MSK信號低運(yùn)算量相干多符號檢測算法

黃 誠 謝錫海 張雯雯

(西安郵電大學(xué)通信與信息工程學(xué)院 陜西 西安 710121)

0 引 言

MSK信號具有包絡(luò)恒定、相位連續(xù)和帶寬占用小的特點(diǎn)[1]，被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代數(shù)字通信領(lǐng)域[2-3]，如被應(yīng)用于各種形式的對潛通信和海上導(dǎo)航系統(tǒng)的長波通信[4]。

隨著MSK的發(fā)展與應(yīng)用，提出性能優(yōu)良的信號檢測方法成為研究重點(diǎn)。常用的一些MSK信號檢測或解調(diào)方法采用如相干解調(diào)[5-6]、延遲差分解調(diào)[7]和離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)解調(diào)[8]等方法解調(diào)門限較高。文獻(xiàn)[9]最早提出多符號檢測算法，該算法充分利用連續(xù)相位信號前后碼元相位關(guān)聯(lián)性，能有效提高信號的檢測性能。但由于多符號檢測算法需要將觀測間隔內(nèi)所有可能的本地信號與接收信號進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，隨著觀測長度的增加，本地信號的組合呈指數(shù)方式增長，導(dǎo)致相關(guān)運(yùn)算次數(shù)增多[3]，而多符號檢測的運(yùn)算量取決于相關(guān)運(yùn)算的次數(shù)。

為了降低多符號檢測算法的運(yùn)算量，即減少相關(guān)運(yùn)算次數(shù)，近些年來國內(nèi)外專家進(jìn)行了大量研究。文獻(xiàn)[10-11]研究了基于接收信號前后碼元相位的關(guān)聯(lián)性來限定本地碼組的數(shù)量，雖然降低了運(yùn)算量卻損失部分性能。文獻(xiàn)[12]提出一種在觀測長度內(nèi)進(jìn)行分段相關(guān)然后求和的多符號檢測算法，降低了運(yùn)算復(fù)雜度并且容易硬件實(shí)現(xiàn)，卻犧牲了大約1 dB誤碼率性能。文獻(xiàn)[3]提出基于判決反饋的非相干多符號檢測算法，有效減少本地相關(guān)波形的數(shù)目并且不損失檢測性能，但由于反饋模塊的存在導(dǎo)致多符號檢測速率下降。文獻(xiàn)[13]提出一種非相干多符號塊檢測，一次對多個碼元判決輸出，提高了檢測速率，但若誤判其中一個碼元，其相鄰碼元也可能被誤判。

綜上，現(xiàn)有的常用MSK信號檢測或解調(diào)方法如相干解調(diào)、延遲差分解調(diào)以及DFT解調(diào)等方法解調(diào)門限較高，多符號檢測算法能有效降低誤碼率，但其運(yùn)算量較大。已有的多符號檢測改進(jìn)算法為了降低運(yùn)算量，大多采取損失較大誤碼性能或提升整個檢測系統(tǒng)的復(fù)雜度。針對MSK信號現(xiàn)有解調(diào)方法和多符號檢測算法及其改進(jìn)方法存在的問題，首先簡要介紹MSK信號及其相干多符號檢測算法，然后詳細(xì)介紹利用本地碼組與接收信號的最大相關(guān)值和最小相關(guān)值之間的對應(yīng)關(guān)系，用一半數(shù)量的本地信號進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的改進(jìn)算法，該改進(jìn)算法與相干多符號檢測算法相比在不同觀測長度下運(yùn)算量降低了一半。

1 MSK信號數(shù)學(xué)模型

MSK信號是一種相位連續(xù)、包絡(luò)恒定的二進(jìn)制信號，其第k個碼元信號可表示如下：

(1)

