一種預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)振動帶隙特性分析

郭振坤， 溫佳琦， 張軍， 董挺

(1.北京建筑大學(xué) 機(jī)電與車輛工程學(xué)院， 北京 102616； 2.北京理工大學(xué) 機(jī)械與車輛學(xué)院， 北京 100081)

工程減振問題在現(xiàn)代工程研究中十分常見[1]，為滿足工業(yè)和運(yùn)輸業(yè)高速發(fā)展的需求，各種機(jī)械裝置、精密儀器受到振動的影響愈加突出[2]，同時(shí)為加快國防現(xiàn)代化的腳步，要求飛機(jī)、坦克、艦船等能夠在最為惡劣的環(huán)境中工作[3]，其工作性能都與減振技術(shù)密切相關(guān)。因此，關(guān)于如何減振的研究一直在持續(xù)，最行之有效的方法是究其原因?qū)ΠY下藥，學(xué)者們做出了很多有價(jià)值的研究[4-5]。

周期結(jié)構(gòu)因?yàn)槠洫?dú)特的減振優(yōu)勢，在許多工程領(lǐng)域越來越受到關(guān)注，例如聲子晶體和光子晶體。Kushwaha等[6]利用平面波展開法研究了聲子晶體帶隙，即可以在某些頻率范圍內(nèi)，阻止彈性波或聲波的傳播。這些阻止波傳播的頻率范圍稱為頻率禁帶，而那些允許波傳播的頻率范圍稱為頻率通帶；當(dāng)振動或波的頻率處于周期結(jié)構(gòu)的頻率帶隙內(nèi)時(shí)，將無法被傳遞。這樣的禁帶特性吸引了國內(nèi)外眾多學(xué)者進(jìn)行研究，溫激鴻等[7]利用周期彈簧振子結(jié)構(gòu)簡化了聲子晶體，研究了聲子晶體的振動特性，此后眾多學(xué)者在此基礎(chǔ)上研究了多種結(jié)構(gòu)的振動帶隙并將其應(yīng)用于振動抑制和減振降噪等工程領(lǐng)域。

對于周期性聲子晶體結(jié)構(gòu)，通?？梢酝ㄟ^改變部件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、剛度、密度或在某些局部增加共振器來優(yōu)化振動和彈性波的傳播特性。Yu等[8]利用傳遞矩陣法(TMM)研究了局域共振超材料梁的彎曲波衰減特性，其中局域振子是由軟橡膠環(huán)和銅環(huán)設(shè)計(jì)而成。在此基礎(chǔ)上，為提高工程適用能力和減振效果，針對如何根據(jù)實(shí)際工程環(huán)境靈活調(diào)整帶隙位置和寬度，學(xué)者們完成了大量的設(shè)計(jì)和研究工作[9-11]。

周期剛架結(jié)構(gòu)作為在工程建筑、機(jī)械中常見的結(jié)構(gòu)也受到了廣泛的關(guān)注。吳志靜等[12]采用譜元法研究了周期桁架結(jié)構(gòu)的振動帶隙特性，這種方法具有在中高頻區(qū)域計(jì)算誤差小、劃分單元少且計(jì)算效率高等優(yōu)點(diǎn)?；谠摲椒?，Zuo等[13]通過進(jìn)一步改變結(jié)構(gòu)構(gòu)型和幾何參數(shù)等對周期剛架結(jié)構(gòu)進(jìn)行設(shè)計(jì)優(yōu)化，并討論了影響帶隙特性的因素。一些學(xué)者還提出了較為新穎的超材料結(jié)構(gòu)。蔡昌琦等[14]利用準(zhǔn)零剛度理論設(shè)計(jì)出一種具有低頻帶隙區(qū)間嵌入式準(zhǔn)零剛度振子的新型超材料梁。Muhammad等[15]提出了一種具有超寬帶隙的周期性和非周期性3D復(fù)合超結(jié)構(gòu)，采用聚合物外殼的設(shè)計(jì)和球形/圓柱形鋼塊的嵌入，提高共振的動態(tài)特性和機(jī)械性能，使其擁有非常明顯的低頻帶隙。進(jìn)一步，一些研究者發(fā)現(xiàn)還可以通過結(jié)構(gòu)元件的特定預(yù)變形來控制周期結(jié)構(gòu)的振動和波傳播特性。Mellmann等[16]提出一種預(yù)變形網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，計(jì)算了波在這種網(wǎng)格結(jié)構(gòu)中的傳播特性，發(fā)現(xiàn)可以通過結(jié)構(gòu)預(yù)變形靈活地調(diào)控波帶隙的位置和寬度。受此啟發(fā)，本文設(shè)計(jì)了一種預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)，通過內(nèi)部構(gòu)件的預(yù)變形實(shí)現(xiàn)剛度的調(diào)節(jié)，進(jìn)而控制波帶隙特性。此外，利用有限元方法進(jìn)行了模態(tài)分析和振動透射率的計(jì)算，驗(yàn)證譜元法的正確性。

