基于廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的修正

蔣 磊，冉啟來，楊前冬，盧雪峰，伍安杰

(1.貴州大學(xué)土木工程學(xué)院，貴州 貴陽 550025；2.中天環(huán)宇建筑設(shè)計(jì)有限公司遵義分公司，貴州 遵義 563000)

隨著信息工程發(fā)展，人們?cè)谶吰隆⒒拥姆€(wěn)定性等方面使用數(shù)值模擬軟件越來越頻繁，大部分?jǐn)?shù)值軟件都是基于各種強(qiáng)度準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)模擬計(jì)算[1- 3]，因此對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則的要求越來越高。然而目前大多數(shù)準(zhǔn)則都會(huì)有些許問題，如理論計(jì)算偏安全或危險(xiǎn)，因π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點(diǎn)等。

以Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)記為M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則)為例，自發(fā)展以來，已引起了廣泛的研究，它不僅適用于塑性巖石和脆性巖石的剪切破壞，還能放映出巖石的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于巖石的抗拉強(qiáng)度，但其最大缺點(diǎn)是只考慮了最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的影響而忽略中間主應(yīng)力的影響[4- 5]。針對(duì)此缺陷，郭建強(qiáng)與黃武鋒等[6- 7]基于彈性應(yīng)變能并考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石的影響，提出廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)記為GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則)。該強(qiáng)度準(zhǔn)則不僅彌補(bǔ)了M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的不足，還從能量的角度分析巖石材料的變形破壞特性，并通過多種巖石進(jìn)行三軸試驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，結(jié)果證明其精度明顯皆高于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則。盡管GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則彌補(bǔ)了M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則大部分缺陷，但并非完美的強(qiáng)度準(zhǔn)則，如其強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點(diǎn)等問題，必須采取某些數(shù)學(xué)方法消除奇異點(diǎn)，才能建立數(shù)值模擬的本構(gòu)模型。

基于此，本文將對(duì)GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服函數(shù)進(jìn)行修正，以此消除GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面上屈服軌跡的奇異點(diǎn)。目前常見的消除奇異點(diǎn)方法可大致分為4類：①角隅模型修正法；②變換主應(yīng)力法；③基于試驗(yàn)擬合出無角隅的屈服條件；④主應(yīng)力回映算法。當(dāng)前角隅模型修正法最為受諸多研究學(xué)者所用，其中Willian-Warnke橢圓角隅模型最為常見，如Willian和Warnke用橢圓角隅模型逼近M-C準(zhǔn)則π平面上不規(guī)則六角形，以消除其角隅奇異點(diǎn)[8- 9]。

1 修正廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則

1.1 廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則

郭建強(qiáng)、黃武鋒等[6- 7]基于彈性應(yīng)變能并考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石的影響，提出GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則，表達(dá)式如下：

(1)

式中，c、φ—材料的粘聚力、內(nèi)摩擦力；θσ—羅德角；ν—擬合泊松比。

GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則充分考慮了巖石的破壞伴隨著能量過程，通過多種巖石進(jìn)行三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，證明其精度明顯皆高于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則。但GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面的屈服軌跡尖點(diǎn)產(chǎn)生的數(shù)值問題無法避免，成為其最大短板。

1.2 偏平面上的屈服條件

在主應(yīng)力空間中，巖土屈服條件可用應(yīng)力不變量I1、J2和θ洛德角表示[10]：

F=F1(I1)+F2(J2，θ)

(2)

F2(J2，θ)決定了π平面上的屈服軌跡的形狀，F(xiàn)1(I1)=const時(shí)，即π平面上的屈服軌跡。當(dāng)θ=const時(shí)，即子午平面上的屈服軌跡。

辛克維茲德-潘德(Zienkiewicz-Pande)提出辛克維茲德-潘德條件，表達(dá)式如下：

(3)

可將式(3)改寫成二次型的一般式，如下：

(4)

因此，形狀函數(shù)表達(dá)式為：

(5)

