挖掘概念內(nèi)涵 發(fā)展空間觀念
——“全等三角形”概念課的教學(xué)及反思

秦虹柳

（北京師范大學(xué)昌平附屬學(xué)校）

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1. 內(nèi)容

本節(jié)課選自北京版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)“12.4 全等三角形”，主要內(nèi)容為全等三角形的概念和性質(zhì).

2. 內(nèi)容解析

（1）內(nèi)容的本質(zhì).

對(duì)于單個(gè)幾何圖形的性質(zhì)，主要研究其形狀、大小兩個(gè)方面的特征；研究多個(gè)幾何圖形時(shí)，主要研究它們的位置關(guān)系. 全等三角形比較特殊，其概念是從直觀層面進(jìn)行描述的，即“能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形”，其本質(zhì)是兩個(gè)三角形的形狀和大小相同，但是與位置無(wú)關(guān)，與每個(gè)三角形的大小和形狀也無(wú)關(guān).

從定義出發(fā)，兩個(gè)三角形重合（全等）是指兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角重合，這種圖形特征用代數(shù)的方式進(jìn)行刻畫，就是全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，這體現(xiàn)了全等三角形的要素之間“形”的特征與數(shù)量關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化. 學(xué)生經(jīng)歷挖掘概念內(nèi)涵的過(guò)程，能夠自然得出全等三角形的性質(zhì).

（2）內(nèi)容蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法.

①幾何直觀. 借助圖形的直觀性，有助于學(xué)生辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

②空間觀念. 在復(fù)雜圖形中辨識(shí)全等三角形時(shí)，除了借助幾何直觀外，還需要有空間觀念，能夠從圖形運(yùn)動(dòng)的角度理解三角形之間的關(guān)系.

③數(shù)形結(jié)合. 全等三角形的性質(zhì)就是從“數(shù)”的角度刻畫其“形”的特征，這體現(xiàn)了幾何學(xué)習(xí)從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化.

（3）知識(shí)的上下位關(guān)系.

從三角形的相關(guān)知識(shí)來(lái)看，三角形的概念和性質(zhì)是全等三角形的上位知識(shí)，等腰三角形、直角三角形、相似三角形、尺規(guī)作圖、線段垂直平分線和角平分線等相關(guān)知識(shí)是全等三角形的下位知識(shí).

從主題視角來(lái)看，幾何知識(shí)學(xué)習(xí)的路徑和基本思想是一致的，平行線是本節(jié)課的上位知識(shí)，四邊形和圓都是全等三角形的下位知識(shí).

從圖形的變化視角來(lái)看，學(xué)生對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱變換的初步認(rèn)識(shí)是全等三角形的上位知識(shí)，圖形變換的相關(guān)性質(zhì)是全等三角形的下位知識(shí).

（4）內(nèi)容的育人價(jià)值.

本節(jié)課內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間觀念. 在挖掘全等三角形概念內(nèi)涵的過(guò)程中，學(xué)生體會(huì)可以用代數(shù)的方法刻畫圖形的特征，理解全等三角形中的數(shù)形結(jié)合思想，意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律性和思想方法的一致性.

基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：全等三角形的概念，以及辨識(shí)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1. 目標(biāo)

（1）理解全等三角形的概念和性質(zhì)，能識(shí)別全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

（2）經(jīng)歷學(xué)習(xí)全等三角形概念的過(guò)程，體會(huì)從一般到特殊的學(xué)習(xí)方法，提升數(shù)學(xué)抽象能力；構(gòu)建研究全等三角形的基本路徑；經(jīng)歷識(shí)別全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的學(xué)習(xí)過(guò)程，發(fā)展幾何直觀能力.

（3）認(rèn)識(shí)到研究問(wèn)題的一般方法，體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)律性.

2. 目標(biāo)解析

達(dá)成目標(biāo)（1）的標(biāo)志是：能說(shuō)出全等三角形的“重合”是指對(duì)應(yīng)邊的重合、對(duì)應(yīng)角的重合、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的重合，理解全等三角形與位置無(wú)關(guān)；已知全等三角形，能識(shí)別對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角；能總結(jié)出全等三角形的性質(zhì).

