離散重復(fù)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì):一種冪次吸引律方法①

孫明軒 王 晗 鄒勝祥

（浙江工業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院 杭州310023）

0 引言

滑模控制能夠有效處理受控系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)不確定性,是實(shí)際工業(yè)過程中常常采用的控制技術(shù)?？刂圃O(shè)計(jì)能夠使得切換變量有限時間到達(dá)設(shè)計(jì)的滑模面,并將其維持在滑動面上,具有滑模不變性。等效控制方法與趨近律方法已經(jīng)發(fā)展成為滑?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)的主流方法[1]。等效控制使得系統(tǒng)瞬時達(dá)到切換面;趨近律即等式形式的達(dá)到條件,規(guī)定了系統(tǒng)趨近切換面的吸引過程。文獻(xiàn)[2]中給出了兩種典型的趨近律:切換型趨近律和冪次趨近律。為了實(shí)現(xiàn)有限時間控制性能,需滑動模態(tài)具有限時間收斂性能,通常采用終態(tài)滑?？刂品椒╗3-4]。在連續(xù)有限時間系統(tǒng)中,除了切換律外,冪次律引起了大量關(guān)注[5-7]。其收斂時間與初態(tài)有關(guān),初態(tài)離原點(diǎn)越遠(yuǎn),收斂時間越長。雙冪次律能夠?qū)崿F(xiàn)固定時間收斂,收斂時間不取決于初態(tài)[8]。其中關(guān)于收斂時間的估計(jì)采用了兩段分析法,這種分析法在文獻(xiàn)[9,10]中也有過報(bào)道。除了給出收斂時間表達(dá)式或?qū)ζ涔烙?jì)外,人們還注重給出穩(wěn)態(tài)誤差界的估計(jì),特別是針對冪次趨近律[11-15],文獻(xiàn)[12,13]利用雙冪次趨近律提高趨近速度。文獻(xiàn)[14,15]提出多冪次趨近律,較傳統(tǒng)冪次趨近律具有更好的運(yùn)動品質(zhì)。

由于計(jì)算機(jī)技術(shù)在控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)方面的廣泛應(yīng)用,研究離散控制系統(tǒng)綜合方法是十分重要的。文獻(xiàn)[16]中采用的離散趨近律能夠削弱顫振現(xiàn)象,但趨近律形式上看是時間依賴的。文獻(xiàn)[17,18]將切換趨近律中的符號函數(shù)替換為連續(xù)的飽和函數(shù),使得控制量連續(xù)化,從而削弱抖振的影響。文獻(xiàn)[19]給出了進(jìn)入穩(wěn)態(tài)誤差帶所需步數(shù)的估計(jì)。針對冪次趨近律,文獻(xiàn)[20]分析了不同參數(shù)選取下的系統(tǒng)平衡點(diǎn)和極限環(huán)的穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[21]證明了穩(wěn)態(tài)誤差帶為O（T2） 數(shù)量級,這里T為采樣周期,文獻(xiàn)[22]提供了穩(wěn)態(tài)誤差帶估計(jì)的具體表達(dá)式。文獻(xiàn)[23,24]通過修正冪次函數(shù),保證切換函數(shù)單調(diào)收斂,即無正負(fù)交替地快速趨近于零,改善了原趨近律中斷續(xù)函數(shù)可能導(dǎo)致的抖振問題。文獻(xiàn)[25]將冪次與等速趨近律相結(jié)合,采用的混合趨近律進(jìn)一步減小了滑模面趨近時間。

