張學(xué)剛 謝永春 王鵬飛

（攀枝花學(xué)院 智能制造學(xué)院， 四川 攀枝花 617000）

0 引言

根據(jù)嚙合時(shí)的接觸形式不同，曲線圓柱齒輪可分為點(diǎn)接觸和線接觸[1-2]。 相對(duì)于線接觸曲線齒輪，點(diǎn)接觸曲線齒輪對(duì)裝配誤差不敏感，在裝配誤差作用下不易出現(xiàn)輪齒邊緣接觸，某些情況下其傳動(dòng)平穩(wěn)性比線接觸齒輪更強(qiáng)。點(diǎn)接觸曲線齒輪是一種平行軸齒輪，其齒形呈現(xiàn)弧形。與直齒輪、斜齒輪和人字齒輪相比，這種齒輪加工效率較低，成本較高，在傳動(dòng)系統(tǒng)中應(yīng)用較少[3-4]。由于其齒形為弧形，在傳動(dòng)過(guò)程中，軸向竄動(dòng)力可相互抵消，且具有更好的潤(rùn)滑性能[5]。目前，不少國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了對(duì)曲線圓柱齒輪傳動(dòng)性能的研究，以爭(zhēng)取克服齒輪傳動(dòng)過(guò)程中的問(wèn)題。

Tseng 等先后分別研究了采用盤形面銑刀加工[6-7]和滾齒加工[8-9]所得曲線圓柱齒輪的數(shù)學(xué)模型、根切現(xiàn)象、無(wú)載荷傳動(dòng)誤差等。Wu 等[10-12]采用圓弧曲線對(duì)曲線圓柱齒輪齒面進(jìn)行修形，并探討了修形參數(shù)和刀盤半徑對(duì)齒輪的無(wú)載荷和有載荷傳動(dòng)誤差的影響。蘇進(jìn)展等[13]推導(dǎo)了帶拋物線修形的曲線圓柱齒輪的齒面方程，并研究了某種修形系數(shù)下，三類裝配誤差對(duì)無(wú)載荷傳動(dòng)誤差的影響；在此基礎(chǔ)上，還研究了某種裝配誤差下拋物線修形系數(shù)對(duì)無(wú)載荷傳動(dòng)誤差的影響[14]；此外，還通過(guò)預(yù)設(shè)4階無(wú)載荷傳動(dòng)誤差，對(duì)曲線圓柱齒輪齒面進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)[15]。Fuentes 等[16]330-339研究了刀盤半徑對(duì)曲線圓柱齒輪的齒面接觸應(yīng)力和齒根接觸應(yīng)力的影響，以及利用齒頂修形消除齒頂接觸應(yīng)力；此外，還對(duì)比研究了曲線圓柱齒輪與直齒輪和斜齒輪之間的力學(xué)性能。馬登秋等[17]基于分心理論研究了曲線圓柱齒輪的接觸應(yīng)力問(wèn)題。Sun 等[18]研究了齒寬和刀盤半徑對(duì)曲線齒輪接觸應(yīng)力的影響。侯力等分析了曲線齒輪的振動(dòng)特性[19]、齒面曲率特性[20]、幾何特性[21]以及潤(rùn)滑性能[22]等。

傳動(dòng)誤差是評(píng)價(jià)齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生噪聲和振動(dòng)的重要指標(biāo)之一，其中，傳動(dòng)誤差分為無(wú)載荷傳動(dòng)誤差和載荷傳動(dòng)誤差。無(wú)載荷傳動(dòng)誤差僅研究齒輪副在無(wú)載荷條件下的傳動(dòng)誤差，而齒輪副在實(shí)際工作中是存在載荷的。因此，對(duì)曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究更符合實(shí)際情況。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)尚未涉及到對(duì)曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究。本文中利用有限元法，并充分考慮點(diǎn)接觸曲線圓柱齒輪在實(shí)際裝配過(guò)程中的誤差，研究了齒面拋物線修形對(duì)點(diǎn)接觸曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差的影響。

