丁彥希，張迪迪，徐秋雨，郭仁春

（沈陽化工大學(xué)，遼寧 沈陽 110142）

0 引 言

動量定理是動力學(xué)的普遍定理之一。剛體是力學(xué)中的一個(gè)科學(xué)抽象概念，即理想模型。Unity 3D簡稱U3D，是由Unity Technologies公司開發(fā)的一個(gè)讓玩家輕松創(chuàng)建諸如三維視頻游戲、建筑可視化、實(shí)時(shí)三維動畫等類型互動內(nèi)容的多平臺的綜合型游戲開發(fā)工具。在U3D中，是通過物理引擎機(jī)制來實(shí)現(xiàn)物體的物理效果。物理引擎通過為剛性物體賦予物理屬性的方式來模仿真實(shí)世界中的物體碰撞、跌落等反應(yīng)。本文通過給剛體添加力和力矩來使剛體產(chǎn)生運(yùn)動，包括平動和轉(zhuǎn)動，并對運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行定量分析，使讀者能更好的認(rèn)識動量定理在剛體運(yùn)動中的體現(xiàn)，從而更好地設(shè)計(jì)一個(gè)仿真系統(tǒng)。

1 剛體運(yùn)動——從剛體平動到剛體轉(zhuǎn)動

1.1 牛頓定律和動量定理

剛體都有質(zhì)心的概念，如果作用力的方向通過質(zhì)心，則可以將剛體視作質(zhì)點(diǎn)。當(dāng)剛體的作用力不在質(zhì)心上時(shí)，剛體會發(fā)生轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動時(shí)所有的物理量和物理定律都可以從平動形式類推過來。

剛體平動用位移，速度，加速度，慣性，力，動量，沖量等描述，對應(yīng)的剛體轉(zhuǎn)動要換成角位移，角速度，角加速度，轉(zhuǎn)動慣量，力矩，角動量，角沖量等概念，所有的物理定律都不變，如表1所示。

表1 剛體平動與剛體轉(zhuǎn)動物理量對比

1.1.1 平動慣性定律和轉(zhuǎn)動慣性定律

牛頓第一定律也叫慣性定律，慣性是物體要保持原有的狀態(tài)。慣性是有大小的。物體的質(zhì)量mass就是衡量慣性的一個(gè)重要指標(biāo)。

轉(zhuǎn)動時(shí)，物體要保持勻速旋轉(zhuǎn)的狀態(tài)，即保持角速度大小和方向不變，這就是轉(zhuǎn)動慣性定律。轉(zhuǎn)動慣性也有大小，用轉(zhuǎn)動慣量來衡量。轉(zhuǎn)動慣量用I來表示，其定義為

其中是質(zhì)量，是該質(zhì)心的位置到轉(zhuǎn)軸的距離，的單位是kgm。

1.1.2 平動牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動牛頓第二定律

如果要改變狀態(tài)就需要外力。外力越大狀態(tài)改變也越大，但如果慣性即質(zhì)量很大，狀態(tài)改變就越小。用數(shù)學(xué)公式來描述即

這就是牛頓第二定律，其中是慣性，是外力，是加速度。

如果要改變轉(zhuǎn)動的狀態(tài)，即改變角速度，就需要對剛體加外力矩，因此角速度的改變用角加速度來衡量，該值與外力矩大小成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這與加速度的定義極為相似，即：

1.1.3 平動動量定理和轉(zhuǎn)動動量定理

平動過程中的動量是，轉(zhuǎn)動過程中的角動量是。平動的動量定理和轉(zhuǎn)動的角動量定理分別為：

1.1.4 動量守恒和角動量守恒

當(dāng)兩個(gè)物體相互碰撞后，在沒有損耗的情況下，碰撞前的總動量=碰撞后的總動量，這就是動量守恒。與平動相似，角動量也滿足守恒定律。如果兩個(gè)剛體相碰撞，兩者相比較如下：

這些定律都體現(xiàn)在U3D的物理引擎中，了解這些物理定律就會讓虛擬仿真更符合的預(yù)期。

1.2 剛體屬性

在場景中放置一個(gè)平面Plane作為地面，再添加一個(gè)立方體Cube和一個(gè)球體，并讓這兩個(gè)物體位于地面上方如圖1（a）所示。給立方體和球體增加剛體組件RigidBody如圖1（b）所示。運(yùn)行后物體會自動落到地面。