常規(guī)的滑?？刂撇呗圆⑽幢ＷC跟蹤誤差有限時間收斂,這是提出終態(tài)滑?？刂频闹饕?。為了實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差有限時間收斂,文獻(xiàn)[26,27]提出了一種適用于離散控制系統(tǒng)的吸引律方法。常規(guī)的極點(diǎn)配置方法用于線性控制系統(tǒng)設(shè)計(jì),閉環(huán)性能的改善是通過改變閉環(huán)極點(diǎn)位置實(shí)現(xiàn)的,能夠?qū)崿F(xiàn)指數(shù)吸引性能。相較于極點(diǎn)配置方法,吸引律方法是非線性系統(tǒng)方法,旨在改進(jìn)控制過程的收斂性能;吸引律的作用可類比于極點(diǎn)配置方法中的期望多項(xiàng)式,可以取作漸穩(wěn)、指數(shù)穩(wěn)定或有限時間穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)。與吸引律方法相聯(lián)系的是趨近律方法[28]。傳統(tǒng)滑?？刂茖?shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)有限時間控制性能需要兩步:有限時間趨近及有限時間滑模;趨近律用來確定滑?？刂浦械那袚Q變量關(guān)于切換面的趨近過程。吸引律代表了期望誤差動態(tài),是對跟蹤誤差本身趨于零的吸引過程的規(guī)定,控制器設(shè)計(jì)無需定義切換函數(shù)、切換面,控制過程無趨近過程,不存在滑動模態(tài)。它之所以能夠改進(jìn)收斂時間以及各性能指標(biāo),實(shí)際上是將切換面換成了原點(diǎn),將關(guān)于滑模的不變性換成了關(guān)于原點(diǎn)的不變性。吸引律方法設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)同樣具有關(guān)于參數(shù)漂移和外部干擾的魯棒性能,不同之處在于滑?？刂瓶紤]滑動模態(tài)的不變性,而吸引律方法注重穩(wěn)態(tài)過程的不變性。因而,吸引律方法可以被看做是一種“全局滑?！狈椒?。

針對不確定系統(tǒng),基于常規(guī)吸引律設(shè)計(jì)的控制器存在不確定項(xiàng),在實(shí)際中無法實(shí)現(xiàn),因此需要采用理想切換動態(tài)方法[26]。為了刻畫控制性能,文獻(xiàn)[26]推導(dǎo)出了誤差動態(tài)的穩(wěn)態(tài)誤差帶,絕對吸引層和單調(diào)遞減域。進(jìn)一步地,將干擾差分補(bǔ)償抑制措施“嵌入”吸引律,構(gòu)建理想誤差動態(tài),干擾差分有效地抑制了干擾的影響[29]。工業(yè)應(yīng)用場合存在大量執(zhí)行周期跟蹤任務(wù)的系統(tǒng)、過程與裝備,重復(fù)控制是這類受控對象的一種適用的控制技術(shù)[30],同樣可實(shí)現(xiàn)關(guān)于周期性擾動信號的完全抑制。文獻(xiàn)[28,31]提供了一種簡便的離散滑模重復(fù)控制器設(shè)計(jì)方法。

有限時間控制已經(jīng)發(fā)展成為一種有效的控制策略,而構(gòu)造新型吸引律,進(jìn)一步豐富吸引律形式,并分析干擾性存在時相應(yīng)的收斂性能已成為值得研究的方向。典型的吸引律形式分切換型和非切換型,冪次吸引律屬非切換型,是一種基本形式。目前已發(fā)表結(jié)果集中于切換型,涉及冪次形式的收斂特性分析的不多;特別是已發(fā)表結(jié)果多集中于調(diào)節(jié)時間的推導(dǎo),較少分析冪次取值對收斂過程的影響。

本文研究冪次吸引離散重復(fù)控制方法,實(shí)現(xiàn)對周期干擾完全抑制的同時,為了抑制擾動中存在的非周期成分,借助于擴(kuò)張狀態(tài)觀測方法[32],設(shè)計(jì)擾動觀測器,以便補(bǔ)償干擾非周期性成分,進(jìn)一步提高控制性能。為了刻畫閉環(huán)系統(tǒng)的吸引過程和穩(wěn)態(tài)性能,本文給出穩(wěn)態(tài)誤差帶、絕對吸引層和誤差收斂穩(wěn)態(tài)誤差帶的最大步數(shù)的具體表達(dá)式。特別地,為了方便實(shí)現(xiàn),對冪次選取進(jìn)行了討論。本文給出冪次吸引律各性能指標(biāo)的一般形式求解表達(dá)式（未指定冪次）,以方便數(shù)值求解;并討論了具體冪次取值的情形,給出各個指標(biāo)的解析表達(dá)式。具體冪次與一般冪次的結(jié)果能夠?yàn)閷?shí)現(xiàn)適時的參數(shù)整定提供依據(jù)。