1 齒面數(shù)學(xué)模型

齒面數(shù)學(xué)模型是輪齒接觸分析（TCA）、無(wú)載荷傳動(dòng)誤差分析以及建立有限元模型的基礎(chǔ)。曲線齒輪傳動(dòng)副中，對(duì)其中一個(gè)齒輪的齒面進(jìn)行拋物線修形可得到拋物線傳動(dòng)誤差曲線，提高齒輪傳動(dòng)平穩(wěn)性、降低振動(dòng)和噪聲水平。關(guān)于未修形齒輪齒面的數(shù)學(xué)模型不再贅述，可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16]322-329。本文中只對(duì)修形的齒面方程進(jìn)行推導(dǎo)。

1.1 齒輪成型原理

曲線圓柱齒輪副一般采用格里森雙刃面銑式刀盤對(duì)其進(jìn)行銑削加工，如圖1 所示。圖1 中，Rc為刀盤曲率半徑；z為待加工齒輪的齒數(shù)；rp為待加工齒輪的分度圓直徑。

圖1 曲線圓柱齒輪的加工示意圖Fig.1 Schematic diagram of processing curvilinear cylindrical gears

加工齒輪時(shí)，高速旋轉(zhuǎn)的刀盤節(jié)平面與待加工齒輪的節(jié)圓柱表面相切，刀盤沿xc軸方向以速度vc往復(fù)移動(dòng)，齒輪毛坯以角速度ωg繞zg軸順/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，刀盤的移動(dòng)速度和齒輪毛坯的旋轉(zhuǎn)速度滿足vc=rpωg。當(dāng)1個(gè)齒槽加工完畢，刀頭從齒槽中分離，齒輪毛坯轉(zhuǎn)動(dòng)1個(gè)分度360（°）/z，齒輪和刀盤繼續(xù)重復(fù)上一步的展成運(yùn)動(dòng)，直到齒輪的所有齒加工完成。

1.2 修形齒面數(shù)學(xué)模型

齒面修形可以改變齒面的幾何形態(tài)。未修形齒輪在嚙合過(guò)程中易出現(xiàn)線性傳動(dòng)誤差，相鄰兩嚙合周期之間的傳動(dòng)誤差線存在階躍效應(yīng)，會(huì)造成較大的振動(dòng)和噪聲。若對(duì)齒面進(jìn)行齒廓拋物線修形，其傳動(dòng)誤差曲線為拋物線，相鄰兩嚙合周期之間的拋物線存在交叉，這將會(huì)消除線性誤差曲線中存在的階躍效應(yīng)，從而減小或消除嚙合過(guò)程中的振動(dòng)和噪聲[23]。這種修形方法也是在弧齒錐齒輪齒輪設(shè)計(jì)中為了減小振動(dòng)和噪聲的一種常見(jiàn)手段。

圖2 所示為刀盤上的拋物線修形刀頭截面示意圖。圖2中，a為齒頂高系數(shù)；b為齒根高系數(shù)；ρ為刀尖過(guò)渡圓角系數(shù)；αn為壓力角；m為模數(shù)；u為主切削刃長(zhǎng)度的變量；λ為過(guò)渡圓角的角度變量；Δytp為修形拋物線的偏置距離刀。盤曲率半徑Rc為刀頭中心線與刀盤旋轉(zhuǎn)中心之間的距離；坐標(biāo)系Sc（Ocxcyczc）固定于刀盤的旋轉(zhuǎn)軸線與節(jié)平面的交點(diǎn)處，與圖1 中對(duì)應(yīng)。刀頭左側(cè)的外刃用于加工齒輪的凹齒面；刀頭右側(cè)的內(nèi)刃用于加工齒輪的凸齒面。

圖2 刀頭截面示意圖Fig.2 Schematic diagram of the cross-section of the cutter head

將刀頭的內(nèi)刃和外刃拋物線部分表達(dá)在坐標(biāo)系Sib中，表示矢量形式為

式中，上標(biāo)i為內(nèi)刃計(jì)算符號(hào)；o為外刃計(jì)算符號(hào)。全文公式均按此規(guī)定進(jìn)行標(biāo)注。

