張康皓，董希旺，于江龍，化永朝，任 章

(北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100083)

0 引言

物體的狀態(tài)，通常指一組可以描述其隨時(shí)間變化的物理量，例如位置、速度、加速度以及角度等。狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題擁有很長(zhǎng)的歷史，早在幾千年前，航海家就面臨對(duì)船只在海洋中的位置進(jìn)行估計(jì)的問(wèn)題，這些需求激勵(lì)了測(cè)量技術(shù)的發(fā)展。

狀態(tài)估計(jì)理論的起源可以追溯至1654年帕斯卡和費(fèi)馬奠定了概率論的基礎(chǔ)，以及1764年貝葉斯法則的提出。1801年，高斯利用最小化觀測(cè)誤差提出了最小二乘法，成功估計(jì)出了谷神星的軌道，并于1803年證明了在觀測(cè)噪聲為正態(tài)分布的條件下，最小二乘估計(jì)就是最優(yōu)估計(jì)。到20世紀(jì)中期，卡爾曼1960年發(fā)表的文章為狀態(tài)估計(jì)理論的發(fā)展指明了方向，這種針對(duì)高斯線性系統(tǒng)的經(jīng)典狀態(tài)估計(jì)方法就是卡爾曼濾波，可以證明，卡爾曼濾波是對(duì)高斯線性系統(tǒng)的最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)。基于卡爾曼濾波的思想，通過(guò)引入線性化手段，適用于非線性系統(tǒng)高斯噪聲下的擴(kuò)展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter，EKF)、無(wú)跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter，UKF)和容積卡爾曼濾波(Cubature Kalman Filter，CKF)算法被陸續(xù)提出。此外，20世紀(jì)后期提出的粒子濾波、最大后驗(yàn)估計(jì)、貝葉斯估計(jì)等狀態(tài)估計(jì)方法，將狀態(tài)估計(jì)的應(yīng)用領(lǐng)域擴(kuò)展至了非線性系統(tǒng)。

上述狀態(tài)估計(jì)方法均建立在一對(duì)一觀測(cè)模型的基礎(chǔ)上，即單個(gè)傳感器對(duì)單一目標(biāo)進(jìn)行狀態(tài)估計(jì)，而這樣的結(jié)構(gòu)雖然能實(shí)現(xiàn)對(duì)動(dòng)態(tài)目標(biāo)的最優(yōu)或次優(yōu)估計(jì)，但抗干擾能力不強(qiáng)，魯棒性較差；于是，使用多個(gè)傳感器對(duì)同一目標(biāo)進(jìn)行融合狀態(tài)估計(jì)的思路開始受到研究人員的關(guān)注，這就是多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)研究的起點(diǎn)。2004年之前，多傳感器分布式狀態(tài)估計(jì)的研究處于起步期；得益于網(wǎng)絡(luò)一致性算法這一強(qiáng)有力工具的提出，分布式狀態(tài)估計(jì)得到了蓬勃發(fā)展。本文依照由集中式到分散式再到分布式狀態(tài)估計(jì)的發(fā)展順序，對(duì)分布式狀態(tài)估計(jì)的發(fā)展進(jìn)行梳理。

第1章介紹了集中式狀態(tài)估計(jì)方法。在以高斯線性系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，卡爾曼濾波是最小均方誤差準(zhǔn)則下的最優(yōu)估計(jì)(對(duì)于非線性系統(tǒng)，可在濾波層面使用EKF、CKF、粒子濾波等非線性濾波方法，不影響集中式狀態(tài)估計(jì)的架構(gòu))。因此，第1章詳細(xì)總結(jié)了基于觀測(cè)融合的集中式卡爾曼濾波方法，作為全局最優(yōu)的比較基準(zhǔn)。

第2章以多傳感器數(shù)據(jù)融合中的相關(guān)數(shù)據(jù)的融合問(wèn)題為焦點(diǎn)，總結(jié)了由集中式到分散式與分布式狀態(tài)估計(jì)發(fā)展過(guò)程中的經(jīng)典方法。

第3章總結(jié)了一致性算法出現(xiàn)后的分布式狀態(tài)估計(jì)方法，主要有估計(jì)一致性、測(cè)量一致性和信息一致性等方法，并討論了這些方法的最優(yōu)性和分布式水平。此外，指出了信息一致性方法分布式地實(shí)現(xiàn)了第2章中狀態(tài)向量融合的無(wú)偏保守估計(jì)。