1 問題的提出

考慮如下單輸入單輸出離散時間系統(tǒng)

式中,uk為控制輸入;yk為系統(tǒng)輸出;wk為干擾信號;A（q-1）和B（q-1） 為延遲算子q-1的多項(xiàng)式,A（q-1）=1+a1q-1+…+anq-n,B（q-1）=b1q-1+…+bmq-m,其中a1、…、an,b1、…、bm為系統(tǒng)參數(shù),且b1≠0,1 ≤m≤n。

給定的參考信號rk是周期的,滿足rk=rk-N,N為該參考信號的周期。本文討論適用于系統(tǒng)式（1）的、實(shí)現(xiàn)周期參考信號跟蹤的重復(fù)控制問題,控制目標(biāo)是采用吸引律方法設(shè)計(jì)控制信號uk,使系統(tǒng)式（1）的實(shí)際輸出yk在有限時間內(nèi)跟蹤上給定的周期參考信號rk,且能夠精確刻畫吸引過程。記跟蹤誤差ek=rk -yk,控制目標(biāo)可以描述為:通過重復(fù)控制使跟蹤誤差有限時間收斂于原點(diǎn)的盡可能小的鄰域內(nèi)。

采用吸引律方法設(shè)計(jì)重復(fù)控制器,旨在預(yù)先能夠規(guī)定閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)性能。文中提出了一種離散冪次吸引律,并給出其吸引域ΔAB。采用3 項(xiàng)性能指標(biāo)對離散冪次吸引律的吸引過程進(jìn)行刻畫,包括絕對吸引層ΔAA、穩(wěn)態(tài)誤差帶ΔSS以及跟蹤誤差首次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)誤差帶的最大收斂步數(shù),具體定義見文獻(xiàn)[27,29]。進(jìn)一步地,分析各參數(shù)取值（特別是冪次α）對給出的吸引指標(biāo)的影響,為具體實(shí)現(xiàn)時的參數(shù)整定提供依據(jù)。

為達(dá)到上述重復(fù)控制目標(biāo),文中對原有吸引律形式進(jìn)行修改,設(shè)計(jì)重復(fù)控制方案,使得閉環(huán)系統(tǒng)中周期干擾信號能夠完全補(bǔ)償;同時,借助于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器方法,在控制方案中引入干擾估計(jì)補(bǔ)償,對非周期干擾信號進(jìn)行有效抑制。

2 冪次吸引律方法

按照吸引律方法設(shè)計(jì)離散重復(fù)控制器,需事先指定離散吸引律的具體形式。離散吸引律的獲得途徑有兩種。一種是直接構(gòu)造離散吸引律;另一種采用離散近似方法,先給定連續(xù)吸引律,經(jīng)由離散化,獲得離散吸引律。本文考慮下述離散冪次吸引律:

采用重復(fù)控制器式（4）,閉環(huán)系統(tǒng)的誤差動態(tài)由式（3）所規(guī)定。因此,可以對閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的吸引性能進(jìn)行刻畫,為實(shí)現(xiàn)時的參數(shù)整定提供參考。從上述重復(fù)控制器推導(dǎo)過程可以看出,其并未定義切換函數(shù),提出的吸引律方法與文獻(xiàn)[24,28,31]中的滑模重復(fù)控制設(shè)計(jì)方法是不同的。與文獻(xiàn)[26,27]中采用的切換吸引律不同,本文采用了冪次吸引律,并給出這一基本吸引律的收斂性能。

式（4）中,需設(shè)計(jì)觀測器對等效擾動dk進(jìn)行估計(jì),并以觀測值補(bǔ)償?shù)刃_動的影響。借助于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器方法[32],采用如下形式的觀測器:

3 吸引域

連續(xù)冪次吸引律中的ρ只要大于0 即可,即全局吸引,且ρ的取值越大,收斂速度越快。然而,對于離散吸引律,卻存在一個吸引域,其邊界記為ΔAB時,當(dāng)跟蹤誤差滿足| ek| >ΔAB時,該閉環(huán)系統(tǒng)的誤差動態(tài)是吸引的。實(shí)際上,由壓縮條件可知,離散吸引律式（2）與修正后的離散冪次吸引律式（3）的吸引條件是相同的。

定理1對于系統(tǒng)式（1）采用控制律式（4）,其誤差動態(tài)方程可由式（3）描述,則吸引域邊界為

即,當(dāng)| ek | >ΔAB,該閉環(huán)系統(tǒng)的誤差動態(tài)是吸引的。

證明式（3）可寫成

判斷該閉環(huán)系統(tǒng)的吸引性只需考查下述壓縮條件

上述不等式可寫成

求解該不等式,可得

由式（6）給出的吸引域得證。

下面考慮不同冪次對吸引域的影響。當(dāng)ε >2-ρ時,吸引域隨α單調(diào)遞增;反之,吸引域隨α單調(diào)遞減。若不加入線性項(xiàng),易得吸引域?yàn)閨 ek | >。顯然,線性項(xiàng)的加入使得吸引域變小了。為考慮線性項(xiàng)的影響,記為

對η（ε） 關(guān)于ε求導(dǎo),可得:

由上式知,dη/dε >0,特別地,η隨ε減小而減小,且=0,此時線性項(xiàng)存在與否對吸引域變化的影響也逐漸減小。這樣,本文給出了2 個結(jié)論:（1）當(dāng)ρ >0 時,連續(xù)吸引律總是吸引的,ρ越大,收斂越快;對于離散吸引律,只有0<ρ <2 時才是吸引的。（2）加入線性項(xiàng)使吸引域變小,通過適當(dāng)調(diào)小ε可減小線性項(xiàng)對吸引域變化的影響。

4 離散吸引過程收斂性分析

下面分析并比較離散吸引律式（3）的各項(xiàng)指標(biāo),這里,假設(shè)式（3）中的修正項(xiàng)滿足| vk+1|≤Δ。

定理2當(dāng)0<ρ <2 時,該閉環(huán)系統(tǒng)的誤差動態(tài)是絕對吸引的,其吸引層邊界為ΔAA,且跟蹤誤差ek最終會收斂到穩(wěn)態(tài)誤差帶ΔSS內(nèi),其中,

此時,跟蹤誤差滿足ek<ΔSS。

綜上,在穩(wěn)態(tài)誤差帶的邊界處,即可得式（9）。當(dāng)ek <0 時,可得相同邊界表達(dá)式。

本文依據(jù)定理2,針對不同冪次α=分別給出了ΔAA和ΔSS的具體表達(dá)式,詳細(xì)過程如下。

求解上式,可得到絕對吸引層邊界ΔAA的表達(dá)式

求解上述方程組可得

求解上述方程組可得

在控制器作用下,跟蹤誤差有限步內(nèi)可收斂于穩(wěn)態(tài)誤差帶內(nèi),而首次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)誤差帶所需的最大收斂步數(shù)可用于刻畫吸引律式（3）的收斂速度。

定理3該閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差首次進(jìn)入穩(wěn)態(tài)誤差帶所需的最大步數(shù)為max{「k??,0},其中,「g?為向上取整算子。

求解上式可得式（23）。當(dāng)ek <0 時,容易推得相同結(jié)論。特別地,當(dāng)e0≤ΔSS時,其收斂步數(shù)為0。

5 數(shù)值仿真與比較

在參數(shù)ρ、ε給定時,以α=1/4和α=1/2 為例,本文討論α對穩(wěn)態(tài)誤差帶ΔSS的影響。根據(jù)式（15）與式（21）,存在多種情況確定,為了討論簡便,考慮ΔSS均由確定的情形。記α=1/4 時的穩(wěn)態(tài)誤差帶為ΔSSI,α=1/2 時的穩(wěn)態(tài)誤差帶為ΔSSII,則

