一種考慮三線擺擺線質(zhì)量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法及虛擬驗(yàn)證

祝恒佳，鄺晨陽(yáng)，呂曉

(1.中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院,天津 300300；2.中國(guó)民航航空地面特種設(shè)備研究基地，天津 300300)

0 前言

三線擺法作為測(cè)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的基本方法之一，因其相對(duì)簡(jiǎn)單的實(shí)驗(yàn)原理和較精確的測(cè)量結(jié)果而被廣泛應(yīng)用。在車輛、航空工程領(lǐng)域，發(fā)動(dòng)機(jī)總成轉(zhuǎn)動(dòng)慣量直接影響隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)件疲勞壽命分析，針對(duì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的準(zhǔn)確測(cè)量具有重要意義。

三線擺由上盤、下盤和3根連接上下盤的擺線組成。在實(shí)驗(yàn)時(shí)，先使下盤繞質(zhì)心軸偏轉(zhuǎn)一個(gè)微小角度，而后釋放使其自由運(yùn)動(dòng)，測(cè)出扭擺周期，根據(jù)保守系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律，計(jì)算下盤繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

通常在使用三線擺時(shí)會(huì)將其視為理想三線擺，擺線為輕質(zhì)擺線，忽視其慣性參數(shù)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。三線擺類似于單擺，其運(yùn)動(dòng)方程并非線性微分方程。而為了計(jì)算方便，常常將方程中的正弦函數(shù)近似一階線性化處理。對(duì)于理想三線擺，擺線長(zhǎng)度越長(zhǎng)，扭擺時(shí)下盤在豎直方向上的位移越小，依據(jù)相關(guān)的公式，不難得出擺長(zhǎng)越長(zhǎng)，精度越大的結(jié)論。但現(xiàn)實(shí)中擺線存在質(zhì)量，若將繃直的擺線視為均質(zhì)的剛性桿，其軸向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很小，而徑向的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很大，在扭擺過(guò)程中擺線將獲得一部分機(jī)械能，并且擺線越長(zhǎng)，其在系統(tǒng)中所占機(jī)械能比重也越大，對(duì)測(cè)量結(jié)果造成的誤差也隨之增大。當(dāng)擺線對(duì)測(cè)量造成的影響不可忽略時(shí)，應(yīng)針對(duì)擺線的影響具體分析。

為了解決三線擺的測(cè)量誤差問(wèn)題，現(xiàn)有的辦法是在搭建三線擺之后對(duì)三線擺進(jìn)行標(biāo)定，改進(jìn)三線擺的參數(shù)。根據(jù)唐曉峰給出的標(biāo)定方法，選用兩個(gè)已知慣性參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量塊置于下盤，使其質(zhì)心與上下盤質(zhì)心共線，分別測(cè)出扭擺周期，進(jìn)一步可獲得改進(jìn)后的下盤質(zhì)量和擺長(zhǎng)。胡志強(qiáng)和胡勇搭建了測(cè)量動(dòng)力總成的三線擺，對(duì)標(biāo)定的結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，證實(shí)使用標(biāo)定后的參數(shù)計(jì)算的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的誤差均可達(dá)到1%以下。PREVIATI采取標(biāo)定非線性微分方程參數(shù)的方法，將運(yùn)動(dòng)方程用泰勒公式展開(kāi)到四階，用最小二乘法求得該三線擺在特定擺幅下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式；經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該方法同樣能將誤差控制在1%以下，且對(duì)于大擺角振蕩同樣具有很高的精確性。以上方法只針對(duì)特定的三線擺進(jìn)行標(biāo)定，更換三線擺后需要重新標(biāo)定，并沒(méi)有深入討論擺線在三線擺系統(tǒng)中能量轉(zhuǎn)化層面的影響。并且PREVIATI的方法較為復(fù)雜，在小擺角的實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)動(dòng)方程高階展開(kāi)帶來(lái)的精度提升并不顯著。葛宇宏、葛志利首次研究了擺線質(zhì)量對(duì)測(cè)量的影響，從能量的角度對(duì)擺線的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行近似分析，通過(guò)哈密頓原理推導(dǎo)了包含擺線參數(shù)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算公式，證明其公式對(duì)精度的提升作用。一般物理實(shí)驗(yàn)使用的三線擺通常尺寸較小，使用細(xì)金屬絲作為擺線材料，擺線質(zhì)量可以忽略不計(jì)。而發(fā)動(dòng)機(jī)動(dòng)力總成質(zhì)量多為幾百公斤，在設(shè)計(jì)三線擺時(shí)通常會(huì)選用鋼絲繩作為擺線材料，其長(zhǎng)度和密度均很大，勢(shì)必會(huì)對(duì)測(cè)量產(chǎn)生影響。