圖1 Rigidbody組件

讓場景中的物體運(yùn)動可以有兩種方式，其一是運(yùn)動學(xué)，其二是用物理學(xué)。

運(yùn)動學(xué)使用的是物體的Transform，直接用Translate（平移）和旋轉(zhuǎn)（Rotate）來使物體移動或旋轉(zhuǎn)，或者直接用代碼改變物體的位置和歐拉角。

場景中的物體加載了Rigidbody組件，就要受到物理定律的控制，如果希望不被物理定律控制，可以開啟該組件中的Is Kinematic選項(xiàng)。

與物理問題相關(guān)的程序要寫在FixedUpdate中，F(xiàn)ixedUpdate兩幀之間的間隔是固定的，默認(rèn)是0.02 s，也就是1秒鐘運(yùn)行50次。這與Update不同，Update兩幀之間的間隔是不固定的。

質(zhì)量mass（kg），速度velocity（m/s）是剛體的兩個(gè)基本屬性，一個(gè)代表慣性，一個(gè)代表狀態(tài)。在剛體的眾多屬性中最重要的就是速度velocity了，而mass多數(shù)時(shí)候可以忽略。

2 轉(zhuǎn)動慣量inertiaTensor

對于平動，剛體有一個(gè)慣性量就是質(zhì)量mass，同樣對于轉(zhuǎn)動，剛體也有一個(gè)描述轉(zhuǎn)動慣性的量，叫作慣性張量inertiaTensor。

轉(zhuǎn)動慣量除了與質(zhì)量相關(guān)外還與旋轉(zhuǎn)軸位置、剛體形狀和大小有關(guān)。同一個(gè)剛體旋轉(zhuǎn)軸的位置，有不同的轉(zhuǎn)動慣量。若旋轉(zhuǎn)軸通過剛體的質(zhì)心，軸的方向不同，也會有不同的轉(zhuǎn)動慣量，其中沿著物體坐標(biāo)系，，主軸的三個(gè)方向的轉(zhuǎn)動慣量最為重要，其次是其他方向，這樣的轉(zhuǎn)動慣量共有9個(gè)參數(shù)形成一個(gè)張量矩陣如下：

，，主軸方向上的量處于矩陣的對角線上，即I，I和I。在U3D中，慣性張量inertiaTensor就是指這三個(gè)數(shù)，形成一個(gè)向量。

3 AddForce

將場景中物體的質(zhì)量mass設(shè)為2 kg，給剛體施加一個(gè)沿軸方向500 N的力的代碼如下：

其中，rb是指如圖1所示場景中的物體。

像平時(shí)扔?xùn)|西，擊球或開槍都是給物體一個(gè)初始的力，然后物體就沿力的方向前進(jìn)了。但同樣是給物體一個(gè)水平方向500 N的力，瞬間給一下，持續(xù)一段時(shí)間和一直持續(xù)給，物體速度很顯然是完全不同的。如下文給出的代碼所示：

其中AddForce代碼只在Start()中僅加載一次，AddForce是對物體加力，這個(gè)力的作用時(shí)間Δ其實(shí)就是0.02 s，也就是FixedUpdate兩幀之間的間隔Fixed Timestep。

根據(jù)動量定理求出：

U3D中對AddForce提供了四種模式，用ForceMode來區(qū)別，方法是對AddForce增加第2個(gè)參數(shù)：

rb.AddForce(new Vector3(500, 0, 0), ForceMode.Force);

ForceMode的四種模式分別是：Acceleration、Force、Impulse、VelocityChange，其力的作用方式有些區(qū)別，默認(rèn)是Force，可以省略。

3.1 Force

3.2 Acceleration

Acceleration是加速度，單位是m/s，加速度本身就是速度的改變量，因此下面的代碼：

可以猜測得到物體的速度應(yīng)為：10 m/s

因?yàn)榧铀俣?500 m/s，說明速度1秒增加500 m，因而作用時(shí)間是0.02 s，最終速度自然就是500×0.02=10 m/s。

由于直接使用的是加速度，就不用考慮物體質(zhì)量了。

3.3 Impulse

Impulse是沖量，單位是N?s或者kg?m/s，該量就是直接給了Δ。因此下面的代碼：

rb.AddForce(new Vector3(500, 0, 0), ForceMode.Impulse);

可以猜測到物體的速度為：

由于直接給的是沖量，這樣就不用考慮作用時(shí)間0.02 s了。因此Impulse應(yīng)該是每次運(yùn)行就施加500 N?s，與作用時(shí)間無關(guān)，只考慮運(yùn)行次數(shù)即可。

