灰色時(shí)序模型在建筑物沉降觀測中的應(yīng)用

潘順宇，付 饒

（1.山東正元數(shù)字城市建設(shè)有限公司，山東 煙臺(tái) 264670）

灰色時(shí)序模型是一種應(yīng)用廣泛的預(yù)測模型，在植被生長、社會(huì)發(fā)展、貨運(yùn)儲(chǔ)量、建筑沉降等方面都有比較成熟的改進(jìn)模型[1-3]?；疑Ｐ拖拗朴谧陨淼捻憫?yīng)式組成，導(dǎo)致在長期預(yù)測中會(huì)出現(xiàn)比較明顯的指數(shù)增長趨勢，這種增長趨勢在建筑沉降預(yù)測中與實(shí)際沉降情況會(huì)有所出入[4-7]，相關(guān)學(xué)者對(duì)此方面的改進(jìn)工作有較多研究[8-9]。本文在前人工作的基礎(chǔ)上，首先驗(yàn)證了背景值優(yōu)化中梯形公式的作用充當(dāng)近似的數(shù)值積分公式，然后根據(jù)牛頓柯達(dá)斯系數(shù)表討論各種情形下背景值優(yōu)化的方法與積分區(qū)間，并結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正方法對(duì)灰色模型進(jìn)行進(jìn)一步改進(jìn)。

1 灰色時(shí)序模型

由以上變化，且X(0)和X(1)之間滿足式（2）所示的關(guān)系：

對(duì)X(1)進(jìn)行變換，生成緊鄰均值序列z(1)(t)，如式（3）所示：式中，t=2，3，…，n，至此可得灰色模型的基本形式如式（4）所示：

根據(jù)最小二乘準(zhǔn)則求式（4）的最小二乘解，其參數(shù)a、u計(jì)算如式（5）所示：

則灰微分方程為：

令X(1)(1)=X(0)(1)，可得X(1)(t)。

對(duì)累加公式（1）進(jìn)行改寫，將最后一項(xiàng)從累加符號(hào)中單獨(dú)列出。

將式（8）進(jìn)行移項(xiàng)，得到一次累減還原后的原始序列。

以上過程即為傳統(tǒng)灰色時(shí)序模型的預(yù)測過程，在此基礎(chǔ)上，對(duì)灰微分方程式（6）在[t-1，t]上積分。

根據(jù)積分理論展開等式左側(cè)第一項(xiàng)。

使用梯形公式代替式（10）左側(cè)第二項(xiàng)。

綜合以上各式可得與式（4）完全一致的灰色模型，以上推導(dǎo)說明灰微分方程中的第二項(xiàng)積分使用梯形公式代替時(shí)，該式與灰色模型的白化方程是形式一致的?？紤]到數(shù)值積分中存在辛普森公式、柯達(dá)斯公式等其他積分替代公式，下面介紹使用其他形式的數(shù)值積分代替梯形公式的情形。

2 數(shù)值積分改進(jìn)的灰色時(shí)序模型

數(shù)值積分公式來源于牛頓柯達(dá)斯公式，根據(jù)柯達(dá)斯系數(shù)表，可以得到不同階次的數(shù)值積分公式，柯達(dá)斯系數(shù)關(guān)系如表1所示。

表1 部分Cotes系數(shù)

由表1可知，根據(jù)數(shù)值積分可得n=1，2，3，4時(shí)的數(shù)值積分公式，分別對(duì)應(yīng)T（梯形公式），S（辛普森公式），Q（n=3），C（柯達(dá)斯公式），如式（13）～（16）所示。

對(duì)式（16）進(jìn)行積分，由于式（13）～（16）中，步長函數(shù)是根據(jù)積分區(qū)間確定的，因此對(duì)不同階次的數(shù)值積分公式，應(yīng)選擇其n取值長度的積分區(qū)間，以確保步長公式能取到函數(shù)的整值，這一點(diǎn)是確保使用數(shù)值積分改進(jìn)后計(jì)算公式依然能使用離散點(diǎn)的前提，常規(guī)灰色時(shí)序模型已經(jīng)使用式（13）的公式，下面列出其他三式改進(jìn)的灰色模型。

n=2時(shí)，積分形式如式（17）所示：

將式（17）左側(cè)第一項(xiàng)展開，如式（18）所示：

使用n=2的數(shù)值積分公式代替式（17）左側(cè)第二項(xiàng)，如式（19）所示：

式（17）可為式（20）所示的形式：

改寫為矩陣形式，如式（21）所示：

求式（21）的最小二乘解，解算式同式（5），參數(shù)變化如下：

n=3時(shí)，積分形式如式（22）所示：

將式（22）左側(cè)第一項(xiàng)展開，如式（23）所示：使用n=3的數(shù)值積分公式代替式（23）左側(cè)第二項(xiàng)，如式（24）所示：

式（22）可為式（25）所示的形式：

n=4時(shí)，積分形式如式（26）所示：

將式（26）左側(cè)第一項(xiàng)展開，如式（27）所示：

使用n=4的數(shù)值積分公式代替式（26）左側(cè)第二項(xiàng)，如式（28）所示：

式（26）可為式（29）所示的形式：

3 基于傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正

為方便與上述推導(dǎo)區(qū)分，殘差修正部分對(duì)灰色模型所用的符號(hào)標(biāo)記進(jìn)行了更改，原始序列和預(yù)測序列的殘差序列如式（30）所示：