達(dá)成目標(biāo)（2）的標(biāo)志是：能夠從實(shí)際生活中的圖形抽象出三角形模型，確定研究對(duì)象；能說(shuō)出研究全等三角形的基本路徑；能理解三角形經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)變換后的圖形與原圖形全等，并能從幾何直觀和圖形變換的角度識(shí)別兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

達(dá)成目標(biāo)（3）的標(biāo)志是：從研究?jī)?nèi)容、研究路徑和研究方法等方面體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的規(guī)律性.

三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

1. 具備的基礎(chǔ)（知識(shí)、能力）

在平行線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生初步具備了幾何直觀能力，知道幾何學(xué)習(xí)主要研究單個(gè)對(duì)象的性質(zhì)和不同對(duì)象之間的關(guān)系，知道三角形的邊和角是主要研究對(duì)象，對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折運(yùn)動(dòng)有初步了解.

2. 可能存在的問(wèn)題（問(wèn)題、障礙）

從內(nèi)容來(lái)看，學(xué)生在復(fù)雜圖形中辨識(shí)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角可能存在困難.

從能力發(fā)展階段來(lái)看，學(xué)生的空間觀念較弱，多數(shù)學(xué)生無(wú)法從圖形運(yùn)動(dòng)的角度理解全等三角形.

3. 應(yīng)對(duì)策略

通過(guò)設(shè)計(jì)開(kāi)放性活動(dòng)，讓學(xué)生借助手中的學(xué)具進(jìn)行操作，幫助學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變換的角度理解三角形之間的全等關(guān)系，有助于提升學(xué)生的空間觀念.

因此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)是：識(shí)別復(fù)雜圖形中的全等三角形及對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

四、教學(xué)支持條件分析

本節(jié)課中，應(yīng)用幾何畫板軟件、自制教具、學(xué)生導(dǎo)學(xué)案和自制學(xué)具輔助教學(xué).

五、教學(xué)過(guò)程

1. 情境引入

引言：在本章學(xué)習(xí)之初，我們一起確定了本章的學(xué)習(xí)路徑（如圖1）. 之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一個(gè)三角形的相關(guān)知識(shí)，本節(jié)課要研究?jī)蓚€(gè)三角形之間的關(guān)系. 對(duì)于兩個(gè)三角形的學(xué)習(xí)，首先應(yīng)該確定研究對(duì)象. 那么，應(yīng)該研究什么樣的兩個(gè)三角形呢？

圖1

問(wèn)題：觀察如圖2 所示的金字塔魔方，你從中看到了幾種三角形？它們之間有什么關(guān)系嗎？

圖2

師生總結(jié)：圖2 中一共有三種三角形. 每個(gè)面整體可以看作1個(gè)大三角形，每個(gè)面有9個(gè)小三角形，每個(gè)面有3個(gè)由4個(gè)小三角形組成的三角形（如圖3）. 這些三角形的形狀相同，有的大小相同，有的大小不同. 本節(jié)課將研究最特殊的情況，即形狀、大小都相同的三角形之間的關(guān)系.

圖3

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)觀察金字塔魔方，學(xué)生體會(huì)形狀和大小是研究?jī)蓚€(gè)三角形之間關(guān)系的重要方面，從而引出本節(jié)課的研究對(duì)象.

2. 新知探究，抽象概念

引言：對(duì)于幾何對(duì)象的研究，首先要研究它的幾何特征.

活動(dòng)1：試一試.

已知如圖4所示的△ABC，觀察如圖5～11所示的三角形，是否存在與已知△ABC形狀和大小都一樣的三角形？如果有，怎樣驗(yàn)證呢？（每名學(xué)生手里都有一個(gè)如圖4 所示的△ABC的實(shí)物，以及如圖5～11 所示的7個(gè)三角形紙片.）形進(jìn)行操作驗(yàn)證？

圖4

圖5

學(xué)生通過(guò)觀察，會(huì)發(fā)現(xiàn)如圖6～9 所示的三角形顯然不符合要求.

