沈 維, 孫 磊, 司賓強, 張 軍

(1.鹽城工學(xué)院 機械工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051；2.北京信息科技大學(xué) 自動化學(xué)院，北京 100096)

0 引 言

傳動系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn),隨著電力電子科學(xué)技術(shù)、操控理論研究及其微電子技術(shù)的發(fā)展,交流永磁同步電機(PMSM)憑借其優(yōu)越的控制性能，廣泛用于高精密數(shù)控機床、激光切割、紡織等對系統(tǒng)精度和可靠性要求嚴格的領(lǐng)域[1]。然而PMSM是一個復(fù)雜非線性系統(tǒng)，在實際運行中無法忽略電機參數(shù)隨運行環(huán)境的變化，從而影響控制器的調(diào)節(jié)性能。關(guān)于此現(xiàn)象,國內(nèi)外研究者提供了多種優(yōu)秀的先進算法以提高PMSM的調(diào)節(jié)特性,包括PID調(diào)節(jié)[2]、模糊控制[3]、自適應(yīng)控制[4]以及滑?？刂?SMC)[5]等。

基于SMC的PMSM控制系統(tǒng)實質(zhì)上是一個非線性控制系統(tǒng),與常規(guī)控制策略不同在于,其控制過程是不連續(xù)的,通過根據(jù)控制系統(tǒng)當前狀態(tài)不斷切換起動開關(guān)進行變化,使控制系統(tǒng)在特定條件下沿著預(yù)設(shè)的滑模面軌跡作高頻小幅的趨向運動,而SMC所處的滑動狀態(tài)則對控制系統(tǒng)參數(shù)和擾動均有較好的魯棒性[6]。但在實際工作環(huán)境中,因為切換式起動開關(guān)的慣性影響,滑動模型無法正確到達所選擇的滑模面上,極易造成系統(tǒng)抖振,使得此架構(gòu)在實際應(yīng)用中受到制約,因此大量的國內(nèi)外學(xué)者致力于無抖振滑動模型架構(gòu)的研究。文獻[7]引用了“內(nèi)外層”概念,外層采取正?；Ｕ{(diào)節(jié),在內(nèi)層采取連續(xù)反饋調(diào)節(jié)以此減弱抖振。文獻[8]使用了一種可變率滑動模型架構(gòu)有效地抑制了抖振。文獻[9-10]使用了一種自適應(yīng)增益的滑模調(diào)節(jié)方法,利用等效原理判斷滑模動態(tài),并以此切換增益函數(shù)值,減弱抖振,增強系統(tǒng)的魯棒性:文獻[10]更在此理論基礎(chǔ)上提出了快速自適應(yīng)調(diào)整增益。文獻[11-13]均使用了將積分項引入滑模面的設(shè)計工作中,以增加對傳統(tǒng)滑?？刂频聂敯粜?。但是,這種方法的主要改進在于快速的負載變換將會產(chǎn)生面積飽和,從而導(dǎo)致超調(diào)量增大,執(zhí)行機構(gòu)無法進行下一步動作，引起系統(tǒng)不穩(wěn)定甚至崩潰。

本文在原有研究基礎(chǔ)上在積分滑模中引入積分削弱調(diào)節(jié)因子φ，同時引入邊界層概念，更加方便柔化整個控制過程，對層內(nèi)的電機轉(zhuǎn)速采樣精度影響可以忽略，保持了滑模控制的魯棒性特點，大大降低了滑模抖振效應(yīng)，同時采用了Lyapunov函數(shù)去驗證此種設(shè)計結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性。最后,進行優(yōu)化前后的模型數(shù)據(jù)對比，從仿真分析的角度驗證該方法的正確性。

1 擾動分析

PMSM使用了矢量控制方法,在旋轉(zhuǎn)dq坐標系下的PMSM數(shù)學(xué)模型為[12]

(1)

式中：ud、uq、id、iq分別為定子在同轉(zhuǎn)速坐標系下d、q兩軸的電壓和電流；Ld、Lq分別為定子在同樣坐標系下兩軸的電感，Rs、ψf、ωe和ωr分別為定子相的電樞電阻、永磁體磁鏈、轉(zhuǎn)子角速度和機械角速度；uf和J分別為摩擦系數(shù)和轉(zhuǎn)動慣量；TL、Te分別為負載轉(zhuǎn)矩和J電磁轉(zhuǎn)矩。