本文作者將采用不同于葛宇宏等的方法研究擺線的運(yùn)動(dòng)，將擺線視為直徑足夠小的剛性桿，從能量守恒的角度推導(dǎo)出考慮擺線質(zhì)量參數(shù)的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量的改進(jìn)公式，與葛宇宏等的計(jì)算方法相比更為簡(jiǎn)便。本文作者還研究了一種可行的三線擺建模方法，采用虛擬樣機(jī)技術(shù)在ADAMS/View環(huán)境建立三線擺虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，使用該模型對(duì)文中提出的測(cè)量改進(jìn)方法進(jìn)行驗(yàn)證，并進(jìn)一步研究了擺線的線密度和長(zhǎng)度對(duì)測(cè)量誤差的影響規(guī)律。

1 改進(jìn)的三線擺測(cè)量方法

1.1 不考慮擺線的計(jì)算方法

剛體慣性參數(shù)三線擺測(cè)量模型的原理如圖1(a)所示，和分別表示上盤和下盤半徑，為上下盤圓心距離，3根擺線的長(zhǎng)度均為，且懸掛點(diǎn)之間以120°角分布。測(cè)量前，將三線擺下盤轉(zhuǎn)過(guò)微小角度，此時(shí)下盤上升微小高度，如圖1(b)所示，可得

(1)

式中：

=-=-(-)

(2)

′=′-′′=-(+-2cos)

(3)

圖1 三線擺模型示意

對(duì)于分母項(xiàng)，由于微小高度遠(yuǎn)小于，可得

+′=2-≈2

(4)

將式(2)—式(4)代入式(1)，則

(5)

忽略空氣阻力，將三線擺系統(tǒng)視為保守系統(tǒng)，在扭擺過(guò)程中機(jī)械能守恒，定義平衡位置的勢(shì)能為0，忽略扭擺過(guò)程中豎直方向的平動(dòng)動(dòng)能，列出能量守恒公式

(6)

式中：表示下盤關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；表示下盤的質(zhì)量；為機(jī)械能常數(shù)。當(dāng)下盤轉(zhuǎn)到最大轉(zhuǎn)角，此時(shí)動(dòng)能∑=0，勢(shì)能∑達(dá)到最大，根據(jù)式(5)中和的關(guān)系，有

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)，將d單獨(dú)放在等式左邊，可得

(8)

對(duì)式(8)兩邊積分，得到周期的計(jì)算公式

(9)

整理可得實(shí)驗(yàn)中被測(cè)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(10)

實(shí)驗(yàn)測(cè)量中需測(cè)量空載時(shí)下盤回轉(zhuǎn)周期，從而計(jì)算下盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；然后測(cè)量帶被測(cè)物體下盤的周期，由此算出下盤和物體總轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，減去下盤的即為被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(11)

式中：為被測(cè)剛體質(zhì)量；為下盤質(zhì)量；為物體關(guān)于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。在測(cè)量時(shí)應(yīng)確保被測(cè)剛體質(zhì)心位于下盤的旋轉(zhuǎn)軸線上，如圖2所示。

圖2 三線擺實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)圖

1.2 考慮擺線的計(jì)算方法

當(dāng)被測(cè)剛體較大，為了滿足承載要求，擺線可能設(shè)計(jì)得較粗，此時(shí)擺線質(zhì)量對(duì)被測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量測(cè)量結(jié)果的影響不能忽略?？紤]在低速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，擺線始終保持拉伸繃直狀態(tài)，可將擺線當(dāng)做桿進(jìn)行分析計(jì)算，擺線上的各點(diǎn)速度大小呈線性分布，如圖3所示，最下端點(diǎn)的速度即為下盤外徑線速度，最上端點(diǎn)與上盤連接，速度為0。在微小擺角的情況下，認(rèn)為速度方向始終垂直于桿方向。下盤擺動(dòng)角速度為，半徑為，有