圖6

問(wèn)題2：是不是只有形狀、大小都相同的三角形才能夠重合？

學(xué)生回答：是.

教師總結(jié)：（1）幾何圖形的直觀性能夠幫助我們對(duì)一些問(wèn)題進(jìn)行判斷.

（2）如果兩個(gè)三角形能夠重合，它們就是形狀和大小都相同的三角形，因此，能夠“重合”是三角形全等的特征.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)活動(dòng)1的設(shè)計(jì)，幫助學(xué)生從操作層面理解圖形的形狀、大小的意義. 圖5～11 給出的7個(gè)三角形中有3個(gè)能和已知的△ABC重合，這3個(gè)圖形可以由△ABC經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折得到，使學(xué)生初步從圖形運(yùn)動(dòng)的角度感受三角形的重合問(wèn)題.

3. 新知探究，表示概念

能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形.

在圖12 中，△ABC和△MNP能夠完全重合，我們說(shuō)這兩個(gè)三角形全等.“全等”用符號(hào)“≌”來(lái)表示，讀作“全等于”.△ABC全等于△MNP，記作“△ABC≌△MNP”.

圖7

圖8

圖9

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖形，進(jìn)行猜想，可以通過(guò)手中的實(shí)物模型進(jìn)行驗(yàn)證，并與其他學(xué)生交流想法.教師選擇一名學(xué)生上臺(tái)演示驗(yàn)證過(guò)程，將手中的實(shí)物圖形與△ABC進(jìn)行疊合，發(fā)現(xiàn)圖5、圖10、圖11與所給的△ABC能夠重合.

圖10

圖11

圖12

問(wèn)題1：為什么大家都不對(duì)如圖6～9所示的三角

當(dāng)兩個(gè)三角形重合時(shí)，互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.

4. 理解概念，探究性質(zhì)

試結(jié)合圖12，辨析全等三角形的概念.

問(wèn)題1：全等三角形的研究對(duì)象是什么？

學(xué)生回答：兩個(gè)能夠完全重合的三角形.

問(wèn)題2：如何理解定義中的“能夠”？在活動(dòng)1中，圖5、圖10、圖11 都能與如圖4 所示的△ABC完全重合，它們有什么區(qū)別？說(shuō)明了什么問(wèn)題？

學(xué)生回答：它們只是位置發(fā)生了變化，形狀沒(méi)有發(fā)生變化，說(shuō)明全等三角形與位置無(wú)關(guān).

問(wèn)題3：如圖12，已知△ABC和△MNP可以重合，你是如何理解這里的“重合”的？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注三角形的主要元素.學(xué)生觀察圖形，理解兩個(gè)三角形的重合，就是邊的重合、角的重合、頂點(diǎn)的重合.

問(wèn)題4：能否從“數(shù)”的角度刻畫三角形“重合”的圖形特征？

師生總結(jié)：“重合”就代表是一樣的. 由于三角形的邊和角可以用數(shù)量進(jìn)行刻畫，因此，邊的重合意味著對(duì)應(yīng)邊相等，角的重合意味著對(duì)應(yīng)角相等，點(diǎn)的重合無(wú)法用數(shù)量關(guān)系來(lái)表示.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)本環(huán)節(jié)幫助學(xué)生理解全等三角形的內(nèi)涵. 對(duì)于幾何圖形的學(xué)習(xí)，在研究完圖形的幾何特征后，要將其代數(shù)化，體現(xiàn)了從“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，從而自然得出全等三角形的性質(zhì).

全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

結(jié)合圖12，用符號(hào)語(yǔ)言表示全等三角形的性質(zhì).

符號(hào)表示：如圖12，因?yàn)椤鰽BC≌△MNP，所以AB=MN，BC=NP，AC=MP，∠A=∠M，∠B=∠N，∠C=∠P.

