劉衛(wèi)星，楊金顯

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

隨著油氣勘探的發(fā)展，定向鉆井軌跡擬合精度受到越來越多的重視。定向鉆井的核心技術(shù)是監(jiān)測和控制，監(jiān)測的任務(wù)是根據(jù)測斜數(shù)據(jù)計(jì)算出實(shí)鉆軌跡；控制的任務(wù)是根據(jù)監(jiān)測結(jié)果控制鉆進(jìn)方向[1-3]。由于測斜時(shí)只能獲得一系列離散測點(diǎn)處的井深、井斜角、方位角等基本參數(shù)，無法還原各測段內(nèi)井眼軌跡的真實(shí)形態(tài)，因此需要基于假設(shè)條件和數(shù)學(xué)模型來計(jì)算井眼軌跡的空間坐標(biāo)。目前用于提高井眼軌跡擬合精度的方法主要為兩種：(1)硬件條件改善。通過增加測斜點(diǎn)的密度，提高軌跡的擬合度和精確度。但這種方法增加了鉆井測斜的成本，難以被廣泛應(yīng)用在實(shí)際工程中；(2)計(jì)算方法改善，也就是使用更加切合實(shí)際的井眼軌跡計(jì)算方法。雖然這種方法對計(jì)算能力有很高的要求，但是隨著計(jì)算機(jī)的迅速發(fā)展，其對計(jì)算能力的需求也將逐漸被滿足。

目前國內(nèi)外針對提高井眼軌跡測量精度的計(jì)算方法取得了一定的研究進(jìn)展。文獻(xiàn)[4～8]假設(shè)井眼軌跡為空間斜平面內(nèi)的圓弧，分別提出了用于測斜計(jì)算的最小曲率法。這些方法經(jīng)過不斷地改進(jìn)和完善，進(jìn)一步發(fā)展為空間圓弧模型。文獻(xiàn)[9]假設(shè)井眼軌跡在垂直剖面圖和水平投影圖上均為圓弧，提出了曲率半徑模型。由于這樣的井眼軌跡被證明為圓柱螺線，因此常被各行業(yè)用作擬合軌跡的模型[10]。文獻(xiàn)[11]假設(shè)井眼軌跡的井斜變化率和方位變化率分別為常數(shù)，提出了自然曲線模型。雖然研究人員陸續(xù)提出了多種井眼軌跡曲線的計(jì)算方法，但是上述軌跡計(jì)算方法都是假設(shè)測段為單一的井眼軌跡模型。需要指出的是，在實(shí)際鉆進(jìn)過程中，井眼軌跡不可能總按照某種單一的軌跡模型進(jìn)行鉆進(jìn)，因此單一的軌跡模型會使井眼軌跡計(jì)算產(chǎn)生較大的誤差。為了提高軌跡擬合精度，文獻(xiàn)[6]對不同的井眼軌跡模型使用數(shù)值積分的方法進(jìn)行分析，并推導(dǎo)出了對應(yīng)模型的數(shù)值積分計(jì)算式。這種方法提高了井眼軌跡的計(jì)算精度，但是計(jì)算過程仍基于某一假設(shè)模型。隨后，又有研究人員提出將測段平均分為多條直線段，再對各直線段進(jìn)行特殊積分的分段式井眼軌跡計(jì)算方法[12-13]。該方法雖然對軌跡中間進(jìn)行分段，但是分段方式無據(jù)可依，存在較大的主觀性，使得軌跡的分段對實(shí)際軌跡曲線的匹配度較低。為解決這個(gè)問題，文獻(xiàn)[14]提出通過工具面角對井眼軌跡模式定量識別的方法來選擇符合實(shí)際井眼軌跡的軌跡模型，但該方法無法精確地判斷軌跡模型。

采用上述軌跡計(jì)算方法對測段采用單一軌跡模型求取井眼軌跡，不僅精度較低，且軌跡分段的主觀性較大。針對這些問題，本文提出了一種利用多種軌跡模型的特征參數(shù)來對軌跡進(jìn)行模式識別和分段的方法。該方法首先利用三次b樣條插值法來構(gòu)建井斜角、方位角隨井深變化的函數(shù)，然后分析特征參數(shù)與軌跡模型特征參數(shù)的區(qū)別，并建立模式識別與分段評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。

1 井眼軌跡測點(diǎn)鄰近結(jié)構(gòu)

井眼軌跡是一條光滑的曲線，軌跡上每個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都隨井深的變化而變化，因此可以構(gòu)建井眼軌跡的向量形式

r(L)=Ni+Ej+Hk

(1)

式中，L為井深；N、E、H分別代表南北坐標(biāo)、東西坐標(biāo)、垂深，單位均為m；i、j、k表示各坐標(biāo)軸的單位向量。根據(jù)式(1)可知，為了研究L上任選的一點(diǎn)r(LP)的近鄰形狀，在其附近選取另一點(diǎn)r(LP+ΔL)，根據(jù)泰勒計(jì)算式可得