1 集中式狀態(tài)估計(jì)

本章首先介紹了多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)中最早提出且最直接的思路，即集中式狀態(tài)估計(jì)方法。在高斯線性系統(tǒng)的最小均方誤差準(zhǔn)則下，使用集中式卡爾曼濾波得到融合狀態(tài)估計(jì)結(jié)果，是分布式狀態(tài)估計(jì)的精度上限和比較基準(zhǔn)。

引言中提到，單一傳感器向多傳感器狀態(tài)估計(jì)推廣能夠提升狀態(tài)估計(jì)精度，增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。較為直觀的思路是，收集多個(gè)傳感器對(duì)目標(biāo)的觀測(cè)，集中執(zhí)行狀態(tài)估計(jì)。麻省理工大學(xué)的D.Willner等在1976年的文章中提出了適用于多傳感器系統(tǒng)的卡爾曼濾波算法，將多個(gè)傳感器的觀測(cè)合成為一個(gè)向量再進(jìn)行卡爾曼濾波，可實(shí)現(xiàn)全局最小均方誤差估計(jì)，這種方法也因此被稱作集中式卡爾曼濾波。設(shè)個(gè)傳感器對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)隨機(jī)向量的觀測(cè)方程為

+1,=(+1)++1,

(1)

若所有傳感器的觀測(cè)數(shù)據(jù)被同步收集，則有

(2)

在傳感器觀測(cè)噪聲互不相關(guān)的條件下，觀測(cè)向量的協(xié)方差矩陣為

(3)

至此，基于觀測(cè)融合，D.Willner等提出了三種濾波方法。當(dāng)系統(tǒng)為線性高斯且傳感器同構(gòu)的情況下，三種方法等價(jià)，均為最優(yōu)估計(jì)，第一種方法運(yùn)算量最大，第三種最小。

1)并行濾波器：這種方法在收集觀測(cè)數(shù)據(jù)的中心節(jié)點(diǎn)時(shí)直接采用卡爾曼濾波對(duì)狀態(tài)向量進(jìn)行求解，但矩陣維數(shù)隨傳感器數(shù)量而增加，導(dǎo)致直接求解計(jì)算負(fù)荷較大。

2)順序?yàn)V波器：順序結(jié)構(gòu)的濾波器將收集到的個(gè)傳感器的觀測(cè)數(shù)據(jù)依次用于卡爾曼濾波的更新中，即下一時(shí)刻全局的狀態(tài)更新需要進(jìn)行次卡爾曼濾波。

3)數(shù)據(jù)壓縮濾波器：所謂數(shù)據(jù)壓縮，是指對(duì)個(gè)觀測(cè)向量進(jìn)行融合后再進(jìn)行卡爾曼濾波，事實(shí)上，這種方法利用了最優(yōu)加權(quán)最小二乘估計(jì)對(duì)觀測(cè)向量進(jìn)行融合

(4)

(5)

得到了壓縮的觀測(cè)向量及相應(yīng)的協(xié)方差矩陣后再進(jìn)行卡爾曼濾波，但在傳感器異構(gòu)時(shí)不可用。在圖1所示的集中式融合狀態(tài)估計(jì)架構(gòu)中，數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)和時(shí)空配準(zhǔn)是多傳感器融合中的必要步驟，濾波算法在融合中心進(jìn)行實(shí)現(xiàn)。

圖1 集中式融合狀態(tài)估計(jì)架構(gòu)Fig.1 Centralized state estimation structure

由于均需要收集所有傳感器的觀測(cè)，以上三種方法也被稱為觀測(cè)融合(measurement fusion)。這些方法要求每個(gè)傳感器與中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行通信，對(duì)計(jì)算量、存儲(chǔ)能力以及通信能力的要求較高，并且容錯(cuò)能力較弱。因此，若在每個(gè)傳感器執(zhí)行本地估計(jì)，利用信息融合的方法實(shí)現(xiàn)分布式融合狀態(tài)估計(jì)，可克服集中式狀態(tài)估計(jì)的不足。分布式狀態(tài)估計(jì)開始成為新的研究熱點(diǎn)。