5. 理解性質(zhì)，識(shí)圖辨析

引言：對(duì)于兩個(gè)全等的三角形，可以把其中一個(gè)三角形看成是由另一個(gè)三角形運(yùn)動(dòng)之后得到的，我們要能在復(fù)雜圖形中辨識(shí)全等三角形及它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

例 如圖13，已知△ABC，將它平移至△DEF的位置，這兩個(gè)三角形是否全等？如果全等，試找一找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

圖13

學(xué)生觀察并回答：△ABC≌△DEF，其中AB=DE，BC=EF，AC=DF，∠A= ∠D，∠B= ∠DEF，∠ACB=∠F.

教師強(qiáng)調(diào)：用符號(hào)表述對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角時(shí)，注意點(diǎn)的對(duì)應(yīng).

變式：如圖14，已知△ABC，將它平移至△DEF的位置，這兩個(gè)三角形是否全等？如果全等，試寫出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

圖14

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)例題幫助學(xué)生理解圖形經(jīng)過(guò)平移變換后和原圖形全等，讓學(xué)生在操作過(guò)程中體會(huì)圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，提升空間觀念和想象力.

活動(dòng)2：找一找.

如圖15～22，已知△ABC，分別將它運(yùn)動(dòng)至新的位置，是否存在與它全等的三角形？如果存在，說(shuō)一說(shuō)△ABC是怎樣運(yùn)動(dòng)的，并找一找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.（學(xué)生可以借助學(xué)具演示圖形變化的過(guò)程.）

圖15

圖16

圖17

圖18

圖19

圖20

圖21

圖22

師生活動(dòng)：學(xué)生利用手中的學(xué)具動(dòng)手操作，學(xué)生代表在黑板上演示圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程. 教師利用幾何畫板軟件演示圖形的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行觀察、猜想，再進(jìn)行驗(yàn)證.

教師總結(jié)：三角形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等運(yùn)動(dòng)后，只改變了圖形的位置，與原三角形全等，可以借助圖形的直觀性辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，長(zhǎng)邊對(duì)應(yīng)長(zhǎng)邊，大角對(duì)應(yīng)大角. 對(duì)于不容易通過(guò)幾何直觀進(jìn)行辨識(shí)的圖形，可以從圖形運(yùn)動(dòng)的角度理解.

【設(shè)計(jì)意圖】本活動(dòng)有助于學(xué)生從運(yùn)動(dòng)變化的角度理解全等三角形，提升空間觀念和想象力.

活動(dòng)3：開(kāi)放式活動(dòng).

學(xué)生手中透明的三角形紙片與學(xué)案上的△ABC（如圖23）全等，讓透明的三角形紙片動(dòng)起來(lái)（可以運(yùn)動(dòng)到任意位置），同組學(xué)生相互說(shuō)一說(shuō)與學(xué)案上△ABC相比，透明的三角形紙片是怎樣運(yùn)動(dòng)的.

圖23

師生活動(dòng)：每名學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立操作后，每個(gè)小組的學(xué)生相互展示. 教師找?guī)酌麑W(xué)生分別在黑板上展示作品，大家一起觀察圖形、動(dòng)手操作，描述運(yùn)動(dòng)方式.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)開(kāi)放式活動(dòng)留給學(xué)生充足的空間與時(shí)間，打開(kāi)學(xué)生思維，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，提升學(xué)生動(dòng)手操作的能力，發(fā)展空間觀念，使學(xué)生對(duì)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形運(yùn)動(dòng)過(guò)程有進(jìn)一步地認(rèn)識(shí)，提升了在復(fù)雜圖形中辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的能力.

6. 學(xué)習(xí)總結(jié)

問(wèn)題1：從知識(shí)角度，說(shuō)一說(shuō)這節(jié)課你有什么收獲？

師生總結(jié)：全等三角形的概念、表示和性質(zhì)，辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角.

