洪鶯犁

幾何直觀可以使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)以直觀、形象的方式呈現(xiàn)出來(lái)，幫助正處于形象思維為主要表現(xiàn)方式的小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，在教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。呂傳漢教授提出“三教”教學(xué)理念——教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)，其目的是教會(huì)學(xué)生積極思考、自主體驗(yàn)、善于表達(dá)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的具體表現(xiàn)之一在于能夠建立形與數(shù)的聯(lián)系，構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。筆者對(duì)“數(shù)與形”一課的教學(xué)目標(biāo)定位，是以“三教”教學(xué)理念為引領(lǐng)，滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀核心素養(yǎng)。

一、體驗(yàn)，在實(shí)踐操作中積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)

筆者認(rèn)為，為實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)，首先需要讓他們?cè)谟脤?shí)物或圖表直觀呈現(xiàn)抽象的數(shù)學(xué)信息的過(guò)程中積累一定的幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。教師在課堂上要盡可能創(chuàng)造實(shí)踐操作的機(jī)會(huì)，使學(xué)生自主參與，經(jīng)歷實(shí)踐、探究的過(guò)程，在培養(yǎng)學(xué)生的操作能力與創(chuàng)新意識(shí)的同時(shí)，引導(dǎo)他們?cè)诨顒?dòng)中進(jìn)行反思、領(lǐng)悟與升華，最終獲得幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1. 在操作反思中體驗(yàn)，積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。

本節(jié)課，學(xué)生在探討如何快速計(jì)算“1+3+5+7+…+999”的結(jié)果時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡(jiǎn)，從1開始。學(xué)生在學(xué)具袋中選取需要的圖形，根據(jù)算式“擺圖形”自主探索用圖形表示算式的方法。在擺的過(guò)程中，小組成員不斷嘗試、討論，調(diào)整擺放圖形的位置，探究該如何擺放才能夠快速算出算式的得數(shù)。匯報(bào)交流時(shí)，學(xué)生通過(guò)觀察、對(duì)比發(fā)現(xiàn)，擺成大正方形時(shí)，能夠快速算出圖形總數(shù)即算式的得數(shù)，從而揭示“正方形數(shù)”。教師在課堂上提供學(xué)生自主探索的時(shí)間與空間，學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作探究的過(guò)程中充分體驗(yàn)圖形擺放的多樣性;在“操作—反思—調(diào)整”的過(guò)程中，充分體驗(yàn)用圖形表示數(shù)學(xué)算式的過(guò)程;學(xué)生在活動(dòng)中對(duì)同伴擺出的圖形是否可行敢于提出質(zhì)疑，在調(diào)整圖形擺放位置的過(guò)程中勇于創(chuàng)新，在操作活動(dòng)中不斷積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。

2. 在觀察聯(lián)系中體驗(yàn)，積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。

幾何直觀能夠讓學(xué)生借助圖形直觀理解數(shù)的含義——以形助數(shù);用數(shù)分析圖形——以數(shù)解形，有助于學(xué)生對(duì)圖形本質(zhì)的深度挖掘。課中，由算式到圖形，再由圖形到算式，學(xué)生在深入觀察算式與圖形之間的聯(lián)系時(shí)，體驗(yàn)到的不僅僅是圖形能夠表示數(shù)學(xué)算式，更是充分感受到數(shù)與形之間內(nèi)在的緊密聯(lián)系，不斷積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)生體驗(yàn)的升華。課的最后，筆者通過(guò)呈現(xiàn)“62”讓學(xué)生想象圖形的樣子，再用這幅圖形得到不同的算式。同樣一幅圖，能用不同的算式表示。角度在變，圖形不變;算式在變，結(jié)果不變。學(xué)生借助幾何圖形深入思考算式與圖形間隱藏的關(guān)系，在不斷積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，感受數(shù)學(xué)知識(shí)“變中不變、不變中變”的神奇之處，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

二、思考，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)

幾何直觀能夠使抽象的數(shù)學(xué)具體化、簡(jiǎn)潔化、直觀化，能夠有效幫助學(xué)生分析理解題意，降低題目難度，但學(xué)生普遍缺乏主動(dòng)用圖表來(lái)分析解決問題的意識(shí)與習(xí)慣。本節(jié)課，筆者以數(shù)形結(jié)合為引，拓展學(xué)生思考的深度與廣度，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)與能力，培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)，促進(jìn)幾何直觀素養(yǎng)的培養(yǎng)。

