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      一類泛函極小值點的幾何刻畫

      2022-09-24 10:12:46
      關鍵詞:極小值題設極大值

      薛 榮

      (中國人民銀行蘭州中心支行 國際收支處,甘肅 蘭州 730000)

      0 引言

      變分理論旨在研究泛函的極大值和極小值問題,它的解法非常類似于數(shù)學分析中函數(shù)的極大值和極小值的方法.變分在泛函的研究中所起的作用,如同微分在函數(shù)的研究中所起的作用.這里先對變分的概念作以扼要陳述.

      Δf=
      f[y(x)+αδy]-f[y(x)]=
      L[y,αδy]+β(y,αδy)|α|max|δy|.

      f[y+αδy]對α的導函數(shù)于α=0時的值等于

      因此

      如果Δf=f[y(x)]-f[y0(x)]≤0(≥0),則說泛函f[y(x)]在y=y0(x)上達到極大值(極小值).如果Δf≤0(≥0),而只在y=y0(x)時才有Δf=0,則說泛函f[y(x)]在y=y0(x)上達到嚴格的極大值(極小值)[1-3].

      本文就復Hilbert空間中共軛雙線性Hermite泛函的極小值和相應的變分不等式作一些討論.

      1 預備知識

      (1)φ(αx+βy,z)=αφ(x,z)+βφ(y,z);

      定義2[5]設φ(·,·)是線性空間X上的一個共軛雙線性泛函,如果存在M>0,使得

      |φ(x,y)|≤M‖x‖‖y‖(?x,y∈X),

      則稱φ(·,·)是X上的有界共軛雙線性泛函.當φ(·,·)是X上的有界共軛雙線性泛函時,記

      稱‖φ‖是泛函φ(·,·)的范數(shù).

      引理1設φ(·,·)是內(nèi)積空間X上的共軛雙線性泛函,則φ(·,·)是有界的?φ(·,·)是二元連續(xù)的.

      證明設φ(·,·)在X上有界,并設xn,x,yn,y∈X(n=1,2,…),xn→x,yn→y.由于

      |φ(xn,yn)-φ(x,y)|≤
      |φ(xn,yn)-φ(xn,y)|+
      |φ(xn,y)-φ(x,y)|≤
      ‖φ‖(‖xn‖‖yn-y‖+
      ‖xn-x‖‖y‖)→0(n→+∞),

      所以,φ(·,·)是二元連續(xù)函數(shù).

      反之,設φ(·,·)是二元連續(xù)函數(shù),如果φ(·,·)不是有界的,即存在{xn},{yn}?X,‖xn‖=1,‖yn‖=1,使得

      |φ(xn,yn)|≥n3(n=1,2,…).

      顯然

      又因為φ(·,·)是雙線性泛函,易知φ(0,y)=φ(x,0)=φ(0,0)=0 (?x,y∈X),從而由上式得到

      這與φ(·,·)是二元連續(xù)函數(shù)的假設矛盾.所以φ(·,·)是有界的.證畢.

      引理2[4-5](變分引理) 設X是Hilbert空間,M是X的一個非空閉凸子集,則?x∈X,?|y0∈M,使得

      2 主要結果

      定理1[6]設X是復Hilbert空間,φ(x,y)是X上的共軛雙線性Hermite泛函,并且?M>0,δ>0,使得

      δ‖x‖2≤φ(x,x)≤

      M‖x‖2(?x∈X).

      又設u0∈X,E是X中的一個閉凸子集,則函數(shù)

      x|→φ(x,x)-Re(u0,x) (x∈X)

      在E上達到最小值,并且達到最小值的點x0滿足變分不等式

      Re[2φ(x0,x-x0)-(u0,x-x0)]≥
      0 (?x∈E).

      證明(1)先證φ(·,·)是X上的有界共軛雙線性泛函,并且‖φ‖≤M.

      從而

      再由題設給出的不等式得,

      |φ(x,y)|≤M‖x‖‖y‖(?x,y∈X).

      因此,φ(·,·)是X上的有界共軛雙線性泛函,并且‖φ‖≤M.