需要注意的是，對(duì)于高斯線性系統(tǒng)，集中式卡爾曼濾波是最小均方誤差意義下的全局最優(yōu)估計(jì)?？梢宰C明，卡爾曼濾波給出的誤差協(xié)方差矩陣位于克拉美羅下界處，所以卡爾曼濾波是最優(yōu)線性無(wú)偏估計(jì)(Best Linear Unbiased Estimate，BLUE)。因此，集中式卡爾曼濾波是所有線性無(wú)偏狀態(tài)估計(jì)方法中誤差比較的基準(zhǔn)，分布式方法的估計(jì)精度不能超越集中式。

2 多傳感器數(shù)據(jù)融合——相關(guān)數(shù)據(jù)的融合方法

在多傳感器分布式狀態(tài)估計(jì)的研究進(jìn)程中，對(duì)來(lái)自不同傳感器的數(shù)據(jù)進(jìn)行融合及利用是最基礎(chǔ)的問(wèn)題，而分布式則主要關(guān)心如何將融合方法在傳感器網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)本地實(shí)現(xiàn)。2013年，B.Khaleghi等給出了關(guān)于多傳感器數(shù)據(jù)融合(Multi Sensor Data Fusion，MSDF)技術(shù)的全面回顧，總結(jié)了MSDF面臨的挑戰(zhàn)及其應(yīng)對(duì)方法，包括數(shù)據(jù)缺陷、數(shù)據(jù)相關(guān)性、數(shù)據(jù)不一致性等問(wèn)題，如圖2所示。其中，數(shù)據(jù)相關(guān)性問(wèn)題伴隨著MSDF的發(fā)展，是最受研究者關(guān)切的問(wèn)題之一。本章聚焦多傳感器數(shù)據(jù)融合中的數(shù)據(jù)相關(guān)性問(wèn)題，并將在之后的章節(jié)中展示分布式狀態(tài)估計(jì)算法是如何解決這一問(wèn)題的。

圖2 數(shù)據(jù)融合方法分類Fig.2 Taxonomy of data fusion methods

2.1 有相關(guān)性數(shù)據(jù)的融合——狀態(tài)向量融合

(6)

(7)

其中，、分別為傳感器的估計(jì)誤差方差矩陣和傳感器、估計(jì)誤差之間的交叉協(xié)方差矩陣。上述融合結(jié)果可以寫為如下形式

(8)

綜上所述，這種狀態(tài)向量融合的方法可以在已知估計(jì)誤差相關(guān)性的情況下，以最小均方差為準(zhǔn)則融合兩個(gè)傳感器的狀態(tài)估計(jì)。文獻(xiàn)[9]通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)對(duì)比了第1章介紹的集中式卡爾曼濾波的觀測(cè)融合與上述狀態(tài)向量融合方法的性能表現(xiàn)，說(shuō)明了狀態(tài)向量融合方法的估計(jì)誤差始終高于集中式的觀測(cè)融合方法。因此，這種狀態(tài)向量融合方法并不是最優(yōu)的，而被證明是一種次優(yōu)估計(jì)，相比集中式狀態(tài)估計(jì)，其優(yōu)勢(shì)在于更低的計(jì)算負(fù)荷以及可被用于分布式結(jié)構(gòu)的狀態(tài)估計(jì)。由于觀測(cè)融合與狀態(tài)向量融合方法均受卡爾曼濾波思想的啟發(fā)，在后續(xù)的研究中，這兩種狀態(tài)向量融合方法也被歸為KF(Kalman Filter)融合方法。

2004年，S.L.Sun等基于矩陣加權(quán)線性最小融合方差，推導(dǎo)出了在這一準(zhǔn)則下的多傳感器最優(yōu)信息融合方法，可看作是Bar-Shalom/Campo公式在多傳感器數(shù)據(jù)融合下的推廣。假設(shè)對(duì)同一個(gè)維隨機(jī)向量有個(gè)無(wú)偏估計(jì)

(9)

(10)

為待定系數(shù)矩陣的最優(yōu)無(wú)偏融合估計(jì)，根據(jù)無(wú)偏估計(jì)的性質(zhì)，加權(quán)矩陣的和等于單位矩陣。則融合后的誤差協(xié)方差矩陣為

(11)

為了最小化式(11)所示的誤差協(xié)方差矩陣的跡，本文通過(guò)拉格朗日乘子法給出了最優(yōu)加權(quán)矩陣以及相應(yīng)的誤差協(xié)方差矩陣