將刀頭切削刃部分轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sb中，表示為

接下來(lái)，將刀頭切削刃部分轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sc中，表示為

式中，當(dāng)上標(biāo)g=i時(shí)，表示內(nèi)刃；當(dāng)上標(biāo)g=o時(shí)，表示外刃；u、θ均為形成齒輪產(chǎn)形面的幾何參數(shù)。

將齒輪產(chǎn)形面表達(dá)在齒輪毛坯坐標(biāo)系Sg中，為

式中，ψ為展成加工齒輪過(guò)程中，齒輪毛坯的旋轉(zhuǎn)角度。坐標(biāo)系Sc到Sg的坐標(biāo)變換矩陣為

其中，

Xt=rp(sinψ-ψcosψ) +Rccosψ；

Yt=rp(cosψ+ψsinψ) -Rcsinψ。

根據(jù)微分幾何和嚙合原理[23]，采用工程解法可求解出曲線齒輪的嚙合方程，表示為

將式（5）代入式（4）中，可求出齒面關(guān)于u和θ的雙參數(shù)數(shù)學(xué)模型。若給定一組u、θ的值，則可求解出齒面上的一個(gè)點(diǎn)。根據(jù)文獻(xiàn)[24]中的方法可求解出齒面上一系列規(guī)則分布的點(diǎn)云數(shù)據(jù)，這些點(diǎn)云數(shù)據(jù)可為后續(xù)齒輪參數(shù)化有限元模型的建立奠定基礎(chǔ)。

關(guān)于齒根過(guò)渡曲面方程的推導(dǎo)和拋物線修形部分齒面類似，這里不做過(guò)多說(shuō)明。

2 裝配誤差下初始接觸的定義

裝配誤差在齒輪副實(shí)際裝配過(guò)程中是不可避免的，它將會(huì)引起工作中的齒輪副接觸狀態(tài)以及傳動(dòng)誤差發(fā)生改變。圖3所示為齒輪副裝配誤差坐標(biāo)系的定義。假設(shè)小輪安裝于坐標(biāo)系S1上，大齒輪安裝于坐標(biāo)系S2上，它們的旋轉(zhuǎn)中心與自身的Z軸重合。圖3中，坐標(biāo)系Sf為全局坐標(biāo)系；Sk、Sl、Sm、Sn分別為定義4類裝配誤差（ΔC、ΔA、ΔH、ΔV）的輔助坐標(biāo)系。其中，ΔC表示中心距誤差；ΔA表示軸向誤差；ΔH表示軸扭轉(zhuǎn)誤差；ΔV表示軸交錯(cuò)誤差。?p、?g分別表示齒輪副嚙合過(guò)程中小齒輪和大齒輪的轉(zhuǎn)角。

圖3 齒輪副裝配誤差坐標(biāo)系定義Fig.3 Definition of coordinate systems of the gear pair assembly errors

為了使齒輪副的有限元模型精準(zhǔn)接觸，需要編程計(jì)算兩嚙合齒面在無(wú)載荷條件下的初始接觸位置，計(jì)算時(shí)必須將小齒輪的凹齒面和大齒輪的凸齒面轉(zhuǎn)換到全局坐標(biāo)系Sf中。小齒輪的凹齒面轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sf中，表示為

式中，up、θp與第1 節(jié)中的u和θ對(duì)應(yīng)；下標(biāo)p表示小齒輪；矩陣Mf，1表示坐標(biāo)系S1到Sf的變換。

大齒輪的凸齒面轉(zhuǎn)換到坐標(biāo)系Sf中，表示為

式中，ug、θg與第1 節(jié)中的u和θ對(duì)應(yīng)；下標(biāo)g表示大齒輪；矩陣Mn，z表示坐標(biāo)系S2到Sn的變換，表示為