(2)

當(dāng)ΔL很小時(shí)，ζ趨向于0。

(3)

式中，tp、np、bp分別表示在點(diǎn)r(LP)的單位切向量、單位法向量、單位副法向量；k為曲線的曲率；τ為曲線的撓率。軌跡坐標(biāo)增量與軌跡某點(diǎn)的曲率和撓率有關(guān)。

(4)

式中，kα為井斜變化率；kφ為方位變化率。從式(4)中可以看出，可由井斜變化率和方位變化率計(jì)算獲得曲率和撓率，因此井斜變化率與方位變化率也能夠決定軌跡曲線某點(diǎn)的鄰近形態(tài)。

2 樣條函數(shù)基礎(chǔ)理論

井眼軌跡是連續(xù)光滑的空間曲線，在鉆井過程中會存在彎曲與扭轉(zhuǎn)。井眼曲率、井斜角和方位角變化率是決定井眼鄰近形狀的因子，可以作為判斷井眼軌跡模型的參數(shù)。從力學(xué)角度分析，因受井壁的限制，鉆柱可簡化為一條彈性樣條。從數(shù)學(xué)角度分析，隨著井深的變化，井斜角與方位角可近似表達(dá)為隨井深變化的函數(shù)。從鉆井工程應(yīng)用角度分析，用樣條函數(shù)[15]模擬井眼軌跡具有高度的逼真。文獻(xiàn)[16]的理論分析證明了樣條函數(shù)在井眼軌跡分析中的可用性，說明了插值方法[17]是逼近這種函數(shù)的有效方法。

b樣條函數(shù)是一種特殊的函數(shù)，是形態(tài)數(shù)學(xué)描述的主流方法之一。在鉆井過程中，軌跡井斜角與方位角連續(xù)變化，且變化與高度相關(guān)。在井眼軌跡測段內(nèi)，根據(jù)樣條函數(shù)定義，建立井斜角與方位角樣條函數(shù)方程組，如下所示

(5)

ΔLi=Li+1-Li。

式中，ΔL為井深變化量，單位為m。

對于整個(gè)井眼軌跡的n個(gè)測點(diǎn)，可以得到n個(gè)線性方程組。利用測斜數(shù)據(jù)可以確定θ(L)與Φ(L)的樣條函數(shù)，進(jìn)而可以求得每個(gè)測點(diǎn)井眼曲率κ、井斜變化率κθ、井眼撓率τ、方位變化率κΦ隨井深的變化函數(shù)

(6)

(7)

(8)

3 模式識別及分段

3.1 空間圓弧模型

空間圓弧模型表示的是某一空間斜面上的圓弧，其曲率k為常值。圖1為空間圓弧的軌跡模型示意圖。

圖1 空間圓弧軌跡模型示意圖

(9)

式中，ki，i-1、εi，i-1分別為測點(diǎn)i與i-1之間測段的曲率和狗腿角；Li代表測點(diǎn)i的井深。由于撓率τ為偏離該平面的程度因子，所以該模型的特征參數(shù)為

(10)

式中，C為常數(shù)。

3.2 圓柱螺旋模型

圓柱螺線軌跡模型的特征是軌跡在垂直剖面圖和水平投影圖上的曲率為常數(shù)。在螺旋線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，由直線運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)合成，如圖2所示。

圖2 圓柱螺旋跡模型示意圖

當(dāng)空間點(diǎn)從p0出發(fā)，在水平面以圓周的形式運(yùn)動(dòng)，同時(shí)又以等速度沿Z軸正向運(yùn)動(dòng)，其參數(shù)方程為

(11)

式中，r為圓周半徑；v為沿Z軸的速度。

螺旋上的任意一點(diǎn)的位移矢量可表示為

R(s)=x(s)i+y(s)j+z(s)k

(12)

式中，s為井深；i、j、k分別為X、Y、Z軸單位向量，則螺旋線表示為

(13)

式中，L為螺距；l為一個(gè)螺距內(nèi)的弧長；r為水平圓的半徑，曲率和撓率如式(14)所示。

(14)

從上式可知，圓柱螺旋法的曲率和撓率為常數(shù)。曲率和撓率分別為

(15)

式中，C1、C2為常數(shù)。

3.3 自然參數(shù)法

自然參數(shù)模型的特征是軌跡的井斜角變化率和方位角變化率都為常數(shù)。將特征參數(shù)分別記為kα、kφ，其表達(dá)式為

(16)

式中，αi、φi、Li分別代表第i個(gè)測點(diǎn)的井斜角、方位角、井深。因此其特征參數(shù)為

(17)