(12)

其中，=[,…，],=()×。事實(shí)上，Sun等對(duì)多傳感器加權(quán)融合后的誤差協(xié)方差矩陣的跡進(jìn)行的最小化方法，與Y.Bar-Shalom等對(duì)兩個(gè)傳感器采用的卡爾曼濾波融合方法等價(jià)，這是由于式(6)所示的估計(jì)誤差方差與式(11)中誤差協(xié)方差矩陣的跡是相同的。

Sun等由此提出了分布式傳感器信息融合的雙層融合結(jié)構(gòu)，第一層用于計(jì)算任意兩個(gè)傳感器估計(jì)誤差之間的協(xié)方差矩陣，第二層進(jìn)行權(quán)重的計(jì)算與數(shù)據(jù)融合。也就是說(shuō)，這種方法需要每個(gè)傳感器能夠?qū)W(wǎng)絡(luò)中的其他傳感器進(jìn)行點(diǎn)對(duì)點(diǎn)廣播通信；并且需要獲取每個(gè)傳感器間的相關(guān)性，通信量和運(yùn)算量隨著傳感器數(shù)量的增加而呈指數(shù)增長(zhǎng)，可擴(kuò)展性不強(qiáng)。

(|)=(|,)

(13)

這意味著?,其中，和分別是傳感器與傳感器的累積觀測(cè)數(shù)據(jù)，顯然該假設(shè)是不合理的。同時(shí)，Chang K.C.等還指出，這種狀態(tài)向量融合方法是缺少先驗(yàn)信息時(shí)的最大似然估計(jì)，因此是一種次優(yōu)估計(jì)。

此外，Chang K.C.等還分析了Chong C.Y.于1979年提出的一種層次估計(jì)方法，也被稱為基于信息融合的方法能夠做到分布式的全局最優(yōu)估計(jì)，其具體形式如下

(14)

表1 幾種多傳感器數(shù)據(jù)融合方法比較

綜上所述，本文介紹的對(duì)于線性高斯系統(tǒng)的多傳感器融合方法中，集中式的觀測(cè)融合方法1)可以實(shí)現(xiàn)全局的線性最小方差估計(jì)，是一種最優(yōu)估計(jì)，但矩陣維數(shù)高，計(jì)算量大；觀測(cè)融合方法2)、3)在傳感器同構(gòu)時(shí)與方法1)等價(jià)，并且能夠降低計(jì)算量。狀態(tài)向量融合方法是一種次優(yōu)無(wú)偏估計(jì)，實(shí)現(xiàn)了多個(gè)傳感器狀態(tài)估計(jì)向量加權(quán)時(shí)的最小方差，被文獻(xiàn)[10]證明是最大似然意義下的最優(yōu)，并非全局最小均方差；但這種方法計(jì)算量小，可實(shí)現(xiàn)分布式的融合架構(gòu)。此外，還有學(xué)者對(duì)狀態(tài)向量融合進(jìn)行了改進(jìn)，將融合后的狀態(tài)估計(jì)用于下一時(shí)刻所有傳感器的預(yù)測(cè)步，而不再用各自傳感器融合前的狀態(tài)估計(jì)，在異構(gòu)傳感器網(wǎng)絡(luò)中取得了更好的表現(xiàn)。信息融合方法采用所有傳感器的先驗(yàn)信息及狀態(tài)估計(jì)信息，在高速率通信時(shí)可以實(shí)現(xiàn)最優(yōu)估計(jì)，從融合形式上看，也是一種廣義的狀態(tài)向量融合(狀態(tài)估計(jì)向量及其先驗(yàn))；但該方法通信量大，計(jì)算量大，通信實(shí)時(shí)度下降時(shí)將退化為次優(yōu)估計(jì)。此外，N.A.Carlson提出的聯(lián)邦濾波器也是多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)中重要的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)，通過(guò)將狀態(tài)向量劃分為公共狀態(tài)和專有狀態(tài)，能夠解決異質(zhì)傳感器網(wǎng)絡(luò)下的融合狀態(tài)估計(jì)，在大類上也是一種狀態(tài)向量融合方法。以上算法可被總結(jié)為如下三種融合架構(gòu)，如圖3所示。