矩陣Mf，n表示坐標(biāo)系Sn到Sf的變換，表示為

式中，

求解兩嚙合齒面的初始接觸點(diǎn)，其幾何意義是接觸點(diǎn)處兩齒面的位置矢量相等，且單位法向量也相等，表示為

式（9）中有6 個(gè)未知參數(shù)，5 個(gè)獨(dú)立方程；若給定小齒輪轉(zhuǎn)角?p，可以求解出其余5個(gè)參數(shù)；將求解結(jié)果再次代入式（6）和式（7）中，便可求解出兩嚙合齒面剛好接觸時(shí)的齒面方程。

3 齒輪副有限元模型

由于曲線齒輪齒面是復(fù)雜曲面，采用商用有限元軟件在三維模型上直接劃分網(wǎng)格，所得齒面節(jié)點(diǎn)誤差較大，將會(huì)導(dǎo)致齒面分析結(jié)果誤差增大，甚至得到錯(cuò)誤的結(jié)論，與實(shí)際情況嚴(yán)重不符[25]；而手動(dòng)劃分網(wǎng)格工作量巨大，不適合建立本文中所需的幾十組有限元齒輪副模型。因此，本文中基于齒面方程所生成的規(guī)則齒面點(diǎn)云，將齒面點(diǎn)云作為輪齒有限元模型的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，通過(guò)填充齒面內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的方式構(gòu)建整個(gè)齒輪的有限元模型。采用這種方法所構(gòu)建的齒輪有限元模型不存在精度損失，可以得到更準(zhǔn)確的分析結(jié)果；而且可以通過(guò)參數(shù)化的方式批量生成所有工況條件下的齒輪副有限元模型[26]。

為了節(jié)省有限元求解時(shí)間，如圖4所示，采用了5 齒有限元模型，每個(gè)齒輪模型有81 590 個(gè)節(jié)點(diǎn)，67 200 個(gè)六面體1 階單元。圖4 中，齒輪內(nèi)圈和邊界分別與自身的旋轉(zhuǎn)中心剛性連接，在大齒輪的旋轉(zhuǎn)中心RP-2處施加阻力矩T，小齒輪旋轉(zhuǎn)中心RP-1固定。小齒輪的凹齒面為接觸主動(dòng)面，大齒輪的凸齒面為從動(dòng)面，分析求解時(shí)，在Abaqus求解器中完成。當(dāng)初始接觸位置分析完成后，齒輪副的接觸已穩(wěn)定，小齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度?p，開(kāi)始第1 個(gè)接觸位置的分析；此時(shí)，可得到大齒輪在載荷下的實(shí)際轉(zhuǎn)角?g，齒輪在載荷下的傳動(dòng)誤差就是大齒輪實(shí)際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的偏差，表達(dá)為

圖4 齒輪副的5齒有限元模型Fig.4 Five-tooth finite element model of the gear pair

當(dāng)?shù)?個(gè)接觸位置分析完成，小齒輪再轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，繼續(xù)第2個(gè)接觸位置的求解，直到所有接觸位置求解完成。本文中只分析了兩個(gè)嚙合周期內(nèi)的載荷傳動(dòng)誤差，即，小齒輪的轉(zhuǎn)角?p在[0，2π/zp]之內(nèi)，在這兩個(gè)周期的轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)劃分了21個(gè)接觸位置。

4 算例分析

本文中以表1 所示齒輪基本參數(shù)作為分析的依據(jù)，分別研究了齒輪的4類裝配誤差、修形量、刀盤曲率半徑、修形曲線偏置量對(duì)齒輪載荷傳動(dòng)誤差的影響。

表1 齒輪基本參數(shù)Tab.1 Basic parameters of the gear pair

4.1 裝配誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

假設(shè)加工曲線齒輪所有刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線系數(shù)apf=0.001 5，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm；4類裝配誤差參數(shù)如表2所示。每一類分為4種工況，其中，誤差值0表示無(wú)裝配誤差。總共需完成13種工況的有限元分析。

