電流模BUCK DC-DC 變換器的系統(tǒng)建模與仿真*

王 聰，劉穎異，唐旭升

（1.東南大學(xué)微電子學(xué)院，江蘇無錫 214000；2.東南大學(xué)網(wǎng)絡(luò)空間安全學(xué)院，南京 211102）

1 引言

開關(guān)電源變換器利用開關(guān)管的導(dǎo)通與截止對(duì)外圍儲(chǔ)能器件進(jìn)行充放電，從而獲得穩(wěn)定的輸出電壓。開關(guān)電源因轉(zhuǎn)換效率高、體積小等優(yōu)點(diǎn)廣泛應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域，如車載系統(tǒng)、航空、航天、可再生能源和直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)等領(lǐng)域［1-5］。由于開關(guān)電源變換器的開關(guān)操作是時(shí)變非線性的，因此對(duì)開關(guān)電源的建模分析非常困難。此外，由于各種寄生參數(shù)的干擾，控制電路的變化和外部負(fù)載的不確定性，使得DC-DC 變換器難以達(dá)到理想的變換效果，因而建立BUCK 型DC-DC 變換器的精確模型存在極大的挑戰(zhàn)。

電流模式控制在電源管理中已經(jīng)應(yīng)用了很多年，相較于電壓模式，電流模式不僅具有快速的瞬態(tài)響應(yīng)，很高的輸出電壓精度，還能給電感電流限流以及提高過零檢測(cè)轉(zhuǎn)換效率［6］。文獻(xiàn)［7］中提出的模型僅考慮了輸出電壓擾動(dòng)對(duì)開關(guān)占空比的影響，文獻(xiàn)［8］提出的連續(xù)時(shí)間模型僅能符合系統(tǒng)的低頻特性，不能解釋次諧波振蕩產(chǎn)生的現(xiàn)象。文獻(xiàn)［9］提出的精確離散時(shí)間和數(shù)據(jù)采樣模型可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)響應(yīng)，但由于其公式的復(fù)雜性，并不能很好地應(yīng)用于工程中。文獻(xiàn)［10］提供了電壓模變換器補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)方法，但此方法并不適用于電流模式的開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器。

由于精確采樣數(shù)據(jù)模型的復(fù)雜性，難以通過模型對(duì)實(shí)際電路進(jìn)行分析，本文利用一個(gè)與精確采樣數(shù)據(jù)模型高度相似的近似函數(shù)，將此近似函數(shù)與脈沖寬度調(diào)制（PWM）模式中其余模塊的小信號(hào)模型相結(jié)合進(jìn)行分析，得到了一個(gè)連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）下PWM 控制的電流模BUCK 變換器的小信號(hào)模型。該模型可以準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)從DC 到奈奎斯特頻率處電路的特性，解釋了電流模式次諧波振蕩問題，能為補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的選取指明方向。并通過對(duì)電路進(jìn)行負(fù)載跳變的瞬態(tài)仿真，對(duì)本文提出的模型進(jìn)行了驗(yàn)證。

2 功率級(jí)開關(guān)模型

一個(gè)BUCK 電路在穩(wěn)態(tài)工作時(shí)，控制系統(tǒng)的主要模塊有功率級(jí)模塊、運(yùn)算放大器和PWM 控制模塊。功率級(jí)有2 個(gè)輸入：輸入電壓和一定占空比的開關(guān)信號(hào)。開關(guān)信號(hào)是由PWM 模塊根據(jù)輸出電壓VOUT的反饋結(jié)果得到的占空比可變的控制信號(hào)，占空比調(diào)節(jié)BUCK 外圍儲(chǔ)能元件充電與放電時(shí)間，進(jìn)而調(diào)節(jié)輸出電壓VOUT，從而使輸出電壓穩(wěn)定。文獻(xiàn)［11］指出功率級(jí)的電壓轉(zhuǎn)換比與占空比是非線性的，這種非線性是開關(guān)功率管作用的結(jié)果。但是文獻(xiàn)［11］也發(fā)現(xiàn)，通過對(duì)非線性元件一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)的電壓與電流進(jìn)行平均，可以得到開關(guān)功率管的線性模型。BUCK 功率級(jí)在連續(xù)導(dǎo)通模式（CCM）與不連續(xù)導(dǎo)通模式（DCM）2 種工作模式下的開關(guān)模型如圖1 所示［12］。