(a) 并行濾波

(c) 狀態(tài)向量融合圖3 三種不同的傳感器融合架構(gòu)Fig.3 Illustration of different fusion architectures

圖3(a)所示架構(gòu)對(duì)應(yīng)于觀測(cè)融合方法中的并行濾波器和數(shù)據(jù)壓縮濾波器。圖3(b)所示架構(gòu)對(duì)應(yīng)于觀測(cè)融合方法中的順序?yàn)V波器。圖3(c)所示架構(gòu)為狀態(tài)向量融合方法的示意圖，傳感器進(jìn)行本地狀態(tài)估計(jì)后，需要計(jì)算兩兩之間的估計(jì)誤差協(xié)方差矩陣，再進(jìn)行融合，數(shù)據(jù)融合可以在中心節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)，也可以通過(guò)傳感器網(wǎng)絡(luò)的廣播式通信在所有傳感器本地實(shí)現(xiàn)。由于式(14)中的信息融合方法和聯(lián)邦濾波器本質(zhì)上也是一種狀態(tài)向量融合方法，因此也可以由圖3(c)中的架構(gòu)描述。

2.2 未知相關(guān)性數(shù)據(jù)的融合——保守估計(jì)

由2.1節(jié)的討論可知，傳感器數(shù)據(jù)融合時(shí)需要獲得所有傳感器估計(jì)誤差兩兩之間的相關(guān)性矩陣。但在實(shí)際的傳感器網(wǎng)絡(luò)中，由于通信帶來(lái)的信息混合、相同的過(guò)程噪聲以及傳感器之間可能的位置關(guān)聯(lián)，傳感器間的估計(jì)誤差的相關(guān)性是難以避免且通常是難以獲得的，因此，表1提出的融合方法不易完美實(shí)現(xiàn)。對(duì)于高斯的未知誤差間相關(guān)性的情況，S.J.Julier等于1997年提出了協(xié)方差交叉(Covariance Intersection，CI)算法，給出了未知傳感器間誤差相關(guān)性時(shí)線性無(wú)偏融合估計(jì)誤差協(xié)方差的最小上界，CI融合公式如下

(15)

其中，是使得融合后協(xié)方差矩陣跡最小的常數(shù)，CI算法給出的融合誤差協(xié)方差矩陣是對(duì)傳感器間任意誤差相關(guān)性的最小上界。Chen L.等對(duì)CI算法進(jìn)行了更直觀的解讀，提出了利用協(xié)方差橢圓對(duì)誤差協(xié)方差矩陣進(jìn)行可視化的方法。如圖4所示，藍(lán)色橢圓為兩個(gè)傳感器的估計(jì)誤差；綠色橢圓為當(dāng)兩個(gè)傳感器估計(jì)誤差間不相關(guān)時(shí)的融合協(xié)方差，即當(dāng)≠時(shí)，式(11)中的=0；黑色橢圓為當(dāng)傳感器估計(jì)誤差間相關(guān)性已知(取不同值)時(shí)的融合協(xié)方差；紫色虛線橢圓為當(dāng)傳感器間誤差相關(guān)性未知的條件下，式(15)中的取不同值時(shí)的CI融合誤差。文獻(xiàn)[16]證明了兩傳感器在任意相關(guān)性時(shí)，融合誤差橢圓均在藍(lán)色的估計(jì)誤差橢圓相交區(qū)域內(nèi)?？梢钥闯?，CI給出的融合估計(jì)能對(duì)兩個(gè)傳感器協(xié)方差橢圓相交區(qū)域?qū)崿F(xiàn)緊約束，因此，CI也被稱作保守(Conservative)估計(jì)。

圖4 已知相關(guān)性與未知相關(guān)性時(shí)的傳感器融合誤差橢圓Fig.4 The ellipses for multisensor fusion under known and unknown cross-covariance matrices

CI算法對(duì)于融合上界的計(jì)算是最優(yōu)的，并且被M.B.Hurley用信息理論證明可適用于任意的概率分布函數(shù)。但文獻(xiàn)[14]也指出，CI算法對(duì)于兩個(gè)以上的傳感器融合時(shí)給出的誤差協(xié)方差大于相交區(qū)域的緊約束，即CI算法對(duì)兩個(gè)以上的未知相關(guān)性的多傳感器融合結(jié)果不再是最小誤差上界。并且CI算法本身也存在著優(yōu)化計(jì)算量大、估計(jì)結(jié)果悲觀保守等問(wèn)題。為此，一些快速計(jì)算CI的方法以及被稱為最大橢圓(Largest ellipsoid)算法的樂(lè)觀估計(jì)方法被提出，但這種樂(lè)觀估計(jì)方法也被證明存在估計(jì)缺陷。