式中，e(k)=X(0)(k)-X^(0)(k)，2≤k≤n。

將上式中殘差序列用傅里葉級(jí)數(shù)表示如式（31）所示：

式（31）整理成矩陣形式如式（32）所示：

系數(shù)解算如式（34）所示：

將系數(shù)值代入到式（31），求得殘差序列E^a(k)如式（35）所示：

4 實(shí)例驗(yàn)證

本文所用驗(yàn)證數(shù)據(jù)，為某建筑沉降監(jiān)測的15期成果，監(jiān)測時(shí)間為2014-05～2016-01，測量中誤差為0.72 mm，其中前九期用于計(jì)算模型參數(shù)，后六期用于驗(yàn)證模型精度，為說明本文所提及的數(shù)值積分改進(jìn)的灰色模型的計(jì)算方法，以下將基于柯達(dá)斯公式改進(jìn)的系數(shù)計(jì)算過程列出。

柯達(dá)斯公式計(jì)算過程如下：

將按X(0)式（1）累加形成X(1)(t)：

按式（3）生成緊鄰均值序列z(1)(t)：

此時(shí)式（21）中，B=[-0.067 0，-0.091 0，

按照式（5）解算系數(shù)結(jié)果為：[au]T=[-0.198 6-0.149 6]T。

分別使用T（梯形公式），S（辛普森公式），Q（n=3），C（柯達(dá)斯公式）結(jié)合灰色模型進(jìn)行沉降參數(shù)計(jì)算，前九期擬合成果與真值的差值如表2所示。

表2 擬合成果與真值的差值對(duì)比

表2的擬合成果中，4種模型未有明顯的精度區(qū)別，從數(shù)值上看，內(nèi)符合精度相當(dāng)，但其差值分布情況不同，差值增大或減小與n的次數(shù)未有明顯的線性規(guī)律，有關(guān)本部分成果的使用將在后續(xù)的殘差修正中提及。后6期的預(yù)測成果如表3所示，在預(yù)測精度評(píng)定中使用真誤差和絕對(duì)值的平均值作為衡量標(biāo)準(zhǔn)，圖1為小數(shù)制的曲線。

表3 預(yù)測成果誤差對(duì)比

由表3及圖1，可以看到C和Q公式下的灰色模型預(yù)測精度已經(jīng)非常接近，各期預(yù)測精度較高，且隨期數(shù)推移的誤差增長比較平緩；S和T公式的預(yù)測精度不僅偏低，且其誤差不穩(wěn)定。隨著預(yù)測時(shí)間的推移，誤差的絕對(duì)值會(huì)接近或突破10 mm；本組驗(yàn)證說明數(shù)值積分的改進(jìn)對(duì)灰色模型背景值平滑起到了比較明顯的作用，但在n=2時(shí)其改進(jìn)效果并不明顯；在n=3時(shí)即可達(dá)到較高的預(yù)測精度，隨著n的增大，最小二乘解算式中的系數(shù)矩陣會(huì)減小行維度，考慮到灰色模型經(jīng)常應(yīng)用在少數(shù)據(jù)的情形中，因此在原始序列較短的情況下可以選擇使用n=3的改進(jìn)公式，其精度相較n=4時(shí)損失較少。

圖1 預(yù)測曲線

下面結(jié)合傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正方法驗(yàn)證本文使用的幾種灰色時(shí)序模型與該修正方法的適用性，由于傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)解算過程矩陣較大，因此沒有列出代入數(shù)據(jù)的矩陣計(jì)算過程，殘差修正的大致思路如下：

1）計(jì)算表2的差值成果，以此作為式（30）的差值成果。

2）根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正方法進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，得到式（35）所示的殘差修正計(jì)算式。計(jì)算表3的預(yù)測成果。

3）根據(jù)式（35）計(jì)算表3中各期預(yù)測成果的殘差修正值。將修正值改進(jìn)到表3的預(yù)測成果中，完成基于傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正。

根據(jù)以上過程，計(jì)算表3預(yù)測數(shù)據(jù)的傅里葉級(jí)數(shù)殘差修正成果，如表4所示，圖2為小數(shù)制的表4曲線。

表4 殘差修正的預(yù)測成果誤差對(duì)比

由表4和圖2可知，傅里葉級(jí)數(shù)改進(jìn)后4種模型的平均誤差都有所下降，不同的模型下降0.5～3 mm不等，但傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正并不能非常明顯地提升精度，例如T的平均修正誤差為6.93 mm，依然低于S未修正的5.06 mm，說明這種殘差修正方法可以在原模型的范圍內(nèi)提高精度，但不能克服模型自身精度偏低的缺陷。其中Q的平均誤差經(jīng)過改正已經(jīng)低于C，這與Q和C未改正的平均誤差本來就接近有關(guān)系，因此不能說明Q的殘差修正成果精度一定高于C，但是此處的成果驗(yàn)證了前文的結(jié)論，在原始序列較短的情況下可以選擇使用n=3的改進(jìn)公式。

5 結(jié)論

本文討論了數(shù)值積分在灰色時(shí)序模型中的背景值優(yōu)化方法，通過實(shí)例驗(yàn)證了其優(yōu)化效果，當(dāng)n取3、4時(shí)，背景值優(yōu)化能夠比較明顯地提升沉降預(yù)測精度，本文實(shí)例中的平均誤差分別為2.50 mm和2.68 mm。基于傅里葉級(jí)數(shù)的殘差修正方法在各種背景值優(yōu)化方案中均能提高預(yù)測精度，但未能起到越級(jí)精度提高的效果，當(dāng)n取3時(shí)其預(yù)測精度高于n取4的方案，平均誤差為1.82 mm。在實(shí)際預(yù)測中，基于傅里葉級(jí)數(shù)殘差修正的n取3與n取4的2種數(shù)值積分改進(jìn)方案均能獲得較高的沉降預(yù)測成果，可以根據(jù)原始序列的長度靈活選擇使用。