圖1 2 種工作模式下PWM 的功率級(jí)小信號(hào)模型［12］

在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)，流經(jīng)功率管的平均電流等于負(fù)載電流，當(dāng)系統(tǒng)僅有負(fù)載電流發(fā)生變化時(shí)，功率級(jí)電感上的紋波電流不會(huì)發(fā)生變化。因此，在電路重載時(shí)，功率級(jí)工作模式為CCM；在電路輕載時(shí)，功率級(jí)工作模式為DCM，這2 個(gè)導(dǎo)通模式對(duì)應(yīng)不同的PWM 開關(guān)模型。對(duì)BUCK 功率級(jí)進(jìn)行建模是在一個(gè)開關(guān)周期內(nèi)平均開關(guān)波形，并產(chǎn)生一個(gè)等效電路，以代替功率級(jí)開關(guān)管［12］。

3 精確的電流模模型

圖2 是峰值電流控制的BUCK 電路，通過檢測(cè)電流模塊，將電感上的電流按一定倍數(shù)感應(yīng)至占空比產(chǎn)生模塊。占空比調(diào)制器模塊產(chǎn)生一個(gè)占空比為D 的開關(guān)信號(hào)到BUCK 電路的功率級(jí)開關(guān)上，功率級(jí)開關(guān)通過給儲(chǔ)能元件充放電進(jìn)而控制電感上的電流，整個(gè)環(huán)路組成了電流內(nèi)環(huán)，同時(shí)為了消除次諧波振蕩，時(shí)鐘模塊將產(chǎn)生一個(gè)斜坡電流對(duì)電流內(nèi)環(huán)進(jìn)行補(bǔ)償。輸出電壓VOUT經(jīng)電阻分壓得到反饋電壓Vfb，該反饋電壓Vfb與參考電壓Vref之差經(jīng)誤差放大器處理后產(chǎn)生電壓VE。將VE送到占空比調(diào)制模塊中，通過控制產(chǎn)生的開關(guān)信號(hào)與開關(guān)功率級(jí)儲(chǔ)能元件組成了電壓外環(huán)。為了避免系統(tǒng)發(fā)生振蕩，誤差放大器需構(gòu)造補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)。同時(shí)，由于輸出電壓VOUT存在一個(gè)與開關(guān)頻率相同的微小紋波，此補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)能夠降低誤差放大器在此頻率的增益，使得VE近似于一個(gè)定值。

圖2 峰值電流控制的BUCK 電路

對(duì)于峰值電流控制的BUCK 轉(zhuǎn)換器，僅通過離散時(shí)間模型來解釋是不夠的。需要通過電流檢測(cè)建立離散時(shí)間模型，將此模型變換到連續(xù)時(shí)間域中，再與其他模型組合就能夠得到電流采樣的傳遞函數(shù)He(s)，計(jì)算可得此傳遞函數(shù)He(s)為：

其中，s 為復(fù)頻率，Ts為BUCK 系統(tǒng)的開關(guān)周期。

對(duì)于數(shù)據(jù)采樣系統(tǒng)，開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器開關(guān)頻率的一半也即奈奎斯特頻率是可被建模的最高頻率，根據(jù)文獻(xiàn)［13］，RIDLEY 提出了如式（2）所示的傳遞函數(shù)，該傳遞函數(shù)從DC 至奈奎斯特頻率與電流采樣傳遞函數(shù)He(s)具有十分相似的特性。此函數(shù)擁有2 個(gè)零點(diǎn)，表達(dá)式為：

式（2）中Qz=-2/π，ωn=π/Ts。因此，可以得到如圖3 所示的PWM CCM 模式下的小信號(hào)模型。圖3 中，D 為開關(guān)功率管的占空比；d^為占空比的小信號(hào)擾動(dòng)；He(s)與Ri是圖2 中電流檢測(cè)的小信號(hào)傳遞函數(shù)；Fm是包含了斜坡補(bǔ)償?shù)恼伎毡日{(diào)制模塊小信號(hào)傳遞函數(shù)；V^是誤差放大器的小信號(hào)輸出電壓；圖3 方框內(nèi)為工作在CCM 模式下PWM 控制的開關(guān)管小信號(hào)模型；Kf′為電感電流受輸入電壓影響而變化的前饋增益；Kr′為電感電流受輸出電壓影響而變化的反饋增益；時(shí)鐘模塊與此小信號(hào)模型無關(guān)。

