張喜豪，張金鵬, 沈 欣

(1. 中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009； 2. 航空制導武器航空科技重點實驗室，河南 洛陽 471009; 3.空裝駐洛陽地區(qū)第一軍事代表室，河南 洛陽 471009)

0 引 言

增加射程是空空導彈不斷追求的一個方向，在有限尺寸重量約束下，研究如何提高空空導彈的攻擊距離具有重要的現(xiàn)實意義。除了從氣動布局、 推力系統(tǒng)等方面進行設計外，增程彈道規(guī)劃及其制導律技術也是實現(xiàn)增程的關鍵技術之一。彈道規(guī)劃及其制導律技術應用的范圍比較廣泛，文獻[3]以無人機載空地導彈為對象，提出一種適應復合制導的空地導彈的彈道規(guī)劃方法，提高無人機載空地導彈的發(fā)射距離。文獻[4]以高超聲速飛行器為對象，提出一種非連續(xù)點火助推方案，通過設計增大助推段射程，提高飛行器的射程。文獻[5]針對反輻射導彈被動目標定位問題的關鍵技術研究，提出一種導彈可觀測性增強的彈道規(guī)劃方法，給出了典型非線性濾波器的選取分析。文獻[6]研究垂直發(fā)射的多導彈系統(tǒng)的高拋彈道協(xié)同制導律問題，采用“初+中+末制導”的復合制導方式實現(xiàn)高拋彈道，設計中制導段協(xié)同導引律，減少協(xié)同攻擊網(wǎng)絡中各導彈的命中時間差。從彈道規(guī)劃技術的研究可以看出，其應用與研究對象和研究目的密切相關。本文以空空導彈實現(xiàn)遠程精確打擊為目的，提出一種適用于遠程空空導彈的角度約束增程彈道規(guī)劃方案，重點研究中制導律，減少導彈飛行過程中的阻力，滿足中、 末制導交接班位置、 視線角和入射角等約束條件，達到改善彈道性能的效果。

1 角度約束增程彈道規(guī)劃方案以及制導律研究

遠程空空導彈飛行距離遠、 時間長，多采用復合制導系統(tǒng)，典型的復合制導系統(tǒng)由數(shù)據(jù)鏈指令修正+捷聯(lián)式慣性中制導和主動雷達末制導組成。數(shù)據(jù)鏈指令修正系統(tǒng)傳送載機測量的目標信息，捷聯(lián)式慣性系統(tǒng)測量導彈信息，由飛控計算機將這些信息進行綜合形成中制導控制指令，來控制導彈飛行，然后進入中、 末制導交接班，以便截獲目標。截獲目標后用主動雷達自尋的系統(tǒng)進行末制導，直至摧毀目標。復合制導系統(tǒng)可以充分發(fā)揮不同制導段中不同制導技術的優(yōu)勢，以滿足特定的制導需求。

本文在復合制導過程劃分的基礎上，將遠程空空導彈角度約束增程彈道規(guī)劃為初始段、 爬高段、 成型段和末制導段。角度約束增程彈道規(guī)劃示意圖如圖1所示。初始段： 導彈和載機安全分離段，這里不做研究。爬高段： 利用大氣密度隨高度增加而降低的特性，導彈爬升到一定的高度，避開低空稠密大氣而在阻力較小的稀薄大氣中飛行，減小飛行過程中空氣阻力。成型段： 將導彈制導到期望的中、 末交接班區(qū)域，并滿足期望的視線角和入射角約束。這里的入射角約束，是約束導引頭雷達天線照射目標所發(fā)射的入射波與地面的夾角，入射角近似取彈道傾角的絕對值。末制導段： 導彈在完成中、 末制導交接班后進入末制導。爬高段、 成型段和末制導段側向平面均采用最優(yōu)制導律，下面根據(jù)不同飛行段的需求，研究各階段縱向平面相關制導律實現(xiàn)問題。

圖1 角度約束增程彈道規(guī)劃示意圖

1.1 爬高增程制導律

爬高增程制導律采用過載指令控制，控制爬高段的過載和持續(xù)時間，實現(xiàn)中制導階段導彈的爬高。在文獻[12]中EET-2算法的基礎上進行改進，考慮導彈當前速度與爬升彈道傾角、 爬升高度的關系，引入速度項對爬高算法進行修正和約束控制，爬高增程制導律為

=(-)-+·cos

(1)

式中：為爬升最佳高度；為導彈當前高度；為導彈當前速度；為當前彈道傾角；為重力加速度。

由式(1)可得，爬升段的彈道傾角變化率為

(2)