式中：A為振幅；ωc=2πfc為載波角頻率；ak=±1(當(dāng)輸入碼元為“1”時，ak=1；當(dāng)輸入碼元為“0”時，ak=-1)；T為碼元寬度；θk為第k個碼元的初始相位[14]。MSK信號θk的選取應(yīng)保證波形相位在碼元轉(zhuǎn)換時刻是連續(xù)的，也就是說MSK信號的前后碼元相位存在關(guān)聯(lián)性[15]。

MSK信號的成形波形為最簡單的矩形脈沖，因而相位路徑呈線性。將式(1)改寫為：

s(t)=Acos[ωct+φk(t)]

(2)

圖1 φk(t)相位路徑

2 MSK信號相干多符號檢測算法及改進(jìn)

多符號檢測算法利用最大似然原理通過觀測接收信號的多個符號，對其中一個符號進(jìn)行判決輸出。由于多符號檢測充分考慮了接收信號前后相位的關(guān)聯(lián)性，與逐符號檢測相比可獲得更優(yōu)的檢測性能，保證了系統(tǒng)傳輸?shù)目煽啃訹14]。多符號檢測分為非相干多符號檢測和相干多符號檢測。對于非相干多符號檢測，雖然不需要進(jìn)行載波同步，但誤碼率性能較相干多符號檢測算法要差。

2.1 相干多符號檢測算法

相干多符號檢測算法是在接收信號初始相位已知的情況下，通過觀測接收信號的多個符號，完成第一個符號的檢測。假設(shè)觀測的接收信號r(t)為：

r(t)=s(t,a1,Ai)+n(t) 0≤t

(3)

式中：s(t,a1,Ai)是與數(shù)據(jù)符號{a1，Ai}相對應(yīng)的MSK發(fā)射信號；a1為待檢測的碼元符號，取值為±1；Ai={a2,a3,…,aN}為a1之后N-1個碼元的數(shù)據(jù)序列；N為觀測長度，取值一般為3、5或7，其值越大檢測性能越優(yōu)，但需r(t)與所有可能的2N個本地信號s(t,a1,Ak)(k=1,2,…,2N-1)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算；n(t)為觀測間隔內(nèi)的高斯白噪聲。

相干多符號檢測算法本質(zhì)上依據(jù)最大似然判決準(zhǔn)則，在功率譜密度為N0的AWGN信道下，接收信號r(t)與本地MSK信號s(t,a1,Ak)的離散似然比函數(shù)為：

(4)

在低信噪比下，可以將最佳接收機(jī)簡化為如下形式：

(5)

在高信噪比下，可以將最佳接收機(jī)簡化為如下形式：

(6)

在高信噪比情況下，由于exp( )函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)xa1k取最大值xmax時，la1亦取最大值。因此，接收機(jī)可將xmax對應(yīng)的a1作為判決值輸出，以此作為次佳相干多符號檢測系統(tǒng)。對于簡化后的相干多符號檢測算法，不論在低信噪比還是在高信噪比情況下最終都需求得接收信號r(t)與所有2N個本地信號s(t,a1,Ak)的相關(guān)值xa1k，然后判決輸出最大相關(guān)值對應(yīng)碼組的第一個符號，運(yùn)算量較大，因此下面提出一種低運(yùn)算量相干多符號檢測算法。

2.2 改進(jìn)相干多符號檢測算法

觀測長度為N的MSK信號相干多符號檢測算法，需要r(t)與2N個s(t,a1,Ak)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，以獲得最大相關(guān)值然后判決輸出。當(dāng)N取3、5或7時，s(t,a1,Ak)的個數(shù)分別為8、32或128，即需要分別進(jìn)行8次、32次或128次相關(guān)運(yùn)算，而一次相關(guān)運(yùn)算需要做N×Ts次乘法運(yùn)算和N×Ts-1次加法運(yùn)算。