總而言之，盡管CI算法不完美，但作為一種處理數(shù)據(jù)未知相關(guān)性的開創(chuàng)性經(jīng)典方法，具有重要的理論與應(yīng)用價(jià)值。目前，CI仍然是未知誤差相關(guān)性時(shí)多傳感器數(shù)據(jù)融合中的首選方法。T.Bailey等還將保守估計(jì)思想推廣至了未知的非高斯相關(guān)性的情況中。如今，能夠解決未知誤差相關(guān)性的保守融合估計(jì)方法已經(jīng)在分布式狀態(tài)估計(jì)的研究中被廣泛地提出。

3 一致性與分布式狀態(tài)估計(jì)

早期對(duì)多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)的研究與文獻(xiàn)[8]中類似，若要實(shí)現(xiàn)分布式狀態(tài)估計(jì)，一個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)需要獲得網(wǎng)絡(luò)中其他所有節(jié)點(diǎn)的信息，即所有傳感器節(jié)點(diǎn)需要具備廣播式的全局通信能力；亦或是像文獻(xiàn)[13]中提出的算法，需要一個(gè)中心節(jié)點(diǎn)進(jìn)行融合，如圖2所示。正如文獻(xiàn)[30]所述，這些方法只能被稱作分散式(decentralized)狀態(tài)估計(jì)，而非分布式(distributed)狀態(tài)估計(jì)。一致性算法與代數(shù)圖論的發(fā)展使得多傳感器分布式狀態(tài)估計(jì)架構(gòu)成為可能。

3.1 一致性算法

在連通拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)中，僅利用各個(gè)節(jié)點(diǎn)及其鄰居的通信迭代實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)的信息或狀態(tài)的一致被稱為一致性問(wèn)題。2004年，加州理工大學(xué)的R.Olfati-Saber等解決了切換拓?fù)渑c延時(shí)網(wǎng)絡(luò)的一致性問(wèn)題(Consensus Problem)，其核心公式為

(16)

其中，為網(wǎng)絡(luò)的拉普拉斯矩陣；為系統(tǒng)的狀態(tài)。Xiao L.等基于矩陣分析，于同年提出了計(jì)算平均一致性的快速線性迭代算法以及兩種常用的加權(quán)方法：最大度加權(quán)和Metropolis加權(quán)方法，極大地方便了傳感器網(wǎng)絡(luò)對(duì)一致性方法的應(yīng)用。核心公式為

(17)

D.P.Spanos 等證明了Xiao L.等在文獻(xiàn)[32]中由矩陣?yán)碚搶?dǎo)出的離散一致性算法，可由R.Olfati-Saber等在文獻(xiàn)[31]中基于拉普拉斯矩陣的連續(xù)一致性思想推導(dǎo)而來(lái)，均可在迭代的穩(wěn)態(tài)分布式地實(shí)現(xiàn)各個(gè)節(jié)點(diǎn)初始狀態(tài)的平均一致性，即

(18)

在傳感器網(wǎng)絡(luò)的通信拓?fù)渎?lián)通條件下，平均一致性算法總能使各節(jié)點(diǎn)狀態(tài)趨于一致，并且收斂于各個(gè)節(jié)點(diǎn)初始狀態(tài)的平均值。一致性算法為分布式狀態(tài)估計(jì)提供了強(qiáng)大的工具；拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò)能夠僅利用節(jié)點(diǎn)與鄰居的通信實(shí)現(xiàn)某種信息的一致性，解決了早期多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)研究中對(duì)廣播式通信或中心節(jié)點(diǎn)的依賴，可以使每個(gè)傳感器分布式地得到相同的融合結(jié)果。