其中，C1和C2為常數(shù)。

3.4 正切模型

正切法軌跡模型是假設(shè)測段為直線軌跡。因此井斜與方位變化率都為0。

3.5 模式識別標(biāo)準(zhǔn)

井眼軌跡中測點(diǎn)鄰近點(diǎn)的形態(tài)可以根據(jù)測點(diǎn)特征參數(shù)進(jìn)行描述。通過樣條函數(shù)計(jì)算各測點(diǎn)的特征參數(shù)，對比測斜模型來識別軌跡模式。假設(shè)該測段有n個(gè)測點(diǎn)，根據(jù)下列算式計(jì)算出這n個(gè)測點(diǎn)的特征參數(shù)的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差。

井斜變化率的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為

(18)

方位變化率的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為

(19)

曲率的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差為

(20)

撓率的平均值及標(biāo)準(zhǔn)差如式(21)所示。

(21)

在所述識別區(qū)間內(nèi)，考慮到井眼軌跡的不同特征參數(shù)對模式識別的影響，本文采用特征參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差來作為模式識別的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。標(biāo)準(zhǔn)差越小，則認(rèn)為該模型與實(shí)鉆軌跡越接近。因?yàn)榭臻g圓弧法與圓柱螺旋法的特征參數(shù)相同，故將空間圓弧模型與圓柱螺旋模型假設(shè)為一個(gè)模型，再通過撓率的平均值進(jìn)行判斷。如果其平均值接近0，則認(rèn)為是空間圓弧模型；反之，為圓柱螺旋模型。

由于每種模式都有兩個(gè)特征參數(shù)，為了方便敘述，分別用μ和ν來表示?？臻g圓弧與圓柱螺旋線模型中，μ和ν為

(22)

自然參數(shù)模型中，μ和ν為

(23)

式中，i為測段標(biāo)記。

由于軌跡模型的特征參數(shù)都為常值，所以可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差進(jìn)行判斷，標(biāo)準(zhǔn)差越小，該模型與實(shí)鉆軌跡越相似。然而，每種軌跡模型都有兩個(gè)評價(jià)參數(shù)，且不同參數(shù)間相互獨(dú)立，有時(shí)會出現(xiàn)一個(gè)特征參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差較大，而另一個(gè)參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差較小的情況?？紤]到各特征參數(shù)的權(quán)重，重新構(gòu)造井眼軌跡模式的評價(jià)指標(biāo)，即

σ=γ×μ+(1-γ)×v

(24)

式中，σ為評價(jià)指標(biāo)；γ為權(quán)重系數(shù)。

空間圓弧與圓柱螺旋線的識別方法為：首先通過σ來識別空間圓弧模型與圓柱螺線模型，再根據(jù)其撓率的平均值進(jìn)行篩選，從而篩選出最符合實(shí)鉆軌跡的測斜模型。

3.6 數(shù)據(jù)點(diǎn)的前尋分段

上述過程只能判斷某段的測斜方法，但在一條完整的井眼軌跡中，軌跡的形態(tài)是多變的，并不知道軌跡在何處發(fā)生變化，因此需要遍歷所有的點(diǎn)來對全段井眼軌跡進(jìn)行分段，從而避免將某段軌跡測斜方法當(dāng)作全段軌跡的測斜方法。本文使用逐點(diǎn)前尋的方法來精確地分段。對于空間曲線，需最少用4個(gè)點(diǎn)來描述其形態(tài)，因此本文選用前4個(gè)測點(diǎn)進(jìn)行模式識別。向前尋找下一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)帶入樣條函數(shù)，得出其特征參數(shù)，并判斷這一點(diǎn)的特征參數(shù)誤差是否在標(biāo)準(zhǔn)差內(nèi)。若滿足式(25)，則繼續(xù)測試下個(gè)測點(diǎn)；若不滿足條件，則判斷上一點(diǎn)為分界點(diǎn)，并以上一點(diǎn)為初始點(diǎn)重新選擇測斜模式。該方法能夠最大限度地進(jìn)行分段，并求取某段的測斜模式。

假設(shè)當(dāng)前測段所計(jì)算的特征接近某種模型，其特征參數(shù)為kα和kβ，通過樣條函數(shù)求出下一點(diǎn)的kα，p和kβ，p，并根據(jù)以下計(jì)算式進(jìn)行判斷。

(25)

如果滿足上述條件，則認(rèn)為此點(diǎn)也在該測段上，如果不滿足，則需重新分段。

擬合算法的具體步驟如下：

步驟1輸入測點(diǎn)的測量數(shù)據(jù)，將其帶入樣條函數(shù)，求出各特征參數(shù)隨井深的變化函數(shù)；

步驟2選取前4個(gè)點(diǎn)來判斷軌跡模式；

步驟3向前讀取下一測點(diǎn)的特征參數(shù)，判斷其是否滿足誤差。若滿足，則繼續(xù)讀取下一點(diǎn)；若不滿足，則以上一點(diǎn)為起始點(diǎn)，返回步驟2重新判斷軌跡模式；

