運用整體思維解題“五法”

?甘肅省張掖市第二中學 紀相林

1 引言

在解數(shù)學題時，學生常習慣于“由小到大”的思維模式，就是從較復雜的“大問題”中的“小問題”入手，先解決較簡單的小問題，然后再由小到大，積少成多，逐步擴大戰(zhàn)果.但是這種常規(guī)的方法并非萬能鑰匙，面對有些特殊問題，我們深感運算量大、過程繁雜，甚至還可能陷入半途而廢的困境.這時，不妨換個思路，站在宏觀的角度，把待解決的“大問題”看作是一個整體，通過“聚焦”研究問題的形式、結構與特征，有針對性地采用“代入、聯(lián)想、合設方程”[1]等多種轉化的方法與技巧，最終達到化繁為簡、解決問題的目的.

下面結合典型例題，探討運用“整體思維”解決數(shù)學問題的方法與技巧.

2 “整體思維”在解題中的運用

2.1 整體代入法

有些問題在求解時，不能(或不需)分別求出各個量的具體值，只需考慮求出這些量所構成的某代數(shù)式的整體值，就能達到解題的目的.

例1已知直棱柱的底面是等腰梯形，且梯形對角線和梯形底邊的夾角為α，棱柱的側面積為Q，設此直棱柱有內切圓柱，求該圓柱的側面積.

圖1

解：如圖1，梯形ABCD(AB

2DE=AB+CD.

又根據(jù)切線性質，得

AD+BC=AB+CD.

所以DE=AD=BC，故梯形的周長為4DE.

設棱柱的高為h，圓柱的底面半徑為R，那么

Q=4DE·h.

在Rt△BED中，DE=BE·cotα=2R·cotα.

點評：如果按照常規(guī)解法，首先設直棱柱的高為h，圓柱底面半徑為R，則S圓柱=2πRh，但是如何求Rh的值呢？這是關鍵所在.聯(lián)想到Rt△BED與等腰梯形、直棱柱同高的特點，我們就可以避開直接計算Rh，而是選擇將Rh整體代入的方法.這種避繁就簡的方法在立體幾何中會經常用到.

2.2 整體觀察法

整體觀察就是從宏觀的角度來考察問題的結構與特點，從而找到解決問題的突破口.

解：由原不等式變形，得

該不等式對所有實數(shù)x恒成立的充要條件是

所以a的取值范圍是(0,1).

點評：通過整體觀察，發(fā)現(xiàn)不等式左邊的三個對數(shù)式可以轉化為同一類形式.因此，先把不等式變形化簡后再求解，這樣就避免了繁瑣的運算過程.這顯然比通常利用二次函數(shù)的性質求解簡單得多.

2.3 整體配對法

對有些特征明顯的習題，我們可以根據(jù)題型的特點，相應地配出與其相匹配的另一個整體，然后再根據(jù)相互之間的關系求解.

②

2.4 整體聯(lián)想法

所謂整體聯(lián)想，就是通過分析問題的整體結構或特點，找出知識點之間的相似性、相關性等，運用有關知識來解決問題.

因為(α-β)+(β-γ)+(γ-α)=0，所以

tan[(α-β)+(β-γ)+(γ-α)]=0.

整理，可得tan(α-β)+tan(β-γ)+tan(γ-α)=

tan(α-β)tan(β-γ)tan(γ-α).

展開，整體聯(lián)想，代換，即得

點評：經過觀察和聯(lián)想，我們發(fā)現(xiàn)原題待證式中的分式與正切的差角公式相似，而且整個等式又與三角形中的公式tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC[3]相似，所以可以仿其形式，采用整體聯(lián)想、合理代換的方法輕松完成證明.

2.5 合設方程法

對具有某種性質的兩條曲線，如果把它們的方程從整體上合設成一種表達式，就可以收到化繁為簡的效果.

圖2

求證：|AC|=|BD|.

(b2-a2k2)x2-2kma2x-(m2+λb2)a2=0.

設直線與曲線的交點坐標分別為(x1，y1) ，(x2，y2).

所以,兩交點連線段中點的橫坐標為

所以，線段AB和CD的中點重合.

故|AC|=|BD|.

3 結論

從上述各例的技巧分析中可以看出，運用整體思維法來解決數(shù)學問題，具有極大的優(yōu)越性與實用性.學生如果學會運用整體思維法來思考問題，就能夠不斷地開闊思路，激發(fā)靈感，靈活自如地運用并創(chuàng)新出一些更實用的方法和技巧[4]，最終達到提高解題速度與質量的目的.