=

(12)

圖3 擺線速度分布

設(shè)桿的線密度為，微元d的動(dòng)能為

(13)

當(dāng)下盤轉(zhuǎn)過(guò)角度，微元的重力勢(shì)能為

(14)

對(duì)式(13)和式(14)兩邊積分，得到單根擺線的動(dòng)能和勢(shì)能分別為

(15)

(16)

綜上，列出能量守恒公式

(17)

當(dāng)下盤轉(zhuǎn)動(dòng)到最大角度，此時(shí)動(dòng)能∑=0，勢(shì)能∑達(dá)到最大，有

(18)

類似地，聯(lián)立式(17)和式(18)并積分，整理可得改進(jìn)后的被測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(19)

實(shí)際測(cè)量物體時(shí)需要測(cè)量空載和負(fù)載兩種情況下周期，與上一小節(jié)所述方法類似，被測(cè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

(20)

和式(11)相比，式(20)在計(jì)算被測(cè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí)考慮了擺線參數(shù)的影響，其中“”表示單根擺線的質(zhì)量。

2 ADAMS仿真虛擬驗(yàn)證

2.1 三線擺虛擬樣機(jī)模型

如圖4所示，在ADAMS/View中建立三線擺虛擬樣機(jī)測(cè)試平臺(tái)，上盤和下盤材質(zhì)均勻分布，半徑均為600 mm，上下盤間距6 000 mm，通過(guò)3根擺線相連接，擺線連接點(diǎn)在上下圓盤上呈120°分布。李永波、魏禹將圓柱形繩索離散為若干小段通過(guò)彈性襯套相互連接，研究繩索的動(dòng)力學(xué)特性。擺線用Cable模塊進(jìn)行建模，由于該模塊要求繩索至少需要穿過(guò)1個(gè)滑輪，故將3個(gè)滑輪固定于上盤，3根Cable上端連接于上盤中心位置并與上盤固定，如圖5所示?；喤cCable上半段跟隨上盤運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上不因參與扭擺而影響測(cè)量結(jié)果。設(shè)計(jì)下盤最大載質(zhì)量1 000 kg左右，所需擺線最小破斷拉力大于10.2 kN。選用鋼絲繩作為擺線材料，根據(jù)GB/T 9944—2015可知公稱直徑8.0 mm的6×19-WSC鋼絲繩最小破斷拉力為36.1～40.1 kN，參考質(zhì)量為25.8 kg/100 m，具體參數(shù)見(jiàn)表1。

圖4 三線擺虛擬樣機(jī)模型

圖5 滑輪-繩索建模

表1 三線擺參數(shù)

被測(cè)剛性質(zhì)量塊的質(zhì)心位于下盤軸線上，如圖6所示。從模型中能直接獲取其慣性參數(shù)作為基準(zhǔn)值：質(zhì)量=561.672 kg，關(guān)于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量=2.434×10kg·mm，以此對(duì)此改進(jìn)的三線擺測(cè)量方法進(jìn)行驗(yàn)證?？紤]小角度下的扭擺情況，令=5°，設(shè)置步長(zhǎng)0.001 s。在上盤的質(zhì)心處添加一個(gè)旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，設(shè)置階躍函數(shù)，使上盤在0.1 s內(nèi)產(chǎn)生5°的角位移，帶動(dòng)下盤扭擺，獲取空載和負(fù)載兩種工況下的扭擺周期和，由此計(jì)算物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

圖6 被測(cè)剛體質(zhì)量塊模型

2.2 三線擺測(cè)量仿真分析

(1)不考慮擺線慣性

將Cable參數(shù)中的Inertia開(kāi)關(guān)設(shè)為off，此時(shí)擺線質(zhì)量為零即=0，仿真得到下盤角位移-時(shí)間曲線,如圖7所示。

圖7 角位移變化曲線(忽略擺線質(zhì)量)

取前10個(gè)周期，通過(guò)空載和負(fù)載工況下盤角位移的峰值時(shí)間，可計(jì)算得到和分別為3.475 s和1.852 s，代入公式(11)，有

(21)