式中，rc、qm—三軸壓縮時(shí)π平面上的半徑和q值；rσ、q—π平面上相應(yīng)任意一θ的半徑與q值。

通過真三軸試驗(yàn)來確定形狀函數(shù)g(θ)，并且使用時(shí)需要同時(shí)滿足以下3個(gè)條件：

(1)形狀函數(shù)必須是凸函數(shù)，即要求：

(6)

g(-π/6)=1，g(π/6)=e

(7)

rσ(-π/6)=rc，r(π/6)=rl

(8)

(9)

式中，rl—三軸拉伸時(shí)π平面上的半徑；e的取值范圍是0.5～1。

(3)當(dāng)θ=±π/6時(shí)，

g′(±π/6)=0

(10)

1.3 Willian-Warnke橢圓模型及其應(yīng)用

Willian和Warnke提出橢圓角隅模型為[9]：

(11)

其中：

A=2(1-e)2cos(π/6-θ)

(12)

(13)

(14)

Willian和Warnke用式(11)來逼近平面上M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則不規(guī)則六角形。這一形狀函數(shù)消除了角隅奇異點(diǎn)，且每處都外凸，與M-C準(zhǔn)則不規(guī)則六角形外接。

因此采用Willian和Warnke的橢圓角隅模型代替M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的形狀函數(shù)g(θ)，對(duì)其屈服軌跡進(jìn)行修正：

(15)

將(15)代入到(1)式便可得修正后的GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)稱為WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則)：

(16)

WM-C是針對(duì)GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服軌跡不能保持非凸性和存在奇異點(diǎn)而提出的，目的是為了該準(zhǔn)則能夠更好地嵌入數(shù)值模擬軟件。

2 WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的驗(yàn)證

2.1 WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則光滑性驗(yàn)證

為了驗(yàn)證在不同擬合泊松比ν的情況下WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面上屈服軌跡的光滑性和外凸性，將WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)用不同數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析，如圖1所示。

由圖1可見有2個(gè)特點(diǎn)：①WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性，有效解決了GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面屈服軌跡不滿足完全光滑性和存在尖點(diǎn)處的問題，為后續(xù)應(yīng)用于本構(gòu)模型建立和嵌入數(shù)值軟件計(jì)算帶來方便。②WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡均與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上屈服軌跡的6個(gè)角隅均相接，即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處)，WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果相同。

圖1 不同擬合泊松比情況下π平面屈服軌跡對(duì)比

2.2 WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證WM-C準(zhǔn)則的計(jì)算精度和適用性，利用紅砂巖三軸試驗(yàn)[12]的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)算，并將計(jì)算結(jié)果與GM-C準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。采用平均誤差式評(píng)價(jià)各個(gè)準(zhǔn)則計(jì)算誤差，計(jì)算結(jié)果列于圖2、表1。

表1 真三軸試驗(yàn)平均誤差

圖2 W-MC與G-MC理論計(jì)算對(duì)比

采用WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算紅砂巖三軸試驗(yàn)破壞強(qiáng)度的平均誤差為3.51%，不僅低于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的相應(yīng)巖石的平均誤差10.49%，更加低于GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的相應(yīng)巖石的平均誤差4.10%，可見，采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型修正的M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則在消除奇異點(diǎn)的同時(shí)，還能提高巖石破壞強(qiáng)度的計(jì)算精度。

3 結(jié)論

(1)采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型消除π平面屈服軌跡上的奇異點(diǎn)，建立WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則。從π平面屈服軌跡對(duì)比來看，WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性，有效的解決了GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的短板問題，為后續(xù)應(yīng)用于本構(gòu)模型建立和嵌入數(shù)值軟件計(jì)算打下基礎(chǔ)。同時(shí)WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡均與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上屈服軌跡的6個(gè)角隅均相接，即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處)計(jì)算結(jié)果相同。

(2)以紅砂巖的試驗(yàn)為例，通過對(duì)比分析WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果，WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則在巖石破壞強(qiáng)度計(jì)算精度略高于GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則，計(jì)算結(jié)果更為精確。WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則為邊坡、基坑等的穩(wěn)定性提供了一定的可靠性。