1 動力學(xué)模型

圖1(a)所示為左端固支的預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)包含20個(gè)單胞，每個(gè)單胞由11根梁/桿結(jié)構(gòu)組成，由圖1(b)看出，該單胞結(jié)構(gòu)是通過將X型結(jié)構(gòu)進(jìn)行折斷所形成，變形角用α表示。

圖1 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)示意Fig.1 Schematic diagram of the pre-deformed periodic rigid frame structure

1.1 桿單元求解

軸向振動桿件的偏微分運(yùn)動方程表示為：

(1)

式中：u(x,t)為軸向位移；E和ρ分別是材料彈性模量和密度；A是桿件橫截面積。式(1)的解可以假設(shè)成：

(2)

式中：Un(x,ωn)為微元的軸向位移；ωn為桿的圓頻率。

將式(2)代入(1)中可以得到對于每個(gè)離散的頻率ωn的特征值問題：

EAU″+ω2ρAU=0

(3)

假設(shè)其通解為：

U(x)=be-ik(ω)x

(4)

將式(4)代入式(3)中得到色散關(guān)系：

(5)

即可得到2個(gè)實(shí)根k1和k2：

k1=-k2=kL

(6)

將式(6)代回式(4)可得：

U(x)=b1e-ikLx+b2eikLx

(7)

則對于長度為L的桿可以用矩陣形式來表示：

U(x)=e(x,ω)b

(8)

用U1和U2表示桿件兩端的節(jié)點(diǎn)位移，則有U1=U(0)和U2=U(L)，可以記為：

(9)

(10)

令dR=HR(ω)b,則有：

(11)

用N1和N2表示桿件兩端節(jié)點(diǎn)力，桿的節(jié)點(diǎn)力函數(shù)為N(x)。

整理可得:

(12)

式中：NR1(x,ω)=csc(kLL)sin(kL(L-x));NR2(x,ω)=csc(kLL)sin(kLx)。

(13)

軸向力分量與U(x)有關(guān)，即：

N(x)=EAU′(x)

(14)

將節(jié)點(diǎn)位移代入式(4)，可得：

U(x)=NR1U1+NR2U2

(15)

類似地，軸向力也可以寫成譜表達(dá)式，表示為：

(16)

節(jié)點(diǎn)軸向力和由材料強(qiáng)度定義的內(nèi)部力之間的平衡條件有：

(17)

則有：

SR(ω)dR=fc(ω)

(18)

根據(jù)軸向力與位移的關(guān)系，可以得到頻域上位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系：

(19)

式中SR(ω)為桿單元的剛度矩陣，可以表示為：

(20)

(21)

整理可得:

(22)

1.2 梁單元求解

類似地，可以推導(dǎo)出梁單元位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系。Timoshenko梁的橫向振動需要考慮轉(zhuǎn)動慣量和剪切變形，用譜表達(dá)式對橫向位移w(x,t)和轉(zhuǎn)角θ(x,t)分別進(jìn)行表示：

(23)

(24)

梁的橫向振動偏微分方程為：

(25)

(26)

式中：κ的取值與截面形狀有關(guān)；G是剪切模量；A是橫截面積；I是截面慣性矩。

將式(23)和(24)代入偏微分方程(25)、(26)中得:

(27)

(28)

式(27)、(28)的通解分別假設(shè)為：W(x)=ae-ik(ω)x和Θ(x)=βeik(ω)x，可得:

(29)

則有：

(30)

求解方程(30)可以得到4個(gè)根：

k1=-k2=

(31)

k2=-k4=

(32)

代入式(29)中可得:

(33)

(34)

由此，式(27)和(28)的通解可得:

W(x,ω)=a1e-iktx+a2eiktx+a3e-ikex+a4eikex=

ew(x,ω)a

(35)

Θ(x,ω)=β1a1e-iktx+β2a2eiktx+β3a3e-ikex+

β4a4eikex=eθ(x,ω)a

(36)

其中：

(37)

(38)

eθ(x,ω)=ew(x,ω)B(ω)

(39)

梁的兩端節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角可以表示為：

(40)

將式(35)和(36)代入式(40)可得:

(41)

式中：

(42)

(43)

將式(41)代入到式(35)和(36)中可得:

(44)

(45)

梁的節(jié)點(diǎn)力為：

(46)

將節(jié)點(diǎn)力表示為譜表達(dá)形式：

(47)

(48)

es(x,ω)=[-ktrte-iktx-ktrteiktx-keree-ikex-kereeikex]。

則有端點(diǎn)位移與力的關(guān)系為：

(49)

即：

SB(ω)dB=f

(50)

式中SB(ω)為Timoshenko梁的單元剛度矩陣：

(51)

其中：

最終推導(dǎo)出總的力與位移的關(guān)系為：

FB=SB(ω)UB

(52)

式中：FB和UB為節(jié)點(diǎn)力矩陣和節(jié)點(diǎn)位移矩陣；SB(ω)為剛度矩陣。

1.3 整體結(jié)構(gòu)組裝

利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣，將上述梁、桿結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移從局部坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為整體坐標(biāo)系，并采用有限元組裝和矩陣組合的方法，可得到每一個(gè)子結(jié)構(gòu)在整體坐標(biāo)系下的動力學(xué)剛度矩陣：

(53)

(54)

式中n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11。進(jìn)而可以得到圖1(a)所示周期剛架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移與節(jié)點(diǎn)力的關(guān)系：

F=S(ω)U

(55)

式中：S(ω)為3(7m+2)×3(7m+2)的動力學(xué)剛度矩陣；m是單胞周期數(shù)。對式(55)進(jìn)行求解，即可完成結(jié)構(gòu)動力學(xué)計(jì)算。

2 數(shù)值模擬

為分析預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)振動帶隙特性，取20個(gè)單胞組成整體結(jié)構(gòu)，一端施加固定約束，每個(gè)單胞均由實(shí)心圓截面桿組成，其中橫桿和豎桿長度分別用l1和l2來表示，且l1=l2=1 m，圓截面半徑r=0.04 m，變形角α=π/12。材料參數(shù)為：ρ=7 800 kg/m3，E=210 GPa。通過求解式(10)特征值問題，可以得到結(jié)構(gòu)的固有頻率。

為驗(yàn)證SEM建模和編程求解的正確性，采用有限元商業(yè)軟件ANSYS進(jìn)行仿真計(jì)算。此外，還計(jì)算了無預(yù)變形的X型周期剛架結(jié)構(gòu)(如圖1(b)虛線所示，即α=0)固有頻率。為保證合理性，基于質(zhì)量守恒定律，在確定2種結(jié)構(gòu)單胞跨度相等的前提下，調(diào)整X型結(jié)構(gòu)桿件的圓截面半徑，令其等于0.040 7 m。

表1 2種不同剛架結(jié)構(gòu)固有頻率

圖2 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)前四階振型Fig.2 The first fourth vibration modes of the pre-deformed periodic rigid frame structure

圖4表示的是周期剛架結(jié)構(gòu)的頻域分析，在固定端施加豎直向下、大小為1 N的簡諧力，通過求解式(55)，取自由端點(diǎn)響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值，可以得到振動透射率?？梢园l(fā)現(xiàn)該結(jié)構(gòu)的頻響曲線具有多處低谷，即振動帶隙，F(xiàn)EM結(jié)果較好地驗(yàn)證了SEM計(jì)算得到的振動帶隙結(jié)果的正確性。

