氣動(dòng)阻尼對(duì)裂紋葉片振動(dòng)特性的影響研究

周震霆，賀 星，劉永葆

(海軍工程大學(xué) 動(dòng)力工程學(xué)院,武漢 430033)

在燃?xì)廨啓C(jī)中，葉片作為承擔(dān)能量轉(zhuǎn)換的核心部件，決定著燃?xì)廨啓C(jī)能否高效、可靠運(yùn)行，然而其惡劣的工作環(huán)境，使得葉片故障成為燃?xì)廨啓C(jī)部件典型故障之一。裂紋是機(jī)械損傷中最常見(jiàn)的形式之一，葉片上的裂紋會(huì)影響葉片的動(dòng)態(tài)特性和運(yùn)行穩(wěn)定。在旋轉(zhuǎn)葉片的研究中，通常將葉片簡(jiǎn)化為懸臂梁模型[1-2],如常用的Euler-Bernoulli梁模型[3]和Timoshenko梁模型[4]。工程實(shí)踐中，人們常將裂紋分為張開(kāi)式裂紋和呼吸式裂紋。長(zhǎng)期以來(lái)，人們?cè)谘芯苛鸭y時(shí)，通常假定裂紋處于張開(kāi)狀態(tài)[5],而在實(shí)際過(guò)程中，裂紋會(huì)出現(xiàn)閉合狀態(tài)。人們對(duì)此總結(jié)分析，Chondros等[6]、Cheng 等[7]、楊海燕等[8]、劉文光等[9]提出了多種呼吸式裂紋模型，更加客觀地反映了裂紋的振動(dòng)過(guò)程。壓氣機(jī)葉片在工作過(guò)程中，會(huì)受到氣流激振力和氣動(dòng)阻尼的影響，從而發(fā)生振動(dòng)，當(dāng)葉片中出現(xiàn)裂紋，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性會(huì)發(fā)生改變。本文采用含裂紋懸臂梁模型模擬帶有裂紋的壓氣機(jī)葉片，建立呼吸式裂紋模型，引入余弦力模擬氣流激振力，通過(guò)改變阻尼大小，探索壓氣機(jī)葉片振動(dòng)特性隨氣動(dòng)阻尼的變化情況。

1 含裂紋梁的剛度模型

1.1 張開(kāi)式裂紋模型

假設(shè)在振動(dòng)期間，彈性梁表面裂紋始終處于張開(kāi)狀態(tài)，忽略裂紋的閉合效應(yīng)和梁在橫向載荷作用下產(chǎn)生的剪切效應(yīng)，張開(kāi)式裂紋的剛度可近似表示為[10]：

(1)

式中：ko為裂紋完全張開(kāi)時(shí)梁的剛度，N/m；kc為裂紋完全閉合時(shí)梁的剛度，即無(wú)損梁的剛度，N/m；kT為裂紋截面處等效彈簧的扭轉(zhuǎn)剛度，N/m。

(2)

φ=0.629r2-1.047r3+4.602r4-9.975r5+20.285r6-32.993r7+47.041r8-40.693r9+19.6r10

(3)

式中：L為懸臂梁的長(zhǎng)度，m；η=l/L為裂紋的相對(duì)位置，其中l(wèi)為裂紋距固定端的距離，m；ν為泊松比；E為彈性模量，GPa；b為梁的寬度，m；h為梁的高度，m；r=a/h為相對(duì)裂紋深度，其中a為裂紋深度，m。

1.2 呼吸式裂紋模型

裂紋在實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中，大多數(shù)處于一種呼吸模式，即裂紋在全開(kāi)與全閉之間必然存在部分開(kāi)啟的狀態(tài)。為了較為真實(shí)地描述裂紋的“呼吸”過(guò)程，楊海燕等[8]采用了余弦呼吸函數(shù)：

(4)