式中：-為期望高度與當前高度的差值，當前高度離期望高度越遠，爬升越快；可以近似看作當前狀態(tài)高度的可變化量，將此項作為修正項。若當前爬升角較大，此時不宜拉大過載，修正項使得爬升速率降低。爬高彈道通常初始爬升率較大然后逐漸減小，在達到期望高度取到最小值，爬高過程平穩(wěn)。

1.2 成型角度約束制導律

在中制導結束時，導彈的位置、 速度以及航向等條件應滿足中、 末制導交接班的要求。如果一直處于爬高段，則很難達到交接班要求。此外，在打擊超低空目標時，地海雜波會導致雷達導引頭測量精度下降。研究表明，當導引頭入射波以布魯斯特角入射時，地海雜波的反射系數(shù)最小。布魯斯特角在山地、 平原、 海洋等情況下是不同的，一般在10°～25°之間。因此，角度約束具有重要意義，故研究成型角度約束制導律，把中、 末制導交接班點看作虛擬目標點，將導彈制導到虛擬目標點附近，達到期望的視線角和入射角。

導彈和交接班點相對關系如圖2所示。圖中，為導彈加速度；為導彈到虛擬目標點的距離；為導彈當前速度矢量和期望末速度矢量之間的角度；為當前速度矢量和導彈與虛擬目標視線之間的角度。

交接班點位置計算：

(3)

式中： (,,)為目標位置信息；,分別為導彈期望的末端傾角和偏角；為制導頭截獲距離。

圖2 導彈與交接班點相對關系

,分別為導彈與交接班點(虛擬目標)距離和相對速度，設相對加速度為控制量，則系統(tǒng)狀態(tài)方程為

(4)

初始條件為

(5)

在此制導律設計中，期望整個飛行過程能量最省，并且末端彈目相對速度矢量()與末端相對位置矢量()滿足指定要求。

采用最優(yōu)控制理論得到滿足末端邊界條件的制導律。用軟懲罰實現(xiàn)在制導律設計中終端邊界條件相對重要性的權衡。將此問題的軟懲罰定義為

(6)

式中：和為常數(shù)，為末端導彈位置與預測交接班點的偏差的權重，為末端相對速度矢量與所需的終端速度矢量之前的偏差的權重。

此最優(yōu)控制問題性能指標可以描述為

(7)

取此問題的哈密頓函數(shù)為

(8)

式中：和為伴隨向量。

由最優(yōu)控制理論可知，有協(xié)態(tài)方程：

(9)

且伴隨向量滿足：

(10)

(11)

將式(11)代入式(9)積分，聯(lián)立式(10)，可得

()(-)

(12)

由最優(yōu)控制理論的極值條件可知，這里考慮無約束，則有取最小值的必要條件：

(13)

將式(12) 代入式(13)，可得最優(yōu)開環(huán)控制：

(14)

由相對運動方程可知：

(15)

(16)

設零控脫靶量為

(17)

式中：=-，為剩余飛行時間。

將式(14)代入式(15)積分，與式(17)聯(lián)立，有

(18)

(19)

將式(18)求逆，有

(20)

(21)

將式(20)～(21)代入式(14)可得閉環(huán)最優(yōu)控制：

(22)

(23)

當取和趨于無窮大，注意到

(24)

則有

(25)

假設目標加速度為0，結合圖2所示的相對運動關系，則可以將式(22)矢量方程轉化為標量方程：

(26)

式中：為法向加速度。

將法向加速度投影到縱向平面, 同時將式(26)中用/替換，可得成型角度約束制導律：

(27)

式中：為法向加速度在縱向平面的投影；為當前位置與交接班點的距離；為導彈期望末速度方向；為相對距離矢量與導彈當前速度矢量的夾角在縱向平面的投影。

1.3 末制導律

末制導采用最優(yōu)制導律，由導引頭提供目標信息，縱向平面的制導律為

(28)

1.4 制導指令交接算法

采用復合制導律設計，各飛行段制導律不同，需要考慮制導指令交接問題。在交接時，開始以前一段加速度指令為主，主導成分逐漸減弱； 然后以后一段加速度指令為主，逐漸增強。優(yōu)選交接算法如下：

()=2()+[1()-2()]()

(29)

()=(′+-)′，∈[，+′]

(30)

式中：()為交接段加速度指令；1()為前一段制導律在時刻的加速度指令；2()為后一段制導律在時刻的加速度指令；()為一個調(diào)節(jié)比重的時變系數(shù)；為交接段開始時間；′為交接段持續(xù)時間。

1.5 制導律參數(shù)優(yōu)化

(31)