綜上,由情況（1）可知,當(dāng)ΔSSI與ΔSSII均由ρΔSS+-Δ=0 確定時,它們出現(xiàn)在以ΔSS=1 為分界值的同側(cè),即（ΔSSI-1）（1 -ΔSSII） >0。由情況（2）和（3）可知,若0 <ΔSS<1 時,即在Δ<ρ+ε條件下,α=1/4 具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差界,由情況（4）和（5） 可知,當(dāng)ΔSS>1 時,有Δ >ρ+ε,此時α=1/2 具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差界。當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差帶均由-Δ=0 確定時,在相同參數(shù)下,冪次選取α=1/2與α=1/4,依據(jù)式（15）和（21）計(jì)算所得的穩(wěn)態(tài)誤差帶結(jié)果如表1 所示。

為了仿真驗(yàn)證冪次吸引律式（3）各項(xiàng)性能指標(biāo)的表達(dá)式,包括吸引域、最大收斂步數(shù)、絕對吸引層以及穩(wěn)態(tài)誤差帶,分別選取α=1/2與α=1/4、采樣時間Ts=0.01 s,置初始誤差e0=0.5 mm,vk=0.1×|mod（k,10）-5|,則| vk |≤0.1,即Δ=0.1。

（1）當(dāng)α=1/2 時,考慮以下兩種情況。

情況1當(dāng)0<ε≤c0,ε >2（1-ρ）時,ΔSS=ΔAA。參數(shù)選取ρ=0.5,ε=0.4 由式（6）、（14）、（15）與（23）計(jì)算可得ΔAB=0.0711,ΔSS=ΔAA=0.18,「k??=1。由圖1 可看出,實(shí)際收斂步數(shù)kt=1。

情況2當(dāng)c0<ε≤2（1-ρ）ΔAA。參數(shù)選取ρ=0.6,ε=0.25 由式（6）、（14）、（15）與（23）計(jì)算可得ΔAB=0.0494,ΔAA=0.3144,ΔSS=0.3391,「k??=3。由圖2 可看出,實(shí)際收斂步數(shù)kt=3。

表1由ρΔSS + -Δ=0 確定ΔSS

表1由ρΔSS + -Δ=0 確定ΔSS

圖1當(dāng)α=1/2,0 <ε≤c0,ε>2（1 -ρ）（Δ/ρ）時的ek

圖2當(dāng)α=1/2,c0 <ε≤2（1 -ρ）（Δ/ρ）時的ek

（2）當(dāng)α=1/4 時,考慮以下兩種情況。

情況3當(dāng)0 <ΔAA

情況4當(dāng)c10≤ΔAA<δSS2時,ΔSS>ΔAA。參數(shù)選取ρ=0.2,ε=0.2,由式（6）、（20）、（21）與（23）計(jì)算可得ΔAB=0.0534,ΔAA=0.1211,ΔSS=0.1595,「k??=4。由圖4 可看出,實(shí)際收斂步數(shù)kt=3。

圖3當(dāng)α=1/4,0 <ΔAA

圖4當(dāng)α=1/4,c10≤ΔAA <δSS2時的ek

6 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

直線電機(jī)實(shí)驗(yàn)裝置見圖5,實(shí)驗(yàn)裝置主要由ELMO 伺服驅(qū)動器、TMS320-F2812DSP 開發(fā)板和永磁同步直線電機(jī)組成。其中,ELMO 交流伺服驅(qū)動器以及DSP2812 開發(fā)板作為控制器用,采用三環(huán)控制,電流環(huán)與速度環(huán)控制器由ELMO 驅(qū)動器提供,位置環(huán)由DSP 開發(fā)板提供。上位機(jī)用于過程監(jiān)控和數(shù)據(jù)存儲。位置環(huán)由DSP 開發(fā)板提供。上位機(jī)用于過程監(jiān)控和數(shù)據(jù)存儲。通過系統(tǒng)辨識的最小二乘算法獲得伺服對象的數(shù)學(xué)模型,系統(tǒng)參數(shù)a1=-1.9962、a2=0.9962、b1=-2.6757、b2=2.6662。