圖3 峰值電流控制的CCM 模式BUCK 小信號(hào)模型

圖3 中各參數(shù)的表達(dá)式見表1，表1 中Sn為感應(yīng)的電感電流轉(zhuǎn)換為電壓的上升斜率，Se為斜坡補(bǔ)償電流轉(zhuǎn)換為電壓的上升斜率。

表1 CCM 小信號(hào)模型中各變量對(duì)應(yīng)值

4 斜坡補(bǔ)償電流與補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的設(shè)計(jì)

4.1 電流內(nèi)環(huán)環(huán)路增益

在確定電流內(nèi)環(huán)的環(huán)路增益時(shí)，可令誤差放大器的輸出電壓VE為一個(gè)恒定值，同樣輸入電壓VIN的擾動(dòng)也為零，此時(shí)，可推導(dǎo)得出電流內(nèi)環(huán)的傳遞函數(shù)為：

式（3）中：

電流內(nèi)環(huán)的DC 增益為L(zhǎng)/［（1-D）RTsmc］，此DC增益與開關(guān)占空比成正比，與斜坡補(bǔ)償大小成反比；［（1+sRC）/Δ（s）］He（s）表示電流內(nèi)環(huán)所擁有的零極點(diǎn)，輸出功率級(jí)的電感、電容和負(fù)載帶來了2 個(gè)極點(diǎn)和1個(gè)低頻零點(diǎn)，電流采樣模塊帶來了與系統(tǒng)時(shí)鐘頻率相關(guān)的2 個(gè)零點(diǎn)。

圖4 是不同斜坡補(bǔ)償下，峰值電流控制BUCK 電路在占空比為0.4 時(shí)的電流環(huán)環(huán)路增益波特圖。通過Virtuoso 軟件利用AnalogLib 庫中的理想器件搭建了圖3 的小信號(hào)模型，對(duì)此小信號(hào)模型進(jìn)行STB 仿真可得圖4 的波特圖。由圖4 可知，斜坡補(bǔ)償?shù)拇笮〔粫?huì)改變電流內(nèi)環(huán)環(huán)路增益的變化趨勢(shì)，僅改變直流增益大小，從而使增益曲線發(fā)生垂直移動(dòng)。當(dāng)系統(tǒng)占空比為0.4 時(shí)，電流內(nèi)環(huán)的相位裕度和增益裕度都很低。若系統(tǒng)占空比提高，電流內(nèi)環(huán)的增益曲線將會(huì)垂直上移，相位裕度與增益裕度將會(huì)變得更低，最終導(dǎo)致電流內(nèi)環(huán)不穩(wěn)定，發(fā)生次諧波振蕩問題。當(dāng)斜坡補(bǔ)償電流增大，電流內(nèi)環(huán)增益曲線將垂直下移，從而提高電流內(nèi)環(huán)的相位裕度和增益裕度。若占空比增大，可通過增大斜坡補(bǔ)償值提升電流內(nèi)環(huán)穩(wěn)定性。因此，式（3）從傳遞函數(shù)的角度解釋了次諧波振蕩問題與斜坡補(bǔ)償如何改變電流內(nèi)環(huán)穩(wěn)定性的問題。

圖4 不同斜坡補(bǔ)償時(shí)電流內(nèi)環(huán)環(huán)路增益波特圖

4.2 控制到輸出傳輸函數(shù)

在確定誤差放大器輸出到輸出電壓VOUT的傳遞函數(shù)時(shí)，可令輸入電壓VIN為一個(gè)定值，根據(jù)圖3 的小信號(hào)模型，可求得：

式中M=mc(1-D)-0.5。將式（7）改寫為式（8），研究零極點(diǎn)對(duì)式（7）傳遞函數(shù)的影響。

式（8）中：

由式（7）可知，控制到輸出的傳遞函數(shù)零極點(diǎn)由Fp（s）和Fh（s）決定。其中，F(xiàn)p（s）包含了1 個(gè)零點(diǎn)和1 個(gè)極點(diǎn)，F(xiàn)h（s）包含了2 個(gè)極點(diǎn)。Fp（s）決定了控制到輸出傳遞函數(shù)波特圖的低頻變化特性，可從式中看出功率器件、負(fù)載、系統(tǒng)開關(guān)頻率和斜坡補(bǔ)償產(chǎn)生了系統(tǒng)的低頻零點(diǎn)，儲(chǔ)能電容的ESR 帶來了高頻零點(diǎn)。當(dāng)添加更大的斜坡補(bǔ)償時(shí)，低頻極點(diǎn)ωp將向高頻移動(dòng)。

