關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差仿真建模及補(bǔ)償

曾志江，高貫斌，馬文金

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院）

0 引言

隨著現(xiàn)代制造水平的不斷提高，對(duì)精密儀器的精度要求也越來越高，溫度變化對(duì)精密儀器的測(cè)量精度影響十分顯著[1]。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是一種新型的多自由度非正交式坐標(biāo)系測(cè)量機(jī)，由于其靈活性高和便攜性好，現(xiàn)已逐步應(yīng)用于航空航天、機(jī)械制造、汽車船舶等領(lǐng)域。測(cè)量精度是制約關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)發(fā)展的一個(gè)主要因素，溫度變化帶來的熱變形誤差是影響關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度的重要因素[2-3]，采取相應(yīng)措施減小其影響對(duì)提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的精度具有重要意義。

由于熱誤差補(bǔ)償研究對(duì)硬件條件要求高，且需要長(zhǎng)時(shí)間、大數(shù)據(jù)樣本的測(cè)試分析，目前關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差研究的文獻(xiàn)較少。Santolaria[4]等在不同的溫度下對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)，以20 ℃下的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)作為參考基準(zhǔn)值，采用四次多項(xiàng)式擬合預(yù)測(cè)其它溫度下運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)相對(duì)于參考值的偏差，并補(bǔ)償?shù)疥P(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的控制器中，實(shí)現(xiàn)熱誤差補(bǔ)償。胡毅[5]通過對(duì)一標(biāo)準(zhǔn)桿件的長(zhǎng)度測(cè)量，分析了在環(huán)境溫度改變及內(nèi)部熱源對(duì)測(cè)量精度的影響，并建立了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的補(bǔ)償模型對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱變形誤差進(jìn)行修正。于連棟[6]等提出了一種新型圓光柵測(cè)角誤差補(bǔ)償方法，基于諧波方法建立了含有環(huán)境溫度影響因子的圓光柵測(cè)角誤差補(bǔ)償模型，以提高關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的測(cè)量精度。

綜上所述，目前對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差研究均是通過實(shí)驗(yàn)的方法獲得溫度變化后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，并研究運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)變化量與溫度的關(guān)系，尚缺乏數(shù)值模擬與理論上的支撐，溫度變化對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量精度影響的機(jī)理還不夠明確。

為探明關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱變形規(guī)律及其對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的影響，本文建立了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的有限元分析模型，得到了熱變形分布圖，提出一種虛擬坐標(biāo)測(cè)量方法，在有限元分析后測(cè)得關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)，并以此建立熱誤差模型，驗(yàn)證了模型的正確性。

1 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)建模與有限元分析

1.1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是由連桿串聯(lián)多個(gè)關(guān)節(jié)組成的一種空間開鏈?zhǔn)綑C(jī)構(gòu)。通常采用D-H（Denavit-Hartenberg）法來建立關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型[7]。運(yùn)動(dòng)學(xué)模型實(shí)現(xiàn)了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)關(guān)節(jié)空間到坐標(biāo)空間的變換，是關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)測(cè)量的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。

本文實(shí)驗(yàn)對(duì)象如圖1 所示。關(guān)節(jié)臂的型號(hào)為ROMER RA-7125。根據(jù)D-H 法在各關(guān)節(jié)處建立了關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的坐標(biāo)系統(tǒng)，如圖2 所示。通過計(jì)算關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)兩個(gè)相鄰關(guān)節(jié)間的齊次變換矩陣Ti-1,i，見式（1），逐個(gè)相鄰關(guān)節(jié)變換矩陣連乘后再乘以測(cè)頭偏置（lx，ly，lz，1）T，見式（2），就可得到末端測(cè)頭中心在基坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（x,y,z,1）T。

圖1 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)Fig.1 Articulated arm coordinate measuring machine

圖2 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的坐標(biāo)系統(tǒng)圖Fig.2 Coordinate systems of articulated arm coordinate measuring machine

式中：i=1～6——關(guān)節(jié)序號(hào)；θi——關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，為變量，其值可由安裝在軸端的編碼器測(cè)得；αi——關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)角；di——連桿偏距；ai——桿長(zhǎng)。

式中：lx，ly，lz——測(cè)頭中心在第6 關(guān)節(jié)坐標(biāo)系中的位置。

1.2 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差有限元分析

關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作溫度范圍通常為10～40 ℃，本文以25 ℃為參考基準(zhǔn)，在10～40 ℃范圍內(nèi)分析關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)隨環(huán)境溫度變化的規(guī)律。