余弦呼吸函數(shù)可以形象地描述出裂紋在全開(kāi)和全閉之間的過(guò)渡狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，可以利用張開(kāi)式裂紋和閉合式裂紋梁的剛度，得到呼吸式裂紋梁的剛度表達(dá)式為：

(5)

式中：ω為裂紋所受外部激勵(lì)力的頻率；t為激勵(lì)時(shí)間，s。當(dāng)ωt=2nπ(n=1,2,…)時(shí),裂紋完全閉合，此時(shí)呼吸梁模型等效為閉合梁模型，即kbr=kc；當(dāng)ωt=(2n-1)π(n=1,2,…)時(shí)，裂紋完全張開(kāi)，此時(shí)呼吸梁模型等效為張開(kāi)梁模型，即kbr=ko。

2 含裂紋葉片單自由度的振動(dòng)建模

取一個(gè)均勻、各項(xiàng)同性的含裂紋懸臂梁模擬裂紋葉片，如圖1所示。懸臂梁長(zhǎng)為L(zhǎng)，寬度為b，高度為h,距離固定端l處有一條深度為a的裂紋，距離固定端lp處受到余弦激振力F。

圖1 含裂紋懸臂梁模型

忽略裂紋對(duì)懸臂梁振動(dòng)的影響，橫向激勵(lì)力下梁的受迫彎曲振動(dòng)方程為[9]：

(6)

式中：I為梁的截面慣性矩，m4；c為阻尼系數(shù)；ρ為梁的密度，kg/m3；A為梁的截面面積，m2；p為橫向激勵(lì)力的幅值，N；lp為激勵(lì)力離固定端的距離，m；ω為激勵(lì)力的角頻率，rad/s；δ為Dirac函數(shù)，u(x,t)為z方向上振動(dòng)位移，m；x是與固定端的距離，m；t為激勵(lì)時(shí)間，s。

通過(guò)Galerkin法把懸臂梁考慮成單自由度系統(tǒng)，僅考慮一階模態(tài)，假設(shè)該裂紋梁的橫向固有振動(dòng)形式為：

u(x,t)=U(x)T(t)

(7)

式中：U(x)為梁橫截面中性軸在x處的橫向振動(dòng)幅值函數(shù)；T(t)是描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)。

根據(jù)懸臂梁的邊界條件，得到懸臂梁的一階振型函數(shù)為[11]：

U(x)=[(sinβx-sinhβx)+αn(cosβx-coshβx)]

(8)

將式(7)帶入到式(6)中，左右兩端同時(shí)乘以U(x)，并在0至L上積分可得：

(9)

其中：

(10)

(11)

(12)

(13)

式中：m*為廣義質(zhì)量，kg；c*為廣義阻尼；k*為無(wú)裂紋梁的廣義剛度，與kc相等，N/m；F*為廣義力，N。其中k*可分別用ko或kbr代替，從而得到張開(kāi)式裂紋梁或呼吸式裂紋梁的振動(dòng)方程。由于本文采用單自由度系統(tǒng)，可通過(guò)公式(14)表示不同形式梁的模態(tài)頻率。

(14)

式中：ωo為張開(kāi)式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s；ωbr為呼吸式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s；ωc為閉合式裂紋梁的一階模態(tài)頻率，rad/s。

3 氣動(dòng)阻尼的影響分析

為了較為真實(shí)地反映出含裂紋葉片在氣流激振力下的振動(dòng)特性，本文選用呼吸式裂紋梁模型對(duì)裂紋葉片進(jìn)行模擬。所選懸臂梁基本參數(shù)如表1所示。

表1 懸臂梁基本參數(shù)