(2)考慮擺線慣性

將Cable參數(shù)中的Inertia開(kāi)關(guān)設(shè)為on，仿真得到的下盤的角位移-時(shí)間曲線見(jiàn)圖8。同樣地，根據(jù)前10個(gè)周期的峰值時(shí)間，可獲得和分別為3.970 s和1.984 s。代入式(11)，得

=2504×10kg·mm

(22)

(23)

式中：為在模擬現(xiàn)實(shí)工況下根據(jù)公式(11)的計(jì)算結(jié)果；為誤差。而將和代入式(20)，已知=1.548 kg，得

=2469×10kg·mm

(24)

(25)

式中：為改進(jìn)后根據(jù)公式(20)的計(jì)算結(jié)果；為誤差。

結(jié)果表明文中提出的改進(jìn)的三線擺測(cè)量方法可有效降低剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的測(cè)量誤差。

圖8 角位移變化曲線(考慮擺線質(zhì)量)

3 擺線參數(shù)影響分析

根據(jù)式(19)和(20)可知，若假設(shè)擺線直徑相同、材質(zhì)均勻，則對(duì)測(cè)量結(jié)果產(chǎn)生影響的擺線參數(shù)包括線密度和長(zhǎng)度。下面通過(guò)仿真對(duì)這兩個(gè)參數(shù)分別進(jìn)行靈敏度分析虛擬實(shí)驗(yàn)。

3.1 線密度ρ

在三線擺虛擬樣機(jī)模型中，保持?jǐn)[線長(zhǎng)度為6 000 mm，更改材料密度參數(shù)，進(jìn)行多次仿真。下盤和物體總質(zhì)量約為600 kg，鋼絲繩破斷拉力需在6 kN以上，由此設(shè)置擺線模型的參考質(zhì)量區(qū)間為10～60 kg/100 m，仿真結(jié)果見(jiàn)表2?？梢钥闯?，改進(jìn)前、后的測(cè)量結(jié)果誤差與擺線的線密度近似呈線性關(guān)系：

=(127157-0003 19)×100

=(63506-0001 35)×100

式中：的單位為kg/mm。

若要提高測(cè)量的精度，應(yīng)在不影響結(jié)構(gòu)安全的情況下盡量選擇線密度更小的擺線材料。另外觀察到改進(jìn)后的公式相較于不考慮擺線影響的測(cè)量結(jié)果誤差下降50%左右，即便是該范圍內(nèi)最大線密度60 kg/100 m的鋼絲繩，測(cè)量誤差也從改進(jìn)前的7.391%下降為3.689%，對(duì)精度的提升十分明顯。

表2 不同ρ值下的仿真結(jié)果

3.2 擺線長(zhǎng)度L

保持?jǐn)[線的線密度為25.8×10kg/mm不變，更改擺線長(zhǎng)度，進(jìn)行多次仿真實(shí)驗(yàn)。設(shè)置擺線長(zhǎng)度區(qū)間為2 000～8 000 mm，仿真結(jié)果見(jiàn)表3?？梢钥闯?，在實(shí)際測(cè)量中，擺線并非越長(zhǎng)越好。在≤3 000 mm時(shí)，擺線越長(zhǎng)，所引起的測(cè)量誤差越小；超出這個(gè)范圍，誤差隨著的增大而增大，但改進(jìn)后的公式對(duì)于誤差的降低作用依然明顯。針對(duì)該模型參數(shù)，最佳的擺線長(zhǎng)度在3 000 mm附近，分析結(jié)果可以指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)。

表3 不同L值下的仿真結(jié)果

4 結(jié)論

基于能量守恒定律推導(dǎo)了考慮擺線質(zhì)量參數(shù)時(shí)的三線擺剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算方法。在ADAMS/View中建立了測(cè)量大質(zhì)量物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三線擺虛擬樣機(jī)測(cè)試模型，通過(guò)虛擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證三線擺計(jì)算方法的正確性，并揭示了擺線線密度和長(zhǎng)度對(duì)測(cè)量精度的影響規(guī)律。整體上，改進(jìn)后的計(jì)算方法比不考慮擺線影響的測(cè)量結(jié)果誤差約降低50%左右。為了提高三線擺法測(cè)量精度，可在許可范圍內(nèi)盡可能選取較小的擺線密度和最優(yōu)的擺線長(zhǎng)度，文中方法可指導(dǎo)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)設(shè)計(jì)。