步驟4直到最后一點(diǎn)讀取完成，結(jié)束循環(huán)。

4 模擬實(shí)驗(yàn)與分析

通過隨鉆測量樣機(jī)設(shè)備進(jìn)行模擬實(shí)鉆實(shí)驗(yàn)。樣機(jī)與實(shí)際隨鉆測量設(shè)備功能相同，僅在尺寸和材質(zhì)上有所縮減。為了能夠清楚地描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，按照樣機(jī)與實(shí)際鉆井設(shè)備的比例，將采集數(shù)據(jù)中井深與坐標(biāo)增量進(jìn)行1∶10的比例尺換算(以換算為實(shí)鉆數(shù)據(jù)進(jìn)行分析)。為了模擬實(shí)鉆，在實(shí)驗(yàn)時(shí)，樣機(jī)設(shè)備按照設(shè)計(jì)的軌跡方向鉆進(jìn)，在一定的井深做出一些增斜或降斜操作。樣機(jī)設(shè)備每隔約100 s停鉆，在此時(shí)采集靜態(tài)測量數(shù)據(jù)，用以模擬實(shí)際鉆井過程中的停鉆狀態(tài)。模擬實(shí)驗(yàn)期間，共進(jìn)行30次停鉆操作。選取鉆進(jìn)過程中100～400 m的測段進(jìn)行算法分析。樣機(jī)設(shè)備采樣頻率設(shè)為50 Hz，在鉆進(jìn)的過程中采集加速度及地磁數(shù)據(jù)，并換算成井斜角、方位角及井深。

首先將測段中井斜角、方位角和井深帶入式(5)以求取軌跡基本參數(shù)，計(jì)算測點(diǎn)參數(shù)的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，如表1所示。然后，根據(jù)各參數(shù)求出井眼軌跡的各基本參數(shù)的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差，如表2所示。

表1 軌跡基本參數(shù)

表2 參數(shù)的平均值以及標(biāo)準(zhǔn)差

根據(jù)分段點(diǎn)選取原則，選擇前4個(gè)點(diǎn)的特征參數(shù)帶入模式識別評價(jià)方程，得到每個(gè)模式的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，如表3所示。

表3 模型評價(jià)參數(shù)1

由于評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)越小，井眼軌跡越接近該標(biāo)準(zhǔn)下的軌跡模型，所以根據(jù)前4個(gè)測點(diǎn)可判斷該測段為自然參數(shù)模型。

由于在270 m時(shí)計(jì)算獲得的井斜變化率以及方位變化率的值大于評價(jià)指標(biāo)，因此可以判斷上個(gè)測點(diǎn)為分界點(diǎn)。如果不對井眼軌跡進(jìn)行分段，仍繼續(xù)使用自然參數(shù)模型，并將該點(diǎn)帶入計(jì)算，將發(fā)現(xiàn)其標(biāo)準(zhǔn)差變化很大，因此本文所提出的分界方法是有效的。

對分界點(diǎn)后的軌跡進(jìn)行上述分析，計(jì)算各模型的評價(jià)指標(biāo)，如表4所示。根據(jù)識別標(biāo)準(zhǔn)判斷剩下的軌跡與空間圓弧法或圓柱螺線法之間的關(guān)系。由于撓率的平均為0.45，基本接近0，所以判斷為空間圓弧法。

表4 模型評價(jià)參數(shù)2

表5以絕對誤差為判斷依據(jù)，表明通過對軌跡進(jìn)行分段與模型識別能夠提高軌跡計(jì)算的精度。

表5 軌跡誤差

根據(jù)單一軌跡與本文所用方法描繪井眼軌跡圖，如圖3所示。從圖3可以看出，相比單一井眼軌跡，采用本文所提方法繪制的軌跡更接近參考軌跡。

圖3 井眼軌跡的三維圖

5 結(jié)束語

測段采用單一軌跡模型求取井眼軌跡時(shí)精度較低，且軌跡分段的主觀性較大。針對該問題，本文從理論角度分析了三次b樣條的適用性，通過該方法計(jì)算出井眼軌跡中各參數(shù)隨井深的變化函數(shù)，然后構(gòu)建模式識別與分段方法，通過識別方法判斷該測段最適合的模型，再利用數(shù)據(jù)點(diǎn)前尋法遍歷所有軌跡測點(diǎn)對其進(jìn)行分段。本文設(shè)計(jì)了隨鉆測量樣機(jī)設(shè)備的模擬鉆進(jìn)實(shí)驗(yàn)。實(shí)例誤差分析和軌跡圖分析證明了本文提出的基于特征參數(shù)的井眼模式識別和分段方法的有效性。