3.1 不考慮氣動(dòng)阻尼的影響

假設(shè)氣流激振力幅值p=100 N，頻率ω=5 600 Hz，如圖2所示。呼吸式裂紋梁剛度由圖3可以看出，梁的剛度在1.290 5×106～2.064 9×106N/m內(nèi)波動(dòng),即梁在完全閉合時(shí)的剛度2.064 9×106N/m，在完全張開(kāi)時(shí)的剛度為1.290 5×106N/m。在計(jì)算過(guò)程中，取阻尼比ξ=0.05，一階阻尼系數(shù)c可根據(jù)ξ=c/2mf計(jì)算,其中m為葉片質(zhì)量，f為葉片固有頻率。將得到的廣義質(zhì)量m*、廣義阻尼c*、呼吸式裂紋剛度kbr、廣義力F*帶入公式(9)計(jì)算，利用方程的解，通過(guò)四階Runge-Kutta法和快速傅里葉變換等方法計(jì)算，得到含呼吸式裂紋梁在外激勵(lì)下的位移響應(yīng)圖、頻譜圖以及相圖，分別如圖4中的(a)、(b)、(c)、(d)所示。

圖2 激勵(lì)力響應(yīng)

懸臂梁的初始位移為零，采樣時(shí)間為10-2s，由圖4(a)中可以看出，在不考慮氣動(dòng)阻尼的影響下，梁自身的結(jié)構(gòu)阻尼對(duì)振動(dòng)的影響很小，導(dǎo)致梁在外激勵(lì)作用下的響應(yīng)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間達(dá)到穩(wěn)定。同時(shí)可以看出，懸臂梁在振動(dòng)初期振幅并不穩(wěn)定，即使達(dá)到穩(wěn)態(tài)之后，懸臂梁在正向位移響應(yīng)的大小與負(fù)向并不相等，這是由于呼吸式裂紋剛度隨時(shí)間變化引起的。圖4(b)中頻譜圖出現(xiàn)了很多高頻成分，這在前人[12-13]相關(guān)研究中出現(xiàn)過(guò)，體現(xiàn)出了呼吸式裂紋的非線性特性。從圖4(c)和4(d)的相圖中可以更加清晰地看到梁在振動(dòng)初期的不穩(wěn)定性，也可以更直觀地看到梁在呼吸式裂紋作用下所反映出來(lái)的穩(wěn)定階段正負(fù)位移大小不相等的現(xiàn)象。

3.2 考慮氣動(dòng)阻尼的影響

任何結(jié)構(gòu)在實(shí)際振動(dòng)過(guò)程中，如果沒(méi)有持續(xù)外力的作用，一段時(shí)間后振動(dòng)都將衰減為零，最后趨于靜止。這說(shuō)明振動(dòng)結(jié)構(gòu)在自由振動(dòng)過(guò)程中存在著能量的耗散，而引起能量耗散、使結(jié)構(gòu)振幅逐漸減小的特性稱為阻尼。結(jié)構(gòu)振動(dòng)過(guò)程中阻尼的來(lái)源很多，有材料阻尼、摩擦阻尼、氣動(dòng)阻尼等。材料阻尼為固體材料變形時(shí)產(chǎn)生內(nèi)摩擦或材料快速應(yīng)變產(chǎn)生的熱耗散；摩擦阻尼為結(jié)構(gòu)連接部位的摩擦損耗；氣動(dòng)阻尼為結(jié)構(gòu)外部空氣引起的能量耗散。

由于燃?xì)廨啓C(jī)在不同工況下，流過(guò)壓氣機(jī)氣流的質(zhì)量流量、流速等條件不同，從而葉片所受氣動(dòng)阻尼不同，導(dǎo)致含裂紋葉片在氣流激振力作用下的振動(dòng)特性發(fā)生改變。假設(shè)懸臂梁所受激振力不變，考慮氣動(dòng)阻尼對(duì)懸臂梁的影響，此時(shí)公式(11)變?yōu)椋?/p>

(15)