相比實(shí)際關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)，對(duì)外置平衡機(jī)構(gòu)、外殼、防護(hù)罩部分進(jìn)行簡(jiǎn)化，建立簡(jiǎn)化的三維模型。這些零件對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的熱變形沒有影響，簡(jiǎn)化的模型不影響熱誤差分析結(jié)果。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)主要由2 種材料組成，關(guān)節(jié)處的零件主要為7075 鋁合金，連桿為碳纖維，相關(guān)屬性如表1 所示。關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)如表2 所示。

表1 關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)主要材料屬性Tab.1 Properties of main materials of articulated arm coordinate measuring machine

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)值Tab.2 Values of kinematic parameters

將關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)簡(jiǎn)化三維模型導(dǎo)入有限元分析軟件，對(duì)模型的各部分材料進(jìn)行設(shè)置。ANSYS 自動(dòng)網(wǎng)格劃分的網(wǎng)格自適應(yīng)能力較強(qiáng)，本文采用其自動(dòng)網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格大小也采用智能設(shè)置。固定關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)基座，并施加溫度載荷，分析施加溫度載荷后關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的整體形變。

本文在3 種位姿下分析關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱變形情況。3 種位姿分別采取較近、適中、較遠(yuǎn)位置，以此覆蓋關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的主要工作空間。在關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的工作溫度范圍10～40 ℃下每隔3 ℃采集一次數(shù)據(jù)做分析，由于40 ℃下關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的熱變形誤差最大，所以選用40 ℃下3 個(gè)位姿的熱變形圖作為例子展示其熱變形情況，分別如圖3—圖5 所示。

圖3 40 ℃下位姿一熱變形Fig.3 Thermal deformation of pose 1 at 40 ℃

圖4 40 ℃下位姿二熱變形Fig.4 Thermal deformation of pose 2 at 40 ℃

圖5 40 ℃下位姿三熱變形Fig.5 Thermal deformation of pose 3 at 40 ℃

由圖3—圖5 可以看到，隨著末端位置遠(yuǎn)離基座，熱變形越大，熱變形隨著機(jī)構(gòu)呈現(xiàn)逐級(jí)放大的情況[8-9]，在較遠(yuǎn)位置的最大變形量為0.213 mm。

2 熱誤差補(bǔ)償建模與仿真驗(yàn)證

2.1 關(guān)節(jié)空間參數(shù)虛擬測(cè)量及熱誤差補(bǔ)償模型建立

為量化熱誤差對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)參數(shù)的影響，提出一種虛擬坐標(biāo)測(cè)量方法?；谧鴺?biāo)測(cè)量原理提取有限元分析后的節(jié)點(diǎn)位置數(shù)據(jù)，利用點(diǎn)擬合線和面等幾何元素，再通過對(duì)擬合的幾何元素之間距離和夾角的計(jì)算，得到關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)。如圖6 所示，通過虛擬測(cè)量，發(fā)現(xiàn)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的角度參數(shù)θi，αi不變，而長(zhǎng)度參數(shù)di，ai變化較明顯。

圖6 有限元節(jié)點(diǎn)提取及幾何元素?cái)M合Fig.6 Extraction of finite element nodes and geometric element fitting

由于溫度變化對(duì)長(zhǎng)度為0 的幾何參數(shù)不會(huì)產(chǎn)生影響，所以本文只對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)中不為0 的長(zhǎng)度量d1，d3，d5，d6，a2，a4，a6進(jìn)行測(cè)量，分析溫度變化對(duì)它們的影響規(guī)律。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)3 個(gè)位姿在同一溫度下的各參數(shù)的測(cè)量值基本一致，取3 個(gè)位姿測(cè)量的平均值。在不同溫度下測(cè)量得到的結(jié)果如表3 所示。可以看出，隨著溫度的升高，長(zhǎng)度參數(shù)總體呈逐漸增加的趨勢(shì)。