3.2 分布式狀態(tài)估計(jì)算法

在隨后的2005年，Xiao L.等將平均一致性方法成功地應(yīng)用于分布式傳感器融合中，這是一種對(duì)觀測(cè)對(duì)象狀態(tài)為非隨機(jī)觀測(cè)量的分布式最大似然估計(jì)。同樣在2005年，R.Olfati-Saber等在文獻(xiàn)[31]的基礎(chǔ)上提出了一致性濾波器，利用現(xiàn)代控制理論論證了這是一種低通濾波器并證明了其穩(wěn)定性?；谶@種一致性濾波器，R.Olfati-Saber等提出的分布式卡爾曼濾波器是首個(gè)可擴(kuò)展且完全分布式的濾波器，由低通一致性濾波器和帶通一致性濾波器組成的微小嵌入式卡爾曼濾波器計(jì)算平均觀測(cè)和平均逆協(xié)方差矩陣，理論上可以實(shí)現(xiàn)與集中式濾波相當(dāng)?shù)墓烙?jì)精度。然而，這種方法的缺陷在于，需要每個(gè)傳感器擁有網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)總個(gè)數(shù)這一全局信息，并且只能應(yīng)對(duì)所有傳感器的觀測(cè)矩陣都相同的場(chǎng)景，這是由其使用的低通濾波器的性質(zhì)所決定的。

2007年，R.Olfati-Saber等對(duì)一致性方法進(jìn)行了全面而詳細(xì)的總結(jié)，提供了網(wǎng)絡(luò)一致性問(wèn)題的理論框架和邏輯梳理，為后續(xù)多傳感器分布式融合估計(jì)、協(xié)同控制和多智能體系統(tǒng)的發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。同年，R.Olfati-Saber等使用高通一致性濾波器對(duì)其在文獻(xiàn)[36]中提出的分布式濾波方法進(jìn)行了改進(jìn)，使其能適用于不同的傳感器觀測(cè)矩陣條件。此外，文獻(xiàn)[38]還基于對(duì)傳感器狀態(tài)估計(jì)結(jié)果的一致性運(yùn)算提出了兩種分布式算法，被稱為CE(Consen-sus on Estimates)算法。同為CE算法的還有F.S.Cattivelli等提出的濾波策略。2009年，R.Olfati-Saber從最優(yōu)估計(jì)角度出發(fā)，證明了以CE思想為基礎(chǔ)的算法是一種次優(yōu)估計(jì)。

對(duì)于分散式架構(gòu)的最優(yōu)估計(jì)，早在1988年，H.R.Hashemipour等就基于卡爾曼濾波的信息形式提出了一種計(jì)算方法，但由于需要所有節(jié)點(diǎn)的信息，無(wú)法分布式工作。2008年，M.Kamgarpour等基于卡爾曼濾波的信息形式以及文獻(xiàn)[31-32]中的一致性算法，提出了一種分布式一致性卡爾曼濾波器，并證明了其收斂性。這種方法基于卡爾曼濾波的信息形式為

(19)

利用一致性算法，在傳感器網(wǎng)絡(luò)各個(gè)節(jié)點(diǎn)計(jì)算信息矩陣增量和信息向量增量的平均值

(20)

再用平均值乘以傳感器總數(shù)，就可以得到信息矩陣與信息向量的更新值，進(jìn)而計(jì)算狀態(tài)估計(jì)結(jié)果。由于從集中式卡爾曼濾波的信息形式推導(dǎo)得到，這種濾波器理論上具有與集中式濾波相同的估計(jì)精度，是一種最優(yōu)估計(jì)，但需要每個(gè)傳感器擁有傳感器總數(shù)這一全局信息，與算法類似。在G.Battistelli等的研究中被稱為CM(Consensus on Mesurements)算法。

2011年，G.Battistelli等提出了一種被稱為信息一致性(Consensus on Information)的融合算法，該方法的出發(fā)點(diǎn)是利用KL散度量化兩個(gè)概率密度函數(shù)之間的距離，即

(21)

對(duì)于個(gè)傳感器的后驗(yàn)概率密度，再通過(guò)求解一個(gè)使平均KL散度最低的概率密度函數(shù)，得到融合后的概率密度

(22)

其計(jì)算結(jié)果是個(gè)概率密度的幾何平均值，對(duì)兩個(gè)概率密度函數(shù)而言，該結(jié)果正是文獻(xiàn)[17]中定義的廣義協(xié)方差交叉融合(Generalized Covariance Intersection，GCI)，以及文獻(xiàn)[47]中討論的廣義Chernoff信息融合

(23)

特別是在高斯概率密度時(shí)，式(22)的優(yōu)化結(jié)果具有如下形式

(24)