圖5 直線電機(jī)實(shí)驗(yàn)裝置

將系統(tǒng)參數(shù)代入控制器式（4）可得到離散時間系統(tǒng)的重復(fù)控制器,令N=1 得到相應(yīng)的反饋控制器。實(shí)驗(yàn)中分別采用重復(fù)控制器和反饋控制器,使直線電機(jī)執(zhí)行位置跟蹤任務(wù)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康氖球?yàn)證重復(fù)控制器對周期擾動的完全抑制,并結(jié)合觀測器對非周期擾動的有效抑制。

實(shí)驗(yàn)中,直線電機(jī)精度為0.5 μm,采樣時間為Ts=5 ms,采樣周期點(diǎn)數(shù)N=800,給定周期參考信號為r（t）=（10sin（2πt） +10）mm。

實(shí)驗(yàn)1采用反饋控制器,擾動補(bǔ)償為=dk,設(shè)置參數(shù)α=1/2,ρ=0.7,ε=0.3,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖6 所示,穩(wěn)態(tài)誤差收斂至[-6,6] μm。而從誤差分布圖可知,| ek |≤2 μm 的占比為72%。

圖6 采用反饋控制器的跟蹤誤差

實(shí)驗(yàn)2采用重復(fù)控制器,擾動補(bǔ)償為=dk,設(shè)置相同的控制器參數(shù),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7 所示,穩(wěn)態(tài)誤差收斂至[-5,5] μm。而從誤差分布圖可知,| ek |≤2 μm 的占比為76%。

實(shí)驗(yàn)3采用重復(fù)控制器,擾動補(bǔ)償采用觀測器式（5）補(bǔ)償,設(shè)置相同的控制器參數(shù),觀測器參數(shù)設(shè)置為β1=0.5、β2=2,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8 所示,穩(wěn)態(tài)誤差收斂至[-3.5,3.5] μm。而從誤差分布圖可知,| ek |≤2 μm 的占比為81%。

圖8 采用觀測器補(bǔ)償后重復(fù)控制器的跟蹤誤差

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出:對于周期參考信號,重復(fù)控制器可實(shí)現(xiàn)周期擾動完全抑制,提高了穩(wěn)態(tài)精度（見圖6、7）。進(jìn)一步由圖7、8 可知,在采用觀測器補(bǔ)償后的重復(fù)控制器作用下,能有效減小第一周期系統(tǒng)誤差,同時其擾動補(bǔ)償措施能有效抑制非周期擾動,進(jìn)而改善跟蹤性能。

圖7 采用重復(fù)控制器的跟蹤誤差

7 結(jié)論

本文提出采用等效擾動補(bǔ)償?shù)膬绱挝x散重復(fù)控制方法,用于解決不確定離散時間系統(tǒng)的周期軌跡跟蹤問題。該方法通過觀測器估計(jì)等效擾動擴(kuò)張后的新狀態(tài)達(dá)到補(bǔ)償作用,并將此方法“嵌入”冪次吸引律中構(gòu)建理想誤差動態(tài),依次設(shè)計(jì)具有周期擾動抑制能力的離散時間重復(fù)控制器。文中針對不同冪次,給出了可用于控制器參數(shù)整定和表征系統(tǒng)跟蹤誤差收斂過程的性能指標(biāo),包括絕對吸引層、穩(wěn)態(tài)誤差帶的具體表達(dá)式以及系統(tǒng)跟蹤誤差進(jìn)入穩(wěn)態(tài)誤差帶的最大步數(shù)。通過數(shù)值仿真與直線電機(jī)的實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證了所提控制方法的有效性。