旋轉(zhuǎn)dq坐標系定義為在靜止坐標系下，轉(zhuǎn)子的運行電角度為θ，為了保持相對靜止，設(shè)定電機定子產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)磁場角速度和轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)角速度相同，該坐標系為dq旋轉(zhuǎn)坐標系，與坐標系的圖解關(guān)系如圖1所示。

圖1 旋轉(zhuǎn)dq坐標系與靜止坐標系關(guān)系圖

在這種狀態(tài)下，設(shè)計滑模面方程，根據(jù)式(1)定義PMSM系統(tǒng)狀態(tài)量：

(2)

根據(jù)文獻[14]設(shè)計滑模面，定義狀態(tài)量如下：

(3)

定義以下變量和成立條件為

(4)

d(t)是外界擾動，且有如下條件成立：

(5)

X(t)在與外界擾動d(t)進行滑模修正，定義跟蹤誤差為

(6)

采用傳統(tǒng)滑模面：

(7)

式中：μ為滑模面斜率，且μ>0。

通過滑模動態(tài)修正，使輸出y(t)跟蹤參考信號，yref(t)取式(1)的系統(tǒng)方程，取式(7)滑模面設(shè)計，控制信號取為

(8)

Q和C分別定義為

(9)

式中:xd為模糊有界函數(shù)最后變換后的誤差補償值,數(shù)值很小,可以忽略不記;D(t)為修正過后的外界擾動。

由此控制信號函數(shù)可知滑動模態(tài)是有界函數(shù)。

(10)

當s>0時，sgn(s)取1;當s<0時，sgn(s)取-1。

取Lyapunov函數(shù)2個條件如下：

(11)

那么當s=0時，控制信號狀態(tài)輸入量即穩(wěn)定滑模面上。

為了防止SMC出現(xiàn)抖振效應(yīng)，傳統(tǒng)控制算式通常采用收斂邊界層的方式來平滑控制量，即在式(7)中重新引入一個函數(shù)進行收斂：

(12)

式中：γ為邊界層厚度;sat[S(t)/γ]為與邊界層有關(guān)的收斂函數(shù)。

sat[S(t)/γ]定義為

(13)

(14)

因Lyapunov條件的改變，式(11)也要做出相應(yīng)改變：

(15)

(16)

得到ε的先決條件，則式(7)在邊界層內(nèi)部|S(t)|≤μ的運動軌跡可表述為

(17)

(18)

(19)

(20)

根據(jù)式(17)，通過終值定理，有下式成立：

(21)

同理可得:

(22)

由式(21)、式(22)，滑模面的斜率μ與滑模的趨近效果有關(guān)，變化率k分別取0、5、10，觀察到通過增大k可以更快趨近滑模面，滑模擾動因素影響著整個體系的穩(wěn)態(tài)誤差,與滑模面斜率μ的變化率k之間成反比,與邊界層面積γ成正比,若將滑模面斜率μ取大，則需更多的時間在滑模面進行處理，削弱了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)魯棒性；若變化率k取大,系統(tǒng)的抖振會加??；若γ取小，則抖振削弱的效果較難達到。即該傳統(tǒng)模式的積分SMC并不能滿足系統(tǒng)穩(wěn)定性和超調(diào)性的控制要求。圖2為不同斜面變化率k值的變化相軌跡。

圖2 不同斜面變化率k值的變化相軌跡

2 帶積分削弱型的SMC設(shè)計

2.1 抑制穩(wěn)態(tài)誤差

(23)

從結(jié)論1中的分析可以得出,當系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)擾動的時候,對積分項的引入就會產(chǎn)生過飽和效應(yīng),進而產(chǎn)生更大的超調(diào),甚至會引起整個系統(tǒng)的崩潰,所以需要對積分項進行微分削弱,并設(shè)計一個改進型的SMC,即：

(24)

式中：φ為削弱調(diào)節(jié)因子，φ≥-1。

分以下情況討論：

(1) 當S<-μ時，有：

(25)

(2) 當S>μ時，有：

(26)

(3) 當|S|≤μ時，有：

(27)