1.“由數(shù)到形”深度思考，培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)。

由數(shù)到形，學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)可以用“正方形數(shù)”表示算式，但正方形越大，奇數(shù)個(gè)數(shù)越多，越不容易算出結(jié)果。學(xué)生結(jié)合圖形思考：（1）算式中的每個(gè)數(shù)在圖形的什么位置？（2）算式中奇數(shù)的個(gè)數(shù)與圖形的什么有關(guān)？（3）如何能夠快速算出小正方形總數(shù)？（4）如何能夠快速算出算式的得數(shù)？以問題為引領(lǐng)，四個(gè)問題層層遞進(jìn)，將算式結(jié)合圖形進(jìn)行深度思考，在問題解決中提升學(xué)生的思維層次，發(fā)現(xiàn)算式與圖形的緊密聯(lián)系，感受以形解數(shù)的直觀性，培養(yǎng)運(yùn)用幾何直觀分析與解決問題的意識(shí)與能力。

2.“由形到數(shù)”廣度思考，培養(yǎng)幾何直觀意識(shí)。

將算式結(jié)合圖形，學(xué)生在探究如何快速計(jì)算得數(shù)時(shí)，通過(guò)“橫著看”圖形的邊得到用平方數(shù)計(jì)算小正方形總數(shù)的方法。通過(guò)不同角度觀察同一圖形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)通過(guò)“斜著看”圖形，算式“1+2+3+…+n+…+3+2+1”也能用平方數(shù)快速算出結(jié)果。如此，學(xué)生的思維廣度得以拓寬。多角度觀察思考，從同一圖形中能產(chǎn)生不同的數(shù)、不同的算式。學(xué)生不斷感受數(shù)中現(xiàn)形、形能生數(shù)、數(shù)形“形影不離”，進(jìn)一步深入了解數(shù)與形間的密切聯(lián)系，使學(xué)生深刻感受到數(shù)形結(jié)合可以使復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單，使抽象的問題變得直觀，凸顯圖形直觀的好處，強(qiáng)化幾何直觀意識(shí)。

三、表達(dá)，在問題解決中發(fā)展幾何直觀應(yīng)用能力

表達(dá)是思維的外顯，在教學(xué)中教學(xué)生善于表達(dá)，有助于強(qiáng)化學(xué)生的交流能力。運(yùn)用幾何直觀分析描述問題是一種數(shù)學(xué)表達(dá)方式，它可以讓學(xué)生的表達(dá)有理有據(jù)，促進(jìn)學(xué)生在表達(dá)中深入思考，在提高分析問題與解決問題的能力的同時(shí)，發(fā)展幾何直觀應(yīng)用能力。

建構(gòu)自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)環(huán)境，有助于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力，使學(xué)生在交流中碰撞思維，學(xué)會(huì)表達(dá)。課的最后，筆者呈現(xiàn)算式? 2+4+6+8+…=？學(xué)生借助圖形在方格紙上探究從2開始n個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和。學(xué)生根據(jù)算式畫出大長(zhǎng)方形，在交流時(shí)，學(xué)生介紹算式中的數(shù)在圖形中的位置。有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，只要數(shù)大長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬邊上的小正方形數(shù)，就能用“長(zhǎng)×寬”快速算出結(jié)果，但學(xué)生無(wú)法清楚表達(dá)如何得出最終結(jié)論。教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)“正方形數(shù)”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，觀察圖形與加數(shù)個(gè)數(shù)的關(guān)系，最終發(fā)現(xiàn)偶數(shù)的個(gè)數(shù)就是寬邊小正方形數(shù)，長(zhǎng)邊小正方形數(shù)比它多1，因此，2+4+6+8+…=n（n+1）。此時(shí)，還有學(xué)生發(fā)現(xiàn)，斜著看圖形可以得到一個(gè)新的算式1+2+3+…+n+n+…+3+2+1。有同學(xué)補(bǔ)充道：可以將算式分成兩部分看，將1+2+3+…+n中的數(shù)首尾相加，得到1+2+3+…+n=（n+1）×n÷2，因此，1+2+3+…+n+n+…+3+2+1=n（n+1），結(jié)論相同。

學(xué)生能將算式中的數(shù)在圖形中直觀呈現(xiàn)出來(lái)，但在表達(dá)如何發(fā)現(xiàn)算式、算法的過(guò)程中會(huì)遇到困難。此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生回歸圖形，在師生、生生互動(dòng)中，借助幾何直觀明晰自己的思維路徑，強(qiáng)化表達(dá)。教師在引導(dǎo)學(xué)生回歸圖形的同時(shí)，學(xué)生的多角度觀察引發(fā)同學(xué)們?cè)俅嗡伎?，根?jù)算式推理結(jié)論，表達(dá)有理有據(jù)。學(xué)生在結(jié)合圖形討論、交流的過(guò)程中，幾何直觀應(yīng)用能力得到了進(jìn)一步強(qiáng)化。

（作者單位：福建省福州市錢塘小學(xué)屏北分校 ）