      (2)證明定理1.記f(x)=φ(x,x)-Re(u0,x)(x∈X).根據(jù)引理1,φ(·,·)是X上的二元連續(xù)線性泛函.又容易驗證Re(u0,x)是X上的實值連續(xù)線性泛函,所以f(x)是X上的實值連續(xù)線性泛函.注意到線性連續(xù)和線性有界等價,因此,f(x)在X上有界,從而有下確界.由于E是Hilbert空間X中的閉凸子集,據(jù)引理2(變分引理),?x∈X,?|x0∈E,使得

      于是

      |f(x)-f(x0)|=|f(x-x0)|≤
      ‖f‖‖x-x0‖=‖f‖ρ(x,E) (?x∈X).

      下證變分不等式.記Δx=x-x0(x,x0∈E).設t∈(0,1),則x0+tΔx=tx+(1-t)x0∈E,從而

      證畢.

      定理2設X是復Hilbert空間,ψ是X上的線性連續(xù)泛函,M是X中的一個閉凸子集,則?u0∈X,使得函數(shù)

      在M上有最小值,并且達到最小值的點x0滿足變分不等式

      Re[(x0,x-x0)-(u0,x-x0)]≥
      0 (?x∈M).

      從而

      |f(x)-f(x0)|=|f(x-x0)|≤
      ‖f‖‖x-x0‖=
      ‖f‖ρ(x,M) (?x∈X).

      下證變分不等式.記Δx=x-x0(x,x0∈M),并設t∈(0,1),則x0+tΔx=tx+(1-t)x0∈M,從而

      證畢.

      定義4設φ(·,·)是線性空間X上的一個共軛雙線性泛函,稱由

      q(x)?φ(x,x) (?x∈X)

      定義的函數(shù)q(x)為X上由φ誘導的二次型.

      引理3設φ(·,· )是線性空間X上的共軛雙線性泛函,q是由φ誘導的二次型,則

      證明“?”是顯然的.下證“?”.由于

      從而

      即得

      (1)

      把式(1)中的y換成iy,

      左右兩端同除以i,得

      (2)

      式(1)與式(2)相減,即得

      證畢.

      定理3設X是復Hilbert空間,A為X的非空閉凸子集,f∈X*,φ(·,·)為X上的有界共軛雙線性Hermite泛函,則?|x0∈A,使得函數(shù)

      x|→φ(x,x)-Ref(x) (?x∈X)

      在A上達到最小值,并且達到最小值的點x0滿足變分不等式

      Re[2φ(x0,x-x0)-f(x-x0)]≥
      0 (?x∈A).

      證明記ψ(x)=φ(x,x)-Ref(x) (?x∈X).由題設,φ(·,·)是X上的共軛雙線性Hermite泛函,據(jù)引理3,φ(x,x)∈R(?x∈X).又由題設,φ(·,·)在X上是有界的,據(jù)引理1,φ(·,·)是X上的二元連續(xù)泛函.又據(jù)題設,f∈X*,因此,ψ(x)是X上的實值連續(xù)線性泛函.由于線性泛函的連續(xù)性和有界性等價,所以,ψ(x)在X上有界,從而有下確界.據(jù)題設,A是Hilbert空間X中的非空閉凸子集,據(jù)引理2 (變分引理),?x∈X,?|x0∈A,使得

      于是

      |ψ(x)-ψ(x0)|=
      |ψ(x-x0)|≤‖ψ‖‖x-x0‖=
      ‖ψ‖ρ(x,A) (?x∈X).

      下證變分不等式.記Δx=x-x0(x,x0∈A),設t∈(0,1),則x0+tΔx=tx+(1-t)x0∈A,從而

      證畢.

      3 結語

      本文使用初等方法討論了與復Hilbert空間中范數(shù)相關的泛函的極小值的存在性,并對極小子給出了幾何刻畫.定理1討論的是一個經(jīng)典的泛函極小值和與之相關的變分不等式,但筆者沒有看見過它的證明,故在此給出了一個較為初等的證明.

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