表2總結(jié)了本文介紹的自2004年以來(lái)的幾種經(jīng)典的多傳感器分布式融合方法。此外，近年來(lái)還有很多研究著力于解決分布式狀態(tài)估計(jì)中的其他問(wèn)題，例如非線性、容錯(cuò)、異質(zhì)傳感器、數(shù)據(jù)不一致、信息沖突等問(wèn)題，本文不詳細(xì)解讀。

表2 幾種基于一致性的多傳感器分布式融合方法

4 結(jié)論

本文按照由集中式到分散式再到分布式狀態(tài)估計(jì)的發(fā)展順序，簡(jiǎn)要梳理了多傳感器融合狀態(tài)估計(jì)的發(fā)展。從直觀的集中式濾波開始，以數(shù)據(jù)相關(guān)性問(wèn)題為背景，調(diào)研了分散式、分布式濾波架構(gòu)的發(fā)展歷程，其中著重討論了數(shù)據(jù)相關(guān)性在傳感器數(shù)據(jù)融合中的重要性以及相應(yīng)的已知相關(guān)性、未知相關(guān)性時(shí)的傳感器數(shù)據(jù)融合方法(保守估計(jì))。早期的研究需要融合中心或節(jié)點(diǎn)間的廣播式全局通信能力，屬于集中式或分散式濾波架構(gòu)，如聯(lián)邦濾波器等。隨著2004年一致性問(wèn)題的解決，大量經(jīng)典、有效的分布式狀態(tài)估計(jì)方法被提出，這些方法具備集中式所沒(méi)有的魯棒性、抗干擾能力、可靠性以及可擴(kuò)展性，并且消耗更低的計(jì)算和通信資源。最后，本文介紹了一致性算法和一些經(jīng)典的分布式方法，并在3.2節(jié)的末尾指出了信息一致性方法分布式地實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)向量融合的保守估計(jì)。對(duì)集中式、分散式和分布式狀態(tài)估計(jì)方法的特點(diǎn)及其之間的聯(lián)系總結(jié)如下：

1)集中式濾波架構(gòu)：并行濾波、順序?yàn)V波、數(shù)據(jù)壓縮濾波。

以上三種集中式濾波方法也被稱為觀測(cè)融合，需要中心節(jié)點(diǎn)且需要所有傳感器的觀測(cè)值，三種方法在線性高斯系統(tǒng)且傳感器同構(gòu)時(shí)等價(jià)。

2)分散式濾波架構(gòu)：狀態(tài)向量融合、聯(lián)邦濾波、信息融合。

以上三種基于分散式濾波架構(gòu)的方法都能利用各個(gè)傳感器自身的計(jì)算能力進(jìn)行本地狀態(tài)估計(jì)，也需要中心節(jié)點(diǎn)利用各個(gè)傳感器的狀態(tài)估計(jì)結(jié)果和協(xié)方差矩陣進(jìn)行融合，與集中式濾波相比，分散式濾波將計(jì)算量分配到各個(gè)傳感器節(jié)點(diǎn)中，降低了中心節(jié)點(diǎn)的計(jì)算負(fù)擔(dān)。聯(lián)邦濾波中，若所有子濾波器的狀態(tài)均為公共狀態(tài)，則狀態(tài)融合精度與集中濾波器精度相同。可以認(rèn)為，聯(lián)邦濾波通過(guò)將狀態(tài)拆分為公共狀態(tài)和私有狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)向量融合方法在各個(gè)傳感器狀態(tài)估計(jì)不相關(guān)條件下異質(zhì)傳感器網(wǎng)絡(luò)的融合狀態(tài)估計(jì)。

3)基于一致性的分布式濾波架構(gòu)：估計(jì)一致性、觀測(cè)一致性、信息一致性。

分布式濾波架構(gòu)基于一致性算法，在不依賴中心節(jié)點(diǎn)的情況下可以實(shí)現(xiàn)連通傳感器網(wǎng)絡(luò)的分布式狀態(tài)估計(jì)，與集中式和分散式架構(gòu)相比，分布式架構(gòu)降低了計(jì)算量，并且提高了系統(tǒng)的魯棒性，便于故障診斷。本文指出，信息一致性方法實(shí)質(zhì)上是分布式地實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)向量融合的保守估計(jì)。