3.4 VelocityChange

VelocityChange 顧名思義是速度的改變量，這樣的說法有點(diǎn)類似Acceleration，與Acceleration不同的是，VelocityChange是每次運(yùn)行就改變速度的量，而Acceleration則是每秒速度的改變量。因此VelocityChange的單位應(yīng)該是米/秒/次。

因此代碼：

運(yùn)行結(jié)果就應(yīng)該是：500 m/s

VelocityChange與Acceleration一樣不用考慮物體的質(zhì)量。VelocityChange與Inmpuse一樣不用考慮那個(gè)時(shí)間間隔。

通過這幾個(gè)例子可以看到velocity才是最想知道的量，而mass常被忽略。

4 AddTorque

4.1 給立方體加力矩

與AddForce相似，可以給物體施加力矩AddTorque，該力矩可以使剛體繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)。如果外力矩為，則剛體的角速度的變化量為：

在U3D中Δ=0.02 s，為轉(zhuǎn)動慣量，這個(gè)轉(zhuǎn)動慣量為慣性張量inertiaTensor，由于是張量，問題就變得比平動復(fù)雜得多，下面依然采用手工計(jì)算與代碼相結(jié)合的形式進(jìn)行相互驗(yàn)證。

對場景中的立方體編寫下文的代碼：

因此結(jié)果應(yīng)該是（1.2，0，0）。運(yùn)行后發(fā)現(xiàn)正是這個(gè)結(jié)果如圖2所示。

圖2 給立方體加力矩后的運(yùn)行結(jié)果

4.2 給長方體加力矩

通過代碼驗(yàn)證，結(jié)果如圖3所示。

圖3 長方體的轉(zhuǎn)動慣量運(yùn)行結(jié)果

下面將長方體斜著放置，力矩仍保持不變，將立方體的歐拉角設(shè)為（0，30，0），如圖4（a）所示是頂視圖?，F(xiàn)在給一個(gè)力矩=(10，0，0)，這個(gè)力矩是對世界坐標(biāo)系的而言的。那么認(rèn)為物體應(yīng)該繞世界坐標(biāo)x軸旋轉(zhuǎn)，即如圖4（b）所示的那個(gè)樣子，繞紅色軸旋轉(zhuǎn)。

圖4 斜長方體方體轉(zhuǎn)

然而運(yùn)行結(jié)果卻是另外的形式，轉(zhuǎn)軸相對世界坐標(biāo)發(fā)生了偏移，其角速度如圖5所示。

圖5 運(yùn)行結(jié)果

如圖6（a）所示，物體是繞著黃色的軸旋轉(zhuǎn)的，不是紅色的軸

圖6 對x軸加力矩，結(jié)果旋轉(zhuǎn)軸發(fā)生偏移

如果再將歐拉角改成（0，60，0），結(jié)果如圖6（b）所示的樣子，其角速度如圖7所示。

圖7 運(yùn)行結(jié)果

本來是給世界坐標(biāo)系的軸施加力矩，實(shí)際上物體卻沒有繞世界坐標(biāo)系的軸旋轉(zhuǎn)而是發(fā)生了偏移，角速度為（1.02，0，-0.312）。

4.3 ForceMode

AddTorque與AddForce一樣也有ForceMode選項(xiàng)，包括 Acceleration，F(xiàn)orce，Impulse，VelocityChange，含義也都與AddForce中一樣，只不過這幾個(gè)量改變的是角速度，默認(rèn)Force可以省略，具體如下文給出的代碼所示：

含義是對角速度的改變量為10 rad/s，可以推知，作用時(shí)間為0.02 s時(shí)速度的改變量為0.2 rad/s，不 用考慮轉(zhuǎn)動慣量。

ForceMode.Impulse是沖量，需要考慮轉(zhuǎn)動慣量：

ForceMode.VelocityChange是每次直接改變角速度，不用考慮轉(zhuǎn)動慣量，代碼為：

5 結(jié) 論

動量定理是物理學(xué)中的一個(gè)基本規(guī)律。在Unity3D中，動量定理在剛體運(yùn)動過程中充分體現(xiàn)，基于此定理的基礎(chǔ)上可以計(jì)算出物體的運(yùn)動狀態(tài)，從而使用戶更精確地去控制虛擬物體的運(yùn)動。