電流檢測(cè)模塊對(duì)系統(tǒng)的影響體現(xiàn)在傳遞函數(shù)Fh（s）中，它決定了控制到輸出傳遞函數(shù)的高頻特性，并帶來了奈奎斯特頻率處的極點(diǎn)對(duì)，Qp=1/（πM）為此極點(diǎn)對(duì)的品質(zhì)因數(shù)，Qp依賴于系統(tǒng)開關(guān)的占空比和斜坡補(bǔ)償值。在占空比D=0.6 時(shí)，Qp=1/［π（0.4mc=0.5）］，隨著mc的增大，F(xiàn)h（s）的根軌跡見圖5。

圖5 斜坡補(bǔ)償由0 增大帶來的Fh（s）根軌跡變化

由傳遞函數(shù)Fh（s）的表達(dá)式可知，F(xiàn)h（s）的波特圖增益將會(huì)在fs/2 開關(guān)頻率處存在一個(gè)峰值，峰值大小約為20 lg Qp，因此簡(jiǎn)單地令品質(zhì)因數(shù)Qp=1，從而求得mc=1/［（1-D）πQp］+0.5/（1-D），進(jìn)而求得斜坡補(bǔ)償?shù)拇笮e=（mc-1）Sn，此時(shí)式（9）的波特圖即為圖6。

4.3 使用OTA 補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的電壓外環(huán)環(huán)路增益

將圖3 得到的小信號(hào)模型添加補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)即可得到如圖7 所示的整體BUCK 小信號(hào)模型，將圖7 中V^E斷開即可得到電壓環(huán)路增益，見式（11），在確定了斜坡補(bǔ)償mc的大小后，通過改變電壓環(huán)路中補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)R1、C1、C2的大小，從而改變H(s)的零極點(diǎn)，可以得到電壓環(huán)路想要得到的增益與相位裕度，補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中C1遠(yuǎn)大于C2。在電流模式的BUCK 中，電壓外環(huán)帶寬fcross一般取開關(guān)頻率的1/10～1/3。

圖6 QP=1 時(shí)控制到輸出的波特圖

將圖7 所示的BUCK 小信號(hào)模型在Virtuoso 中構(gòu)造，補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)使用實(shí)際誤差放大器與電阻電容，小信號(hào)模型中其他參數(shù)使用Analoglib 庫中的理想元件代替，并根據(jù)不同工藝角的仿真結(jié)果替換理想元件的參數(shù)，得到全工藝角下都能滿足穩(wěn)定性要求的參數(shù)。通過STB 仿真得到3 種典型工藝角（ff、tt、ss）下電壓外環(huán)環(huán)路增益的波特圖（見圖8），仿真參數(shù)如表2 所示。在實(shí)際電路中減小了典型狀態(tài)下的電壓環(huán)路帶寬，保證所有工藝角下的相位裕度都符合要求。

圖7 包含補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的BUCK 小信號(hào)模型

圖8 小信號(hào)模型仿真波特圖

圖8 的STB 仿真結(jié)果表明，在表2 的仿真參數(shù)下，標(biāo)準(zhǔn)工藝角（tt，27 ℃）電壓環(huán)帶寬fcross約為49.42 kHz，相位裕度PM 約為58.68°；ss 工藝角0 ℃時(shí)電壓環(huán)帶寬fcross約為54.08 kHz，相位裕度PM 約為74.01°；ff 工藝角100 ℃時(shí)電壓環(huán)帶寬fcross約為44.55 kHz，相位裕度PM 約為16.38°；添加了補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)后能夠保證系統(tǒng)在各個(gè)工藝角下的穩(wěn)定性要求。與不添加補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)相比，系統(tǒng)帶寬得到了提高，電壓環(huán)的響應(yīng)速度加快了。

表2 BUCK 變換器仿真參數(shù)