(a) -1,-1,-1 (b) -1,-1,+1

(c) -1,+1,-1 (d) -1,+1,+1

(e) +1,-1,-1 (f) +1,-1,+1

(g) +1,+1,-1 (h) +1,+1,+1圖2 三符號檢測{a1,Ak}及其相位路徑

由圖2可得，初始相位一定時，s(t,a1,Ak)的相位路徑(a)、(b)、(c)和(d)分別與(e)、(f)、(g)和(h)相反，當(dāng)它們與r(t)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算后，存在最大相關(guān)值xmax和最小相關(guān)值xmin，并且xmax與xmin是在相位相反的兩個碼組中取值。即Am=An時，若{+1,Am}對應(yīng)最大相關(guān)值xmax,則有{-1,An}對應(yīng)最小相關(guān)值xmin。也就是說，由xmin得到碼組{-1,An}，然后第一個碼元取反就可得到xmax對應(yīng)的碼組{+1,Am}。

按待判決位置碼元的不同將碼組分為{+1,Ak}和{-1,Ak}(k=1,2,…,2N-1)兩類，若最大相關(guān)值在屬于{+1,Ak}的本地信號中獲得，那么最小相關(guān)值會出現(xiàn)在{-1,Ak}對應(yīng)的本地信號。即最大、最小相關(guān)值不會同時出現(xiàn)在{+1,Ak}或{-1,Ak}所對應(yīng)的本地信號中，并且最大相關(guān)值xmax是所有{+1,Ak}對應(yīng)的相關(guān)值中最大的，最小相關(guān)值xmin是所有{-1,Ak}對應(yīng)的相關(guān)值中最小的，xmin的絕對值是所有{-1,Ak}對應(yīng)的相關(guān)值中最大的。

表1 相干多符號檢測算法與改進(jìn)算法相關(guān)運(yùn)算次數(shù)比較

可以發(fā)現(xiàn)在不同的觀測長度下，改進(jìn)算法的相關(guān)運(yùn)算次數(shù)相較于原算法分別減少了一半，即改進(jìn)算法乘法和加法運(yùn)算次數(shù)分別減半，如表2所示。

表2 相干多符號檢測算法與改進(jìn)算法乘法和加法運(yùn)算次數(shù)比較

相干多符號檢測算法的運(yùn)算量取決于相關(guān)運(yùn)算次數(shù)即乘法與加法的運(yùn)算次數(shù)，由表1和表2可知，運(yùn)算量降低了一半。

取觀測長度分別為3、5和7，選取3 dB、5 dB和9 dB信噪比條件下，m作為變量所產(chǎn)生的誤碼率曲線如圖3所示。

(a) 改進(jìn)三符號檢測

(b) 改進(jìn)五符號檢測

(c) 改進(jìn)七符號檢測圖3 不同比例系數(shù)下改進(jìn)多符號檢測誤碼曲線

由圖3可知，當(dāng)m=0時，即不設(shè)置閾值，此時誤碼率較高，當(dāng)m=1時，即以rss作為閾值，此時誤碼率同樣較高，當(dāng)0

Ber=(am-b)2+c

(7)

式中：Ber為誤碼率；m為比例系數(shù)；a、b的取值與觀測長度有關(guān)，根據(jù)圖3中的最小值點(diǎn)附近的坐標(biāo)(m，BER) (0.5≤m≤1)，利用MATLAB 2018a軟件，采用最小二乘算法進(jìn)行二次曲線擬合近似得到a=0.143 5×N+0.875 4，b=0.13×N+0.492 5，其中N為觀測長度，c的取值與信噪比成反比。為求式(7)最小值，使其對m求導(dǎo)等于零，得到：

m=b/a

(8)

利用式(8)便可求出不同觀測長度下使誤碼率達(dá)到最小的閾值K=m×rss。

綜上所述，得到改進(jìn)多符號檢測算法的檢測步驟如下：

步驟1將觀測長度為N的2N個本地信號分為s(t,+1,Ak)與s(t,-1,Ak)兩類。如N=3時，s(t,-1,Ak)對應(yīng)的碼組為：-1-1-1、-1-1+1、-1+1-1、-1+1+1，s(t,+1,Ak)對應(yīng)的碼組為：+1-1-1、+1-1+1、+1+1-1、+1+1+1。