表3 各溫度下長(zhǎng)度參數(shù)Tab.3 Length parameters at different temperatures

根據(jù)表3 中長(zhǎng)度參數(shù)值的變化可發(fā)現(xiàn)，長(zhǎng)度參數(shù)隨溫度升高呈近似線性增加的現(xiàn)象。由材料平均線膨脹系數(shù)計(jì)算式[10]對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)6 個(gè)關(guān)節(jié)各用一個(gè)對(duì)應(yīng)的溫度系數(shù)Ci來描述長(zhǎng)度參數(shù)隨溫度變化的關(guān)系，如式（3）所示。根據(jù)虛擬測(cè)量的結(jié)果計(jì)算得到各關(guān)節(jié)的溫度系數(shù)如表4 所示。通過各關(guān)節(jié)溫度系數(shù)可以計(jì)算各關(guān)節(jié)在工作溫度范圍內(nèi)任意溫度下的長(zhǎng)度參數(shù)。

表4 各關(guān)節(jié)溫度系數(shù)Tab.4 Temperature coefficients of the joints

式中：L0——基準(zhǔn)溫度下的長(zhǎng)度；ΔL ——長(zhǎng)度的變化量；ΔT——溫度的變化量；i=1～6——關(guān)節(jié)1～6。

由有限元分析后得到溫度系數(shù)Ci可計(jì)算關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)各關(guān)節(jié)在工作溫度范圍內(nèi)任意溫度下的長(zhǎng)度參數(shù)變化量，從而建立基于運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差補(bǔ)償模型，如式（4）和式（5）。

式中：i=1～6 ——關(guān)節(jié)1～6。

2.2 熱誤差仿真補(bǔ)償

使用式（5）中給出的誤差補(bǔ)償模型，對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差進(jìn)行補(bǔ)償仿真。為了避免使用建立誤差補(bǔ)償模型時(shí)用過的溫度數(shù)據(jù)，分別在15，20，30，35 ℃下通過虛擬測(cè)量的方法采集數(shù)據(jù)并進(jìn)行驗(yàn)證。將25 ℃作為參考溫度，在此溫度下位姿一、二、三的測(cè)頭中心坐標(biāo)分別為P1（-44.026，-705.601，448.854），P2（105.438，-1 186.060，230.614），P3（252.507，-812.426，356.097）。六自由度關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)是冗余機(jī)構(gòu)，測(cè)頭中心保持在同一個(gè)位置時(shí)，可以通過改變各關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)角來改變其姿態(tài)。為了將姿態(tài)對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響納入進(jìn)來，在上述P1，P2，P3位置處，通過運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解計(jì)算出每個(gè)位置的任意5 組關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)角，將這些關(guān)節(jié)角代入式（5），可以分別計(jì)算出熱誤差補(bǔ)償前后15，20，30，35℃下的末端位置。對(duì)每個(gè)位置的5 組末端位置數(shù)據(jù)分別求其平均值作為該溫度下補(bǔ)償后的位置，3 個(gè)補(bǔ)償后的位置再計(jì)算相互之間的空間距離，通過在15，20，30，35 ℃下的仿真距離，分析與補(bǔ)償后的距離差值驗(yàn)證空間距離精度提高的情況。圖7—圖9 分別為距離1、距離2、距離3在上述驗(yàn)證組溫度下補(bǔ)償前后空間距離精度對(duì)比圖，熱誤差補(bǔ)償后3個(gè)空間距離精度分別從0.025，0.024，0.035 mm 提高到了0.008，0.012，0.014 mm，空間距離精度得到顯著提高。

圖7 距離1 補(bǔ)償前后精度對(duì)比Fig.7 Accuracy comparison before and after compensation for distance 1

圖8 距離2 補(bǔ)償前后精度對(duì)比Fig.8 Accuracy comparison before and after compensation for distance 2

3 結(jié)論

對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的熱誤差進(jìn)行有限元分析，得到了熱變形分布圖；提出一種虛擬坐標(biāo)測(cè)量方法測(cè)得熱變形后的運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)隨溫度的變化規(guī)律，對(duì)每個(gè)關(guān)節(jié)提出一個(gè)溫度系數(shù)并建立相應(yīng)的熱誤差補(bǔ)償模型，使關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的精度及穩(wěn)定性得到了極大的提高。

采用有限元分析手段及數(shù)值仿真技術(shù)對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)熱誤差進(jìn)行分析，彌補(bǔ)了目前缺乏數(shù)值模擬與理論支撐的缺陷；通過運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù)的虛擬測(cè)量進(jìn)一步明確了熱誤差對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)精度的影響機(jī)理，對(duì)關(guān)節(jié)臂式坐標(biāo)測(cè)量機(jī)后續(xù)的熱誤差分析提供了有效指導(dǎo)。