表2 4類裝配誤差參數(shù)Tab.2 Four types of assembly error parameters

4 類裝配誤差下的載荷傳動(dòng)誤差如圖5 所示。圖5 中的圖例“VHAC=0”表示無(wú)誤差的理想裝配。從圖5 中不難看出，在任意裝配誤差下，齒輪傳動(dòng)誤差波動(dòng)明顯小于理想裝配，在傳動(dòng)過(guò)程中可起到降噪、減振的作用。此外，裝配誤差的值對(duì)傳動(dòng)誤差影響較小。

圖5 4類裝配誤差對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.5 Influence of four types of assembly errors on transmission errors

4.2 修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

由于第4.1節(jié)中的研究發(fā)現(xiàn)裝配誤差類型和數(shù)值對(duì)載荷傳動(dòng)誤差影響較小，后續(xù)將不再考慮多種裝配誤差的影響，只考慮單一裝配誤差。假設(shè)齒輪副的軸扭轉(zhuǎn)誤差ΔH=0.2°，刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm，修形拋物線系數(shù)如表3所示。表3中，修形系數(shù)越大，修形量越大。

表3 修形拋物線系數(shù)apfTab.3 Modified parabolic coefficient apf

修形量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖6 所示。結(jié)果表明，修性量越大，載荷傳動(dòng)誤差波動(dòng)越??；無(wú)修型的曲線齒輪載荷傳動(dòng)誤差最大。

圖6 修型量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.6 Influence of the modification amount on transmission errors

4.3 刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

假設(shè)齒輪副軸向誤差ΔA=0.2 mm，修形拋物線系數(shù)apf=0.001 5，修形拋物線偏置距離Δytp=0 mm，刀盤曲率半徑如表4所示。

表4 刀盤曲率半徑RcTab.4 Curvature radius of cutter Rcmm

刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖7所示。結(jié)果表明，隨著刀盤曲率半徑的增大，載荷傳動(dòng)誤差減小，誤差波動(dòng)也隨之減小。

圖7 刀盤曲率半徑對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.7 Influence of the curvature radius of the cutter on transmission errors

4.4 修形曲線偏置對(duì)傳動(dòng)誤差的影響

假設(shè)在理想裝配條件下，刀盤曲率半徑Rc=40 mm，修形拋物線系數(shù)apf=0.000 5。修型拋物線偏置量如表5所示。

表5 修形拋物線偏置量ΔytpTab.5 Offset of the modified parabola Δytpmm

修形曲線偏置對(duì)傳動(dòng)誤差的影響如圖8所示。結(jié)果表明，修型曲線相對(duì)刀盤節(jié)平面的距離越遠(yuǎn)，傳動(dòng)誤差的波動(dòng)略微增大；無(wú)偏置時(shí)，傳動(dòng)誤差波動(dòng)最小。

圖8 修形曲線偏置量對(duì)傳動(dòng)誤差的影響Fig.8 Influence of the offset of the modified curve on transmission errors

5 結(jié)論

通過(guò)對(duì)曲線圓柱齒輪載荷傳動(dòng)誤差的研究，得出以下結(jié)論：

（1）裝配誤差有利于降低載荷傳動(dòng)誤差的波動(dòng)幅度，從而起到降噪和減振的效果；無(wú)誤差的理想裝配反而會(huì)引起較大的傳動(dòng)誤差波動(dòng)，說(shuō)明修形的點(diǎn)接觸曲線圓柱齒輪更適合工業(yè)應(yīng)用。

（2）適當(dāng)增加齒面修形量，其載荷傳動(dòng)誤差波動(dòng)將越小，有利于提升曲線齒輪的傳動(dòng)性能。

（3）隨著加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑增大，載荷傳動(dòng)誤差和誤差波動(dòng)都將會(huì)減??；說(shuō)明加工曲線齒輪的刀盤曲率半徑不宜過(guò)小，否則將會(huì)影響傳動(dòng)性能。

（4）齒面修形曲線的偏置對(duì)載荷傳動(dòng)誤差的影響較小。

總的來(lái)說(shuō)，采用較大曲率半徑的修形刀盤所加工出的曲線圓柱齒輪傳動(dòng)性能更好。