問(wèn)題2：我們經(jīng)歷了怎樣的學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)習(xí)過(guò)程中有哪些感悟？

師生總結(jié)：本節(jié)課研究了兩個(gè)圖形的關(guān)系. 首先確定了研究對(duì)象，也就是形狀和大小都相同的三角形；形狀和大小相同是從感官上描述兩個(gè)三角形之間的關(guān)系，從操作的層面，它們的特征是能夠完全重合，根據(jù)這一特征對(duì)“全等”進(jìn)行了定義.

在學(xué)習(xí)一個(gè)新的概念時(shí)，要注重深挖概念內(nèi)涵.三角形的重合（全等）是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的重合，從代數(shù)的角度刻畫三角形的要素之間的關(guān)系，得到全等三角形的性質(zhì).

由于全等三角形與位置無(wú)關(guān)，圖形發(fā)生位置變化時(shí)與原圖形全等，在辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角的過(guò)程中，既可以借助幾何直觀，也可以從圖形運(yùn)動(dòng)的視角出發(fā).

基于以上總結(jié)，整理出如圖24所示的知識(shí)結(jié)構(gòu).

圖24

通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步充實(shí)與完善本章知識(shí)結(jié)構(gòu). 因此，在學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)后，接下來(lái)要學(xué)習(xí)全等三角形的判定.

知識(shí)結(jié)構(gòu)更新，得到如圖25所示的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖.

圖25

【設(shè)計(jì)意圖】在此環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生從所學(xué)知識(shí)、學(xué)習(xí)過(guò)程、思想方法等方面對(duì)本節(jié)課的學(xué)習(xí)進(jìn)行總結(jié)，使學(xué)生理解全等三角形的內(nèi)涵，明確學(xué)習(xí)方法，強(qiáng)調(diào)幾何直觀和空間觀念的重要性. 通過(guò)更新知識(shí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步完善本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有助于學(xué)生理解知識(shí)的形成過(guò)程及知識(shí)間的關(guān)聯(lián).

7. 目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)

如圖26，已知△ABC≌△ADE，試寫出這兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.

圖26

對(duì)應(yīng)點(diǎn)：__________________________________；

對(duì)應(yīng)邊：__________________________________；

對(duì)應(yīng)角：__________________________________.

六、教學(xué)反思

從單元整體教學(xué)的角度出發(fā)，與本節(jié)課的教學(xué)相結(jié)合，筆者有如下思考與收獲.

1. 關(guān)注知識(shí)的整體構(gòu)架

本節(jié)課是“全等三角形”小單元教學(xué)的起始課.教師在教學(xué)中應(yīng)關(guān)注知識(shí)間的邏輯結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)，關(guān)注知識(shí)間的上下位關(guān)系. 雖然幾何學(xué)習(xí)的研究對(duì)象不同，但是研究路徑和方法基本相同，在學(xué)習(xí)了平行線和三角形的相關(guān)知識(shí)后，本單元將學(xué)習(xí)全等三角形的定義、表示、性質(zhì)和判定，這種研究問(wèn)題的基本框架在四邊形、圓的學(xué)習(xí)中依然適用.

2. 重視一般觀念的引領(lǐng)

對(duì)于全等三角形，到底要研究什么呢？能夠完全重合的兩個(gè)三角形是全等三角形，我們應(yīng)該如何來(lái)理解這里的“重合”呢？顯然，全等三角形的定義是從操作層面進(jìn)行描述的. 但是，大多數(shù)情況下，將兩個(gè)三角形的全等關(guān)系通過(guò)“重合”的方式來(lái)驗(yàn)證，并不具有可操作性，從代數(shù)的角度刻畫組成圖形的元素之間的數(shù)量關(guān)系更具有可操作性，全等三角形的性質(zhì)就是用要素之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)刻畫圖形特征. 無(wú)論是一個(gè)圖形的性質(zhì)，還是多個(gè)圖形之間的關(guān)系，無(wú)論是三角形、四邊形，還是圓等幾何圖形的學(xué)習(xí)，都要研究通過(guò)要素之間的關(guān)系來(lái)刻畫圖形特征，這種思想方法在幾何學(xué)習(xí)中具有普適性.