圖3 2種不同單胞結(jié)構(gòu)Fig.3 Two different unit cells

圖4 2種不同周期剛架結(jié)構(gòu)的頻響透射率曲線Fig.4 Frequency response transmittance of two different rigid frame structures

此外，通過比較可知，預(yù)變形剛架結(jié)構(gòu)第1個(gè)振動帶隙位置比X型剛架結(jié)構(gòu)出現(xiàn)在更低頻的位置，前者的頻率范圍大致是210～258 Hz，而后者的頻率范圍是270～338 Hz。并且預(yù)變形剛架結(jié)構(gòu)在1 576～1 753 Hz頻率范圍內(nèi)有一個(gè)更寬的振動帶隙。因此，可以得出結(jié)論，預(yù)變形周期結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)更加低頻的振動帶隙。

圖4中通過透射率，即自由端點(diǎn)位置響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值來判斷結(jié)構(gòu)的振動帶隙范圍，當(dāng)自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)較小時(shí)，頻響曲線出現(xiàn)低谷，且響應(yīng)越小對應(yīng)的透射率也就越小，這就會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)恰好不處于帶隙區(qū)間范圍內(nèi)而選擇的自由端點(diǎn)因受迫振動產(chǎn)生的響應(yīng)很小的情況，這種情況可以通過觀察帶隙區(qū)間外和區(qū)間內(nèi)對應(yīng)的模態(tài)進(jìn)行比較來辨別。比如從圖4中發(fā)現(xiàn)預(yù)變形結(jié)構(gòu)的第1個(gè)振動帶隙區(qū)間為210～258 Hz，所以選取了120 Hz和222 Hz 2個(gè)頻率，如圖5(a)、(b)分別為對應(yīng)頻率的模態(tài)，可以看出120 Hz頻率下自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)較大，且這種模態(tài)不屬于帶隙區(qū)間內(nèi)，因?yàn)闆]有抑制振動波在結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播；相對而言222 Hz頻率下自由端點(diǎn)的位置響應(yīng)很小，幾乎沒有，對應(yīng)的模態(tài)表明振動受到了抑制，后面幾個(gè)周期的單胞幾乎沒有受到影響，符合了結(jié)構(gòu)的帶隙特性，可以進(jìn)一步證明帶隙的存在以及結(jié)果正確性。

圖5 預(yù)變形周期剛架結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)Fig.5 Vibration modes of the pre-deformed rigid frame structures

3 結(jié)論

1)分析確定了結(jié)構(gòu)的振動帶隙，預(yù)變形結(jié)構(gòu)的剛度比X型結(jié)構(gòu)的剛度更低，證明了預(yù)變形結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)更低頻的振動帶隙的同時(shí)，在高頻區(qū)域產(chǎn)生更寬頻的帶隙；

2)在仿真計(jì)算中取自由端點(diǎn)響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值，得到振動透射率，通過FEM驗(yàn)證了上述理論結(jié)果，并定性分析了預(yù)變形結(jié)構(gòu)固有頻率更低的原因；

3)通過自由端點(diǎn)位置響應(yīng)與固定端位置響應(yīng)的比值來判斷結(jié)構(gòu)的振動帶隙范圍，會出現(xiàn)結(jié)構(gòu)恰好不處于帶隙區(qū)間范圍內(nèi)而選擇的自由端點(diǎn)因受迫振動產(chǎn)生的響應(yīng)很小的情況，這種情況可以通過觀察模態(tài)進(jìn)行辨別，禁帶范圍內(nèi)振動波在經(jīng)過幾個(gè)周期內(nèi)就會得到充分抑制，可以進(jìn)一步證明帶隙的存在以及結(jié)果正確性；

4)在此基礎(chǔ)上，可以在工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)過程中考慮調(diào)節(jié)變形角α的大小，來改變結(jié)構(gòu)的剛度，以獲得更符合條件的振動帶隙特性，但要兼顧結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的問題。