同理，對于相干5和7符號檢測也可遵循上述步驟，以達(dá)到運(yùn)算量減少一半的目的。以信噪比為5 dB、N取3的3符號檢測進(jìn)行說明，由于r(t)疊加了隨機(jī)噪聲，其與所有可能s(t,-1,Ak)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算后，所得相關(guān)值是隨機(jī)數(shù)且與具體程序參數(shù)有關(guān)，但總存在最大值和最小值。相關(guān)結(jié)果及判決結(jié)果如表3所示。

表3 部分相關(guān)值及判決結(jié)果

3 仿真分析

在碼元數(shù)目為100 000、單位碼元采樣點(diǎn)數(shù)為8、載波初始相位已知的條件下利用MATLAB進(jìn)行誤碼性能仿真，改進(jìn)3符號檢測采用0.7倍的本地信號自相關(guān)值作為閾值，改進(jìn)5和改進(jìn)7符號采用0.8倍的本地信號自相關(guān)值作為閾值。仿真主要包括不同觀測長度下，改進(jìn)相干多符號檢測算法與相干多符號檢測算法的誤碼性能比較，以及不同觀測長度下改進(jìn)多符號檢測算法與現(xiàn)有MSK信號檢測算法的誤碼性能比較。

由圖4可得，不論是相干多符號檢測算法還是改進(jìn)算法，觀測長度越長檢測性能越優(yōu)，且隨著觀測長度的增加，誤碼率曲線越來越接近。在低信噪比條件下，誤碼率為10-2時，改進(jìn)算法較經(jīng)典相干多符號檢測算法在3符號、5符號和7符號分別有0.25 dB、0.23 dB和0.19 dB的誤碼性能提升，這是由于多符號檢測僅為了得到最大相關(guān)值，低信噪比情況下，噪聲對信號的影響較大，最大相關(guān)值的選擇易出現(xiàn)差錯，導(dǎo)致誤判。而改進(jìn)算法是在最大相關(guān)值與最小相關(guān)值之間進(jìn)行比較，不易發(fā)生誤判。當(dāng)信噪比持續(xù)增大，在誤碼率為10-4時，改進(jìn)算法較相干多符號算法在3符號、5符號和7符號分別有0.1 dB、0.06 dB和0.02 dB的誤碼性能損失，但總的來說改進(jìn)算法運(yùn)算量較原算法下降了一半。

由圖4和圖5可得，雖然改進(jìn)算法與相干多符號檢測算法在誤碼率為10-4時有0.1 dB的性能損失，但對于現(xiàn)有的常用MSK信號檢測算法，在誤碼率為10-4時改進(jìn)相干多符號檢測算法與延遲差分檢測相比至少有2.6 dB的誤碼性能提升，與DFT解調(diào)相比，至少有2 dB的誤碼性能提升，與相干解調(diào)相比，至少有1.5 dB的誤碼性能提升，可有效降低接收機(jī)解調(diào)門限。

圖4 多符號檢測算法與改進(jìn)算法誤碼率性能曲線

圖5 現(xiàn)有的常用MSK信號檢測算法與改進(jìn)多符號檢測算法誤碼率性能曲線

4 結(jié) 語

本文提出一種利用一半數(shù)量的本地信號與接收信號進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算的低運(yùn)算量改進(jìn)相干多符號檢測算法，該改進(jìn)算法與相干多符號檢測算法相比在不同觀測長度下運(yùn)算量分別減少了一半。仿真結(jié)果表明，雖然改進(jìn)算法在誤碼率為10-4時與多符號檢測相比有0.1 dB的性能損失，在10-2時與多符號檢測相比性能卻有至少0.19 dB的提升，并且與現(xiàn)有的常用MSK信號檢測算法相比在誤碼率為10-4時仍有至少1.5 dB的性能提升。