3. 以知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程為線索，設(shè)計(jì)系列問(wèn)題與活動(dòng)

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)不僅要關(guān)注內(nèi)容，更要關(guān)注知識(shí)的自然生成過(guò)程，教師的問(wèn)題設(shè)計(jì)和活動(dòng)設(shè)計(jì)都應(yīng)該從學(xué)生出發(fā). 通過(guò)在多個(gè)圖形中辨識(shí)全等三角形的實(shí)踐活動(dòng)1，幫助學(xué)生理解全等三角形的幾何特征，提升幾何直觀能力. 通過(guò)辨析概念的系列問(wèn)題，明確了全等三角形的研究對(duì)象，且全等三角形與三角形的位置無(wú)關(guān)；分析得出全等三角形的性質(zhì). 通過(guò)活動(dòng)2，有助于學(xué)生準(zhǔn)確辨識(shí)全等三角形及其對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.在學(xué)生對(duì)圖形運(yùn)動(dòng)有了初步了解的基礎(chǔ)上，通過(guò)開(kāi)放式活動(dòng)3，既幫助學(xué)生從圖形運(yùn)動(dòng)的角度深刻理解全等三角形，又激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

4. 以幾何直觀和空間觀念為導(dǎo)向的學(xué)習(xí)結(jié)果

幾何學(xué)習(xí)承擔(dān)著培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀和空間觀念的使命，幾何圖形的直觀性對(duì)解決幾何問(wèn)題有重要意義. 在活動(dòng)1 中，學(xué)生通過(guò)觀察幾何圖形并進(jìn)行初步判斷，再通過(guò)動(dòng)手實(shí)踐進(jìn)行驗(yàn)證，不僅有助于學(xué)生對(duì)全等三角形的理解，更體現(xiàn)了幾何直觀的重要意義，也有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 活動(dòng)2 是一個(gè)綜合活動(dòng)，面對(duì)復(fù)雜圖形，學(xué)生首先要借助幾何直觀進(jìn)行初步判斷，然后再通過(guò)動(dòng)手操作感受圖形的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程，體會(huì)圖形間的關(guān)系. 活動(dòng)3 是本節(jié)課的亮點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的思維要求較高，需要學(xué)生對(duì)不同運(yùn)動(dòng)方式進(jìn)行綜合考慮，創(chuàng)造性地構(gòu)造全等三角形，有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀和空間觀念.

5. 明確數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵

作為數(shù)學(xué)教師，我們要不斷地引領(lǐng)學(xué)生“會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)世界”. 在引入環(huán)節(jié)，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察金字塔魔方中的三角形，由實(shí)際問(wèn)題引出數(shù)學(xué)問(wèn)題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象的過(guò)程. 但是，關(guān)于數(shù)學(xué)抽象，可以進(jìn)一步思考如下幾個(gè)問(wèn)題：生活圖形與數(shù)學(xué)圖形之間有什么關(guān)系？從生活圖形中抽象出數(shù)學(xué)圖形的角度是什么？觀察不同三角形之間的關(guān)系，應(yīng)該從什么角度來(lái)觀察？顯然，數(shù)學(xué)圖形是從生活圖形中抽象出來(lái)的，在抽象圖形的過(guò)程中，應(yīng)該關(guān)注圖形的形狀和大小等特征，而不是關(guān)注顏色、質(zhì)地、誤差等方面，在觀察不同三角形之間的關(guān)系時(shí)，圖形的形狀就是實(shí)際圖形的輪廓，而圖形的大小只有在圖形形狀相同的前提下才有研究意義. 當(dāng)兩個(gè)三角形之間形狀和大小分別相同時(shí)，這兩個(gè)三角形全等.在教學(xué)中，教師要不斷引導(dǎo)學(xué)生將生活問(wèn)題數(shù)學(xué)化，明確數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)涵，這樣才有助于加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)識(shí).