蔣 磊,冉啟來,楊前冬,盧雪峰,伍安杰
(1.貴州大學(xué)土木工程學(xué)院,貴州 貴陽 550025;2.中天環(huán)宇建筑設(shè)計(jì)有限公司遵義分公司,貴州 遵義 563000)
隨著信息工程發(fā)展,人們?cè)谶吰隆⒒拥姆€(wěn)定性等方面使用數(shù)值模擬軟件越來越頻繁,大部分?jǐn)?shù)值軟件都是基于各種強(qiáng)度準(zhǔn)則來實(shí)現(xiàn)模擬計(jì)算[1- 3],因此對(duì)強(qiáng)度準(zhǔn)則的要求越來越高。然而目前大多數(shù)準(zhǔn)則都會(huì)有些許問題,如理論計(jì)算偏安全或危險(xiǎn),因π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點(diǎn)等。
以Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)記為M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則)為例,自發(fā)展以來,已引起了廣泛的研究,它不僅適用于塑性巖石和脆性巖石的剪切破壞,還能放映出巖石的抗壓強(qiáng)度遠(yuǎn)大于巖石的抗拉強(qiáng)度,但其最大缺點(diǎn)是只考慮了最大主應(yīng)力和最小主應(yīng)力的影響而忽略中間主應(yīng)力的影響[4- 5]。針對(duì)此缺陷,郭建強(qiáng)與黃武鋒等[6- 7]基于彈性應(yīng)變能并考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石的影響,提出廣義M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)記為GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則)。該強(qiáng)度準(zhǔn)則不僅彌補(bǔ)了M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的不足,還從能量的角度分析巖石材料的變形破壞特性,并通過多種巖石進(jìn)行三軸試驗(yàn)對(duì)數(shù)據(jù)驗(yàn)證,結(jié)果證明其精度明顯皆高于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則。盡管GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則彌補(bǔ)了M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則大部分缺陷,但并非完美的強(qiáng)度準(zhǔn)則,如其強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面屈服軌跡不能保持非凸性、均存在奇異點(diǎn)等問題,必須采取某些數(shù)學(xué)方法消除奇異點(diǎn),才能建立數(shù)值模擬的本構(gòu)模型。
基于此,本文將對(duì)GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服函數(shù)進(jìn)行修正,以此消除GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面上屈服軌跡的奇異點(diǎn)。目前常見的消除奇異點(diǎn)方法可大致分為4類:①角隅模型修正法;②變換主應(yīng)力法;③基于試驗(yàn)擬合出無角隅的屈服條件;④主應(yīng)力回映算法。當(dāng)前角隅模型修正法最為受諸多研究學(xué)者所用,其中Willian-Warnke橢圓角隅模型最為常見,如Willian和Warnke用橢圓角隅模型逼近M-C準(zhǔn)則π平面上不規(guī)則六角形,以消除其角隅奇異點(diǎn)[8- 9]。
郭建強(qiáng)、黃武鋒等[6- 7]基于彈性應(yīng)變能并考慮了中間主應(yīng)力對(duì)巖石的影響,提出GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則,表達(dá)式如下:
(1)
式中,c、φ—材料的粘聚力、內(nèi)摩擦力;θσ—羅德角;ν—擬合泊松比。
GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則充分考慮了巖石的破壞伴隨著能量過程,通過多種巖石進(jìn)行三軸試驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證,證明其精度明顯皆高于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和D-P強(qiáng)度準(zhǔn)則。但GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面的屈服軌跡尖點(diǎn)產(chǎn)生的數(shù)值問題無法避免,成為其最大短板。
在主應(yīng)力空間中,巖土屈服條件可用應(yīng)力不變量I1、J2和θ洛德角表示[10]:
F=F1(I1)+F2(J2,θ)
(2)
F2(J2,θ)決定了π平面上的屈服軌跡的形狀,F(xiàn)1(I1)=const時(shí),即π平面上的屈服軌跡。當(dāng)θ=const時(shí),即子午平面上的屈服軌跡。
辛克維茲德-潘德(Zienkiewicz-Pande)提出辛克維茲德-潘德條件,表達(dá)式如下:
(3)
可將式(3)改寫成二次型的一般式,如下:
(4)
因此,形狀函數(shù)表達(dá)式為:
(5)
式中,rc、qm—三軸壓縮時(shí)π平面上的半徑和q值;rσ、q—π平面上相應(yīng)任意一θ的半徑與q值。
通過真三軸試驗(yàn)來確定形狀函數(shù)g(θ),并且使用時(shí)需要同時(shí)滿足以下3個(gè)條件:
(1)形狀函數(shù)必須是凸函數(shù),即要求:
(6)
g(-π/6)=1,g(π/6)=e
(7)
rσ(-π/6)=rc,r(π/6)=rl
(8)
(9)
式中,rl—三軸拉伸時(shí)π平面上的半徑;e的取值范圍是0.5~1。
(3)當(dāng)θ=±π/6時(shí),
g′(±π/6)=0
(10)
Willian和Warnke提出橢圓角隅模型為[9]:
(11)
其中:
A=2(1-e)2cos(π/6-θ)
(12)
(13)
(14)
Willian和Warnke用式(11)來逼近平面上M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則不規(guī)則六角形。這一形狀函數(shù)消除了角隅奇異點(diǎn),且每處都外凸,與M-C準(zhǔn)則不規(guī)則六角形外接。
因此采用Willian和Warnke的橢圓角隅模型代替M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的形狀函數(shù)g(θ),對(duì)其屈服軌跡進(jìn)行修正:
(15)
將(15)代入到(1)式便可得修正后的GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則(以下簡(jiǎn)稱為WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則):
(16)
WM-C是針對(duì)GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的π平面屈服軌跡不能保持非凸性和存在奇異點(diǎn)而提出的,目的是為了該準(zhǔn)則能夠更好地嵌入數(shù)值模擬軟件。
為了驗(yàn)證在不同擬合泊松比ν的情況下WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則π平面上屈服軌跡的光滑性和外凸性,將WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則應(yīng)用不同數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算分析,如圖1所示。
由圖1可見有2個(gè)特點(diǎn):①WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性,有效解決了GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面屈服軌跡不滿足完全光滑性和存在尖點(diǎn)處的問題,為后續(xù)應(yīng)用于本構(gòu)模型建立和嵌入數(shù)值軟件計(jì)算帶來方便。②WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡均與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上屈服軌跡的6個(gè)角隅均相接,即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處),WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果相同。
圖1 不同擬合泊松比情況下π平面屈服軌跡對(duì)比
為了驗(yàn)證WM-C準(zhǔn)則的計(jì)算精度和適用性,利用紅砂巖三軸試驗(yàn)[12]的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)算,并將計(jì)算結(jié)果與GM-C準(zhǔn)則計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。采用平均誤差式評(píng)價(jià)各個(gè)準(zhǔn)則計(jì)算誤差,計(jì)算結(jié)果列于圖2、表1。
表1 真三軸試驗(yàn)平均誤差
圖2 W-MC與G-MC理論計(jì)算對(duì)比
采用WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算紅砂巖三軸試驗(yàn)破壞強(qiáng)度的平均誤差為3.51%,不僅低于M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的相應(yīng)巖石的平均誤差10.49%,更加低于GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則計(jì)算的相應(yīng)巖石的平均誤差4.10%,可見,采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型修正的M-C強(qiáng)度準(zhǔn)則在消除奇異點(diǎn)的同時(shí),還能提高巖石破壞強(qiáng)度的計(jì)算精度。
(1)采用Willian和Warnke提出橢圓角隅模型消除π平面屈服軌跡上的奇異點(diǎn),建立WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則。從π平面屈服軌跡對(duì)比來看,WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡能保持完全光滑性和外凸性,有效的解決了GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的短板問題,為后續(xù)應(yīng)用于本構(gòu)模型建立和嵌入數(shù)值軟件計(jì)算打下基礎(chǔ)。同時(shí)WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上的屈服軌跡均與GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則平面上屈服軌跡的6個(gè)角隅均相接,即在三軸拉伸和壓縮條件下(θ=±π/6處)計(jì)算結(jié)果相同。
(2)以紅砂巖的試驗(yàn)為例,通過對(duì)比分析WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則和GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則的計(jì)算結(jié)果,WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則在巖石破壞強(qiáng)度計(jì)算精度略高于GM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則,計(jì)算結(jié)果更為精確。WM-C強(qiáng)度準(zhǔn)則為邊坡、基坑等的穩(wěn)定性提供了一定的可靠性。