基于雙環(huán)滑?？刂频娜轿灰苿訖C器人軌跡跟蹤研究①

車洪磊

（中國安全生產(chǎn)科學研究院地鐵火災與客流疏運安全北京市重點實驗室 北京100012）

0 引言

全方位移動機器人具有較好的機動性、任意方向零半徑轉(zhuǎn)彎能力以及受限制空間中的移動能力,在家庭生活及工業(yè)環(huán)境中得到了廣泛的應用,如全方位移動輪椅、叉車、機械手等[1-3]。其中,在各種類型的全方位移動機器人中,麥克納姆輪的移動機器人應用尤為廣泛[4-6]。然而,由于麥克納姆輪的移動機器人使用4 個獨立的電機,在面臨不確定性及外界擾動的情況下,其運動控制極具挑戰(zhàn)。

針對麥克納姆輪全方位移動機器人的運動控制,國內(nèi)外開展了許多相關研究工作。文獻[7]提出了模糊比例積分微分（proportion integral differential,PID）控制算法,實現(xiàn)了對移動機器人4 個麥克納姆輪轉(zhuǎn)速的精確控制,但該算法并未對移動機器人的具體方位進行跟蹤控制。文獻[8]基于麥克納姆輪的移動平臺特性設計了路徑跟蹤解耦控制方案,采用增量式PID 控制算法分別對移動機器人的位置和角度進行跟蹤控制。文獻[9]提出了自適應滑?？刂破?設計了PID 形式的滑模面,用于麥克納姆輪驅(qū)動的移動機器人軌跡跟蹤以獲得跟蹤性能及魯棒性能。文獻[10]設計了基于反饋線性化方法的運動控制器,通過李雅普諾夫方法證明了其漸近穩(wěn)定性,然而該算法的控制精度不夠。文獻[11,12]分別提出了四麥克納姆輪全方位移動機器人的自適應滑?？刂坪妥赃m應二階滑模控制,在一定程度上實現(xiàn)了較高的軌跡跟蹤精度,但是控制結構較為復雜。

本文針對目前麥克納姆輪移動機器人軌跡跟蹤控制存在的問題,首先推導出麥克納姆輪移動機器人的動力學模型,然后利用雙環(huán)滑?？刂品椒ㄔO計了基于移動機器人動力學模型的軌跡跟蹤控制器,最后通過Lyapunov 函數(shù)證明該機器人系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 全方位移動機器人運動模型

1.1 運動學模型

圖1 全方位移動機器人簡圖

移動機器人的逆運動學公式如式（2）所示。

1.2 動力學模型

假設全方位移動機器人在平坦的平面內(nèi)移動,采用拉格朗日方程建立機器人系統(tǒng)的動力學模型,系統(tǒng)的動能為

其中,vx、vy和ωz分別表示機器人在平面內(nèi)沿坐標軸的線速度和角速度;m為系統(tǒng)的總質(zhì)量;Jz為車輛繞z軸的轉(zhuǎn)動慣量,Jω為車輪繞其轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量;υ為粘性摩擦系數(shù)。

由于機器人系統(tǒng)的勢能等于0,因此其拉格朗日函數(shù)可以表示為

移動機器人的拉格朗日方程為

聯(lián)立式（3）～式（5）得到機器人系統(tǒng)動力學方程為

由于機器人系統(tǒng)面臨擾動和不確定性,結合式（6）移動平臺的動力學模型表示為

其中,τd∈R4為干擾項。

2 雙環(huán)滑?？刂坡稍O計

采用雙環(huán)滑模變結構控制設計移動機器人的控制律,使用積分滑模來實現(xiàn)切換函數(shù)的設計。雙環(huán)滑模控制系統(tǒng)結構如圖2 所示,該系統(tǒng)由速度環(huán)和位置環(huán)構成,內(nèi)環(huán)為速度環(huán),外環(huán)為位置環(huán)。外環(huán)滑?？刂坡蓪崿F(xiàn)位置的跟蹤,外環(huán)控制器產(chǎn)生速度指令,并傳遞給內(nèi)環(huán)系統(tǒng),內(nèi)環(huán)則通過內(nèi)環(huán)滑?？刂坡蓪崿F(xiàn)對速度指令的跟蹤。

圖2 移動機器人軌跡跟蹤控制原理圖

2.1 外環(huán)滑模控制

外環(huán)為位置環(huán),設外環(huán)控制指令為θd,則外環(huán)誤差為θe=θd-θ。定義外環(huán)滑模函數(shù)為

2.2 內(nèi)環(huán)滑模控制

內(nèi)環(huán)為速度環(huán),將外環(huán)控制律的輸出作為內(nèi)環(huán)的速度指令,則內(nèi)環(huán)指令設為ωd,內(nèi)環(huán)控制誤差為