式中：(=0, 1, 2, 3)和(=0, 1, 2)為多項式擬合得到的系數(shù)；為發(fā)射距離。

在實際應用中，可以根據(jù)不同的發(fā)射條件通過式(31)獲得當前情況下近似最優(yōu)的參數(shù)，實現(xiàn)增程彈道。

2 仿真驗證

以表1中的典型發(fā)射條件為例，進行仿真驗證，將本文提出的角度約束增程彈道與常規(guī)彈道性能對比，常規(guī)彈道全程采用最優(yōu)制導律。

表1 仿真條件

2.1 仿真結果1

在條件1下，針對勻速運動目標，在不同發(fā)射距離條件下，采用粒子群優(yōu)化算法，得到的優(yōu)化彈道如圖3所示，對應的最優(yōu)參數(shù)如表2所示。要求中制導末端彈道傾角約束-10°，彈目距離小于20 km，視為中制導結束，進入末制導階段。其中雙脈沖型發(fā)動機第一級和第二級點火間隔時間為12 s，=013,=004。

圖3 不同發(fā)射距離對應的優(yōu)化彈道

表2 不同發(fā)射距離對應的最優(yōu)參數(shù)

2.2 仿真結果2

在條件1下，針對勻速運動目標，發(fā)射距離70 km，要求中制導末端彈道傾角約束-10°，彈目距離小于20 km，視為中制導結束，進入末制導階段。增程彈道爬高段制導律參數(shù)：=013，=004，結果如圖4(a)～(d)所示。增程彈道和常規(guī)彈道在仿真時，都采用雙脈沖型發(fā)動機，其中第一級和第二級點火間隔時間為12 s，速度變化對比如圖4(c)所示。增程彈道在第一級脈沖工作階段，導彈通過爬高將動能轉化為勢能儲存，飛行速度顯著降低； 當?shù)诙壝}沖工作時，導彈已飛到約6 km，此時點火可以獲得更大的速度增量，相較常規(guī)彈道，減少了在低空加速飛行期間空氣阻力引起的能量損失。

圖4 增程彈道與常規(guī)彈道性能對比

圖4(a)中點劃線部分為中制導結束時導彈位置與目標位置的連線。由圖4(b)可知，增程彈道雖然在飛行距離小于2 km時阻力較大，但是通過優(yōu)化彈道，增大飛行高度，減少了中間段的阻力。從表3對比結果中可以看出，相較于常規(guī)彈道，增程彈道末速增加19.19%，增程彈道爬升高度更高，飛行距離更遠，平均速度更大，達到了改善彈道性能指標的效果。

2.3 仿真結果3

在條件2下，目標逃逸機動，加速度9.8 m/s，末速不小于350 m/s，最遠距離增程彈道與最遠距離常規(guī)彈道對比結果如圖5所示。其中： 末制導距離20 km，彈道傾角約束-10°，雙脈沖型發(fā)動機第一級和第二級點火間隔時間為20 s。

表3 中制導階段對比

圖5 條件2下的最遠射程彈道

從加速度變化曲線圖5(c)中可以看出，增程彈道在爬高段和成型段，導彈的需用過載較大，最大值不超過98 m/s。增程彈道中、 末制導交接時縱向平面視線角為-10.02°，入射角為12.18°，在末制導階段視線角變化范圍在-10.02°～-11.33°之間，脫靶量為0.401 m。驗證了通過設計成型段彈道，中、 末制導交接時，視線角和入射角能達到約束要求。規(guī)劃成型段彈道還可使得末制導階段視線角的變化范圍比較小，有利于中、 末制導交接班導引頭截獲目標和末制導階段穩(wěn)定跟蹤。

在不同的發(fā)射條件下，末速不小于350 m/s，增程彈道和常規(guī)彈道能夠達到的最遠距離對比結果如表4所示?？梢钥闯觯岢龅脑龀虖椀兰捌渲茖?，相對常規(guī)彈道及其制導律，增程效果明顯。

表4 不同條件下的增程效果

3 結 論

本文所提出的對角度約束增程彈道分段規(guī)劃方案，將復雜的難以求解析解的角度約束增程彈道制導律問題轉化為多段復合制導律問題，研究滿足不同飛行段要求的制導律，達到實現(xiàn)增程兼角度約束的綜合最優(yōu)。角度約束增程制導律結構簡單，彈目制導信息能夠獲取或估計，便于工程實現(xiàn)； 爬高段彈道顯著提高了導彈的最大末速和平均速度，對實現(xiàn)增程效果明顯； 成型段彈道能夠實現(xiàn)中、 末制導交接班視線角和入射角等約束。所提出的思路和方法對其他戰(zhàn)術導彈增程彈道技術的研究也有理論和工程參考價值。實際作戰(zhàn)過程中，戰(zhàn)場態(tài)勢更復雜，因此，需要進一步研究導彈離軸發(fā)射和不同進入角等情況對增程彈道的影響。