5 BUCK 的負(fù)載跳變仿真

通過仿真軟件Virtuoso 搭建了整個(gè)峰值電流檢測(cè)電路的BUCK 變換器，組成了完整的閉環(huán)控制系統(tǒng)，其中系統(tǒng)的仿真參數(shù)如表2 所示。瞬態(tài)仿真環(huán)境由輸入信號(hào)（VIN）、BUCK 控制電路、儲(chǔ)能元件（電感、電容）和負(fù)載4 部分組成。為了方便地仿真負(fù)載電流的變化，瞬態(tài)仿真環(huán)境使用AnalogLib 庫中Ipwl（分段線性電流源）器件作為變換器輸出負(fù)載，通過Ipwl 器件設(shè)置不同時(shí)間段內(nèi)的電流大小，模擬在不同的負(fù)載電流下電路的工作狀態(tài)，同時(shí)能夠仿真出負(fù)載跳變對(duì)系統(tǒng)的影響。

圖9 顯示了負(fù)載電流由500 mA 跳變至100 mA時(shí)VOUT的變化情況，當(dāng)負(fù)載由重載變輕時(shí)，儲(chǔ)能電感中電流將對(duì)電容充電，輸出電壓變高。而補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)中的運(yùn)放速度要遠(yuǎn)大于整體BUCK 的速度，因此當(dāng)VOUT發(fā)生一個(gè)突變后，補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)的VE將降低，使得BUCK轉(zhuǎn)換器的占空比變小，從而使VOUT逐步降低，最后系統(tǒng)重新恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)。從圖9 的仿真結(jié)果可以看出，實(shí)際電路在負(fù)載跳變的情況下所表現(xiàn)出的瞬態(tài)波形符合本文小信號(hào)模型穩(wěn)定性仿真得到的圖8 波特圖中所對(duì)應(yīng)的時(shí)域波形。受工藝角影響，由于負(fù)載的變化ff工藝角由PWM 控制模式切換為脈沖跨周期控制模式，本文提出的BUCK 變換器版圖在繪制時(shí)需仔細(xì)計(jì)算開關(guān)管和續(xù)流管上金屬電流的大小，從而確定開關(guān)管和續(xù)流管版圖的面積，同時(shí)需要對(duì)版圖中的關(guān)鍵信號(hào)做好屏蔽處理。

圖9 負(fù)載由500 mA 跳變至100 mA 時(shí)的瞬態(tài)仿真結(jié)果

6 結(jié)論

本文描述了一種用于峰值電流控制PWM 的BUCK 開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器的小信號(hào)模型。該模型能夠精準(zhǔn)預(yù)測(cè)從DC 到系統(tǒng)一半開關(guān)頻率處的電路特性。模型采用簡(jiǎn)單的零極點(diǎn)傳輸函數(shù)，不需要離散時(shí)間Z 變換即可預(yù)測(cè)開關(guān)電源轉(zhuǎn)換器中的次諧波振蕩問題；同時(shí)提出了一個(gè)近似函數(shù)，該函數(shù)在一半開關(guān)頻率前能夠準(zhǔn)確描述電流模的采樣數(shù)據(jù)模型。

根據(jù)本文推導(dǎo)所得的電流模傳輸函數(shù)，電流模環(huán)路增益有一對(duì)RHP 零點(diǎn)，當(dāng)占空比超過50%，在沒有斜坡補(bǔ)償?shù)那闆r下，將會(huì)導(dǎo)致電流環(huán)路不穩(wěn)定。由于電流模的作用，誤差放大器的控制到輸出將會(huì)包含一個(gè)ESR 帶來的高頻零點(diǎn)、一個(gè)低頻極點(diǎn)和一對(duì)高頻極點(diǎn)，這兩個(gè)高頻極點(diǎn)處于開關(guān)頻率的一半處，當(dāng)占空比超過50%且無斜坡補(bǔ)償時(shí)，這個(gè)極點(diǎn)對(duì)將會(huì)是一對(duì)RHP 極點(diǎn)，通過添加外部斜坡補(bǔ)償來改變此極點(diǎn)對(duì)的位置，當(dāng)斜坡補(bǔ)償值很大時(shí)將會(huì)在實(shí)軸上分裂為兩實(shí)數(shù)極點(diǎn)，傳輸函數(shù)將由電流模特性逐步變?yōu)殡妷耗Ｌ匦浴?/p>

本文所提出的模型很容易構(gòu)建到任何電路分析程序中（如Virtuoso），并且可以根據(jù)仿真結(jié)果顯示出隨著斜坡補(bǔ)償?shù)脑龃?，系統(tǒng)從電流模式到電壓模式的過渡。本文的建模主要集中分析了后沿調(diào)制型CCM的電流模BUCK，但是這些方法也可以應(yīng)用到BOOS T 與BUCK-BOOST 中。