由Lyapunov 穩(wěn)定性理論可知,系統(tǒng)在擾動和不確定部分存在的情況下是漸進穩(wěn)定的。

3 仿真實驗

為了驗證全方位移動機器人雙環(huán)滑?？刂栖壽E跟蹤算法的有效性,分別以直線與圓弧作為參考軌跡進行跟蹤控制。設計外環(huán)控制參數(shù)為ρ1=5,K1=diag（0.3 0.3 0.3 0.3）,在外環(huán)控制律中,采用飽和函數(shù)代替切換函數(shù),飽和函數(shù)的參數(shù)取Δi=0.1,i=1,2,3,4。設計內(nèi)環(huán)控制律參數(shù)為ρ2=1.5,μ=10,K2=diag（1 1 1 1）。設干擾及不確定部分為τd=[sintcostsin2tcos2t]T。仿真機器人系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1 所示。

表1 移動機器人參數(shù)

3.1 直線軌跡跟蹤

仿真部分控制輸入為4 個獨立驅(qū)動的麥克納姆旋轉(zhuǎn)角度,設置其4 個角度跟蹤指令為θd=[10cos0.1t20cos0.1t10cos0.1t20cos0.1t]T,初始角θ0=[15 30 15 30]T,初始角速度ω為0。由運動學模型可知,移動平臺在x -y平面內(nèi)的參考軌跡方程為,t（t≥0） 為仿真時間。圖3 為麥克納姆輪全方位移動機器人的直線軌跡跟蹤仿真結果。

圖3（a）顯示了移動機器人每個車輪旋轉(zhuǎn)角度能夠很快地跟蹤到目標軌跡。圖3（b）顯示了移動機器人跟蹤目標軌跡時每臺電機的控制輸入力矩。發(fā)生在電機控制力矩的突變主要是由外部擾動產(chǎn)生的,從圖3（b）可以看出擾動產(chǎn)生的影響在很短的時間內(nèi)就能夠穩(wěn)定下來。從圖3（c）～（e）可以看出,移動平臺從任意初始位置開始運動都能夠較快地跟蹤到參考軌跡,且位置誤差ex、ey均能較快地收斂至0。

圖3 移動平臺的圓弧軌跡跟蹤仿真結果

3.2 圓弧軌跡跟蹤

設置角度跟蹤指令為θd=[1 0 sin 0. 1t20cos0.1t10sin0.1t20cos0.1t]T,選取初始輸入θ0=[12 32 12 32]T,初始角速度ω=0。由運動學模型可知,移動平臺在x -y平面內(nèi)的參考軌跡方程為,t（t≥0） 為仿真時間。圖4 為四麥克納姆輪全方位移動平臺的圓弧軌跡跟蹤仿真結果。

由圖4 可以看出,基于本文中所述的雙環(huán)滑模控制方法,四輪全向移動機器人對圓軌跡的跟蹤效果較好,可以在存在較大初始誤差的情況下,確保機器人在較短的時間內(nèi)實現(xiàn)對期望軌跡的完全跟蹤。

圖4 移動平臺的圓弧軌跡跟蹤仿真結果

4 實驗驗證

為了進一步驗證上述算法的實際應用效果,在自主研發(fā)的麥克納姆輪全方位移動機器人平臺上進行了軌跡跟蹤實驗,移動平臺實物圖如圖5 所示。該實驗平臺以固高嵌入式運動控制器為核心控制器,采用編碼器、慣性測量單元（inertial measurement unit,IMU）和StarGazer 定位傳感器實現(xiàn)機器人的定位和導航。

圖5 麥克納姆輪移動平臺實物圖

設定移動機器人的線速度為v=0.2 m/s,采樣周期為0.01s,移動機器人直線和圓弧軌跡跟蹤實驗的初始位置分別為（330 cm,600 cm）和（310 cm,40 cm）,其中圓形軌跡的半徑r=100 cm。為了驗證本文所提算法的抗干擾能力,實驗過程中,分別在直線軌跡（290 cm,210 cm）處和圓形軌跡的（135 cm,-15 cm）處施以外力干擾,改變機器人的運動狀態(tài)。實驗結果如圖6 所示。

圖6 的實驗結果表明,移動平臺從任意位置出發(fā)都能夠較快地跟蹤到期望軌跡,并且當機器人在外力作用下偏離期望軌跡時,系統(tǒng)能夠較快地做出調(diào)整,說明其具有較強的抗干擾能力。

圖6 移動平臺的實際跟蹤結果

5 結論

針對受擾動及參數(shù)不確定的麥克納姆輪全方位移動機器人的軌跡跟蹤問題,將雙環(huán)滑模控制器引入受控系統(tǒng)中,應用雙環(huán)滑模變結構跟蹤期望輸出,在Matlab/Simulink 仿真環(huán)境驗證了該控制算法的可行性。仿真和實驗結果表明,利用雙環(huán)滑模切換函數(shù)設計的移動機器人運動控制器在擾動和不確定性存在的情況下能夠很好地跟蹤到期望軌跡。