨著光腰半徑的變化，有帶有相反拓?fù)潆姾珊拖嗤穸鹊某蓪?duì)C點(diǎn)產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象發(fā)生。這與旁軸情形C點(diǎn)偶極子演化特性不同，由旁軸情形z平面處光場(chǎng)C點(diǎn)坐標(biāo)(9)式可以看出，旁軸C點(diǎn)偶極子光束中C點(diǎn)的個(gè)數(shù)不隨光腰半徑的改變而改變。

圖4為非旁軸光束的S1,2隨離軸距離s變化的等位相線圖。其它計(jì)算參數(shù)跟圖2相同。由s=0w0(見(jiàn)圖4a)可以看出，只有奇點(diǎn)指數(shù)為-1/2和偏振度為1的C點(diǎn)1出現(xiàn)在光場(chǎng)中。但是，當(dāng)離軸距離s增加到0.023w0(見(jiàn)圖4b)時(shí),除了C點(diǎn)1之外，奇點(diǎn)指數(shù)為+1/2和偏振度為1的C點(diǎn)2也出現(xiàn)在光場(chǎng)中。當(dāng)離軸距離s增加到 0.044w0(見(jiàn)圖4c)時(shí),光場(chǎng)中產(chǎn)生一對(duì)新的C點(diǎn)偶極子3和4，它們的奇點(diǎn)指數(shù)為-1/2和+1/2，偏振度均為1。當(dāng)離軸距離s增加到 0.05w0(見(jiàn)圖4d)時(shí),光場(chǎng)中又出現(xiàn)一對(duì)C點(diǎn)偶極子5和6，它們的奇點(diǎn)指數(shù)為-1/2和+1/2，偏振度均為1。隨著離軸距離s增加，C點(diǎn)1和4因帶有相反拓?fù)潆姾珊拖嗤穸榷舜丝拷螠?。這說(shuō)明：隨著離軸距離的變化，非旁軸光束中不僅出現(xiàn)成對(duì)C點(diǎn)的產(chǎn)生和湮滅，也有單個(gè)C點(diǎn)的產(chǎn)生。該結(jié)論與通過(guò)相干高斯光束產(chǎn)生的C點(diǎn)偶極子演化特性不同，后者沒(méi)有單個(gè)C點(diǎn)的產(chǎn)生或湮滅[10]。這與旁軸情形C點(diǎn)偶極子演化特性不同，由旁軸情形z平面處光場(chǎng)C點(diǎn)坐標(biāo)(9)式可以看出，旁軸C點(diǎn)偶極子光束中C點(diǎn)的個(gè)數(shù)不隨參數(shù)離軸距離的改變而改變。

Fig.4 Contour lines of phase of S1，2 for different off-axis parametera—s=0.01w0 b—s=0.023w0 c—s=0.044w0 d—s=0.05w0 e—s=0.72w0 f—s=0.73w0

圖5為非旁軸光束的S1，2隨波長(zhǎng)λ變化的等位相線圖。其它的計(jì)算參數(shù)跟圖2相同。在波長(zhǎng)λ=0.193μm(見(jiàn)圖5a)時(shí)，C點(diǎn)1,2,3和4出現(xiàn)在光場(chǎng)中，它們的奇點(diǎn)指數(shù)分別為+1/2,-1/2,+1/2和-1/2，偏振度分別為0.96,0.68,1和1。當(dāng)波長(zhǎng)λ增加到1.55μm(見(jiàn)圖5b)時(shí)，在C點(diǎn)3和4之間出現(xiàn)了一對(duì)新的C點(diǎn)，它們的奇點(diǎn)指數(shù)分別為+1/2和-1/2，偏振度均為1。因此，隨著背景光束波長(zhǎng)λ的變化，除了C點(diǎn)的位置和偏振度改變外，還有成對(duì)的C點(diǎn)產(chǎn)生。這與旁軸情形C點(diǎn)偶極子演化特性不同，由旁軸情形z平面處光場(chǎng)C點(diǎn)坐標(biāo)(9)式可以看出，旁軸C點(diǎn)偶極子光束中C點(diǎn)的個(gè)數(shù)不隨背景光束波長(zhǎng)的改變而改變。

Fig.5 Contour lines of phase of S1，2 for different wavelengths of the host beamsa—λ=0.193μm b—λ=1.55μm

3 結(jié) 論

通過(guò)兩束矢量高斯光束的非相干疊加得到了C點(diǎn)偶極子，然后從理論上和數(shù)值模擬討論了旁軸和非旁軸情形下C點(diǎn)偶極子光束的演化特性。研究表明：在旁軸情形下，構(gòu)成該C點(diǎn)偶極子的C點(diǎn)的位置和偏振度跟光束傳輸距離、離軸距離和背景光波長(zhǎng)有關(guān)，連接C點(diǎn)偶極子的軸線斜率隨傳輸距離的增加而單調(diào)增加。在非旁軸情形下，當(dāng)傳輸距離、離軸距離和背景光束波長(zhǎng)變化時(shí)，除了C點(diǎn)位置和偏振度可能變化外，還有成對(duì)的C點(diǎn)因帶有相反奇點(diǎn)指數(shù)而接近和湮滅.這些結(jié)果與旁軸矢量光束情形類(lèi)似。但是對(duì)于非旁軸情形，光束在傳輸過(guò)程中，光場(chǎng)中出現(xiàn)更多C點(diǎn)，有新的單個(gè)C點(diǎn)或者C點(diǎn)偶極子產(chǎn)生。這與旁軸情形C點(diǎn)偶極子演化特性不同，當(dāng)傳輸距離、光束波長(zhǎng)、光腰半徑和離軸距離等參數(shù)改變時(shí)，旁軸C點(diǎn)偶極子光束中并沒(méi)出現(xiàn)C點(diǎn)產(chǎn)生的產(chǎn)生和湮滅現(xiàn)象。

非旁軸情形下C點(diǎn)偶極子光束演化特性比旁軸情形豐富和復(fù)雜的原因在于,旁軸情形和非旁軸情形C點(diǎn)偶極子光束的傳輸遵從不同的傳輸規(guī)律：旁軸光束傳輸遵從菲涅耳衍射積分公式,而非旁軸光束傳輸遵從瑞利-索末菲衍射積分。盡管兩種情形的入射C點(diǎn)偶極子光束完全相同，但是兩種情形的z>0平面的光場(chǎng)表達(dá)式完全不同，非旁軸情形的表達(dá)式要復(fù)雜得多。這說(shuō)明非旁軸情形下C點(diǎn)偶極子光束的演化特性比旁軸情形顯得更豐富和復(fù)雜。研究結(jié)果對(duì)于深入理解非旁軸矢量光束奇點(diǎn)光學(xué)和尋找奇點(diǎn)光學(xué)的潛在的應(yīng)用具有參考價(jià)值。