式中：Δc表示氣動(dòng)阻尼。

本文僅考慮氣動(dòng)阻尼抑制振動(dòng)的情況。通過(guò)閱讀文獻(xiàn)[14-15]，本文選取氣動(dòng)阻尼分別為結(jié)構(gòu)阻尼的0.01倍、1倍及10倍進(jìn)行研究，將公式(15)帶入到公式(9)中進(jìn)行計(jì)算，得到氣動(dòng)阻尼影響下含呼吸式裂紋梁在外激勵(lì)下的位移響應(yīng)圖、頻譜圖以及相圖，分別如圖(5)、圖(6)、圖(7)所示。

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

(a) 位移響應(yīng)圖

圖(5)、圖(6)、圖(7)分別為氣動(dòng)阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼0.01倍、1倍、10倍時(shí)梁的振動(dòng)特性圖。通過(guò)對(duì)圖(4)、圖(5)、圖(6)、圖(7)的比較，從位移響應(yīng)圖中可以看出，隨著氣動(dòng)阻尼的增大，梁的振動(dòng)位移趨于穩(wěn)定的速度越快；頻譜圖反映出了氣動(dòng)阻尼與幅頻特性的關(guān)系，隨著氣動(dòng)阻尼的增大，幅值減小，高頻峰值減少，梁的振動(dòng)非線性效果減弱；在相圖中，隨著氣動(dòng)阻尼的增大，梁的振動(dòng)位移相對(duì)更加集中，側(cè)面反應(yīng)出梁的振動(dòng)位移趨于穩(wěn)定的速度加快，同時(shí)也能看出，氣動(dòng)阻尼并不影響呼吸式裂紋的特性。

圖8為無(wú)氣動(dòng)阻尼和不同氣動(dòng)阻尼作用下位移響應(yīng)的對(duì)比圖。從圖8中可以看出，雖然在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只是受到了單個(gè)余弦激振力的作用，但是梁在振動(dòng)過(guò)程中的響應(yīng)并不是一個(gè)完整的余弦周期，中間出現(xiàn)了一些其他的倍頻幅值，導(dǎo)致梁的振動(dòng)幅值存在相應(yīng)的起伏波動(dòng)。當(dāng)氣動(dòng)阻尼為結(jié)構(gòu)阻尼的0.01倍、1倍及10倍時(shí)，梁的振幅響應(yīng)整體上呈現(xiàn)出減弱的特點(diǎn)，這說(shuō)明氣動(dòng)阻尼對(duì)梁的振動(dòng)具有抑制作用，氣動(dòng)阻尼越大，梁的振動(dòng)幅值越小，同時(shí)也可以看出阻尼增大帶來(lái)的響應(yīng)滯后現(xiàn)象。

(a) 整體圖

4 結(jié)論

本文將含裂紋壓氣機(jī)葉片模擬成含呼吸式裂紋懸臂梁，通過(guò)在梁端引入余弦激勵(lì)力和改變阻尼系數(shù)大小，模擬研究氣流激振力和氣動(dòng)阻尼對(duì)含裂紋壓氣機(jī)葉片的振動(dòng)特性的影響，得出以下結(jié)論：

1) 即使是在單個(gè)激振力作用下，懸臂梁的振動(dòng)仍具有很強(qiáng)的非線性，隨著氣動(dòng)阻尼的增加，振動(dòng)的非線性減弱。

2) 氣動(dòng)阻尼的存在影響了梁在穩(wěn)定階段的響應(yīng)幅值，阻尼越大，幅值越小。

本文選取的懸臂梁模型為等截面矩形梁，與實(shí)際葉片仍有偏差，之后應(yīng)在此基礎(chǔ)上進(jìn)行模型的改進(jìn)，使它更加符合真實(shí)葉片。對(duì)于氣動(dòng)阻尼的設(shè)定，筆者是通過(guò)閱讀文獻(xiàn)進(jìn)行的定性研究，在實(shí)際過(guò)程中，可通過(guò)有限元仿真或?qū)嶒?yàn)等手段進(jìn)行獲取。