2.2 削弱調(diào)節(jié)因子設(shè)計

圖3 削弱積分型SMC仿真模型

(28)

用Lyapunov函數(shù)進行變化：

(29)

由終值定理可知：

(30)

由此比較結(jié)論1與結(jié)論2,可以得出,與傳統(tǒng)SMC控制比較,引入了削弱積分模型的SMC可以更有效地控制的穩(wěn)態(tài)誤差情況,從而減少抖振效果,并且由于在邊界層外對積分效應(yīng)做出了削弱,也杜絕了超調(diào)情況的發(fā)生。

3 仿真分析

運用MATLAB/Simulink搭建削弱積分型PMSM調(diào)速模型進行仿真驗證，電機參數(shù)如下。圖4為帶削弱積分型SMC的PMSM控制系統(tǒng)。

圖4 帶削弱積分型SMC的PMSM控制系統(tǒng)

表1 仿真模型的參數(shù)

設(shè)定額定轉(zhuǎn)速為2 000 r/min；電流環(huán)、電壓環(huán)采樣周期分別為200、100 μs；采樣空間矢量脈寬調(diào)制(SVPWM)周期為150 μs。采用2種控制策略，控制器采用傳統(tǒng)的積分型滑模面控制策略，控制器1取參數(shù)：

(31)

控制器2采用削弱積分型滑?？刂撇呗?，取參數(shù)：

(32)

滑模邊界層均設(shè)為γ=2，變化率k均為2。分2種情況進行仿真，在0～0.5 s時，切換負載狀態(tài)，切換為原負載轉(zhuǎn)矩的2倍。分析轉(zhuǎn)速情況和電磁轉(zhuǎn)矩情況，定子電流情況在2種控制器中均無明顯變化，觀察控制效果最明顯的轉(zhuǎn)速變化，發(fā)現(xiàn)控制器1，在采用傳統(tǒng)積分型SMC的時候，在系統(tǒng)起動時存在一個超調(diào)，在進行負載切換時，有一個明顯的轉(zhuǎn)矩下墜，且在2 000 r/min中上下波動將近200 r/min，如圖5所示。圖6為削弱積分型SMC轉(zhuǎn)速波形圖。分析電磁轉(zhuǎn)矩時，控制器在初起動時波形嚴重失真如圖7所示。因為對積分環(huán)節(jié)進行了削弱，所以對比采用削弱積分結(jié)構(gòu)的SMC。由圖5～圖8可知，不論是在轉(zhuǎn)速調(diào)節(jié)中還是在電磁轉(zhuǎn)矩中的波形反應(yīng)情況，均能有效抑制超調(diào)，并且具有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，能夠柔化控制過程，起到穩(wěn)定控制的效果。

圖5 傳統(tǒng)SMC轉(zhuǎn)速波形圖

圖6 削弱積分型SMC轉(zhuǎn)速波形圖

圖7 傳統(tǒng)SMC電磁轉(zhuǎn)矩波形圖

圖8 削弱積分型SMC電磁轉(zhuǎn)矩波形圖

4 結(jié) 語

本文基于傳統(tǒng)的SMC在PMSM上的運動,通過分析出現(xiàn)的問題,推導(dǎo)出由積分項過飽和而產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)量過大的原理,并分析了穩(wěn)態(tài)誤差與滑模面斜率、斜面變化率邊界層厚度之間的關(guān)聯(lián),而削弱積分型SMC則是在利用了傳統(tǒng)SMC設(shè)計的基礎(chǔ)上,引入積分項來降低穩(wěn)態(tài)誤差，為防止超調(diào)過大，同時為了防止出現(xiàn)過飽和，對邊界層外的積分進行削弱，改進了滑模面，有效地抑制了超調(diào)，提高了系統(tǒng)的魯棒性。根據(jù)理論研究和仿真分析可以發(fā)現(xiàn)，與傳統(tǒng)SMC相比,基于削弱積分型SMC在PMSM中的控制作用有以下有點：(1)有效抑制了電磁轉(zhuǎn)矩的超調(diào)，減小了穩(wěn)態(tài)誤差，柔化了控制過程；(2)復(fù)雜性低，有利于后期使用級聯(lián)H橋引入SVPWM控制。