熊春寶，龐紅星

基于組合賦權法的小波閾值降噪綜合評價指標研究

熊春寶，龐紅星

(天津大學建筑工程學院，天津 300072)

均方根誤差、信噪比、相關系數(shù)、平滑度等傳統(tǒng)小波降噪效果評價指標適用于純凈信號已知的情況，而在實際應用中監(jiān)測所得信號的純凈狀態(tài)一般是未知的．為解決傳統(tǒng)評價指標的局限性問題，提出一種基于組合賦權法的綜合評價指標．該指標首先是在理論分析和實例驗證的基礎上，從增減性與物理意義角度確定了指標分量為均方根誤差和平滑度；然后利用閾值極大法對兩個指標進行歸一化；最后采用熵權法與變異系數(shù)法對均方根誤差和平滑度的歸一化值進行相應的權重計算并線性組合相加．綜合評價指標的極小值對應的分解尺度與小波基函數(shù)即為最優(yōu)小波參數(shù)．通過對3種不同信噪比(5dB、12.5dB、20dB)的仿真信號進行分析，結果表明，該綜合指標均成功識別到最優(yōu)的分解尺度和小波基函數(shù)，降噪效果達到最佳．與其他綜合指標相比，該指標的準確性和普適性更好．另外，將該指標應用到GNSS監(jiān)測信號中也是可行的，具有一定的工程價值．

小波閾值降噪；綜合評價指標；熵權法；變異系數(shù)法；組合賦權

隨著多系統(tǒng)、高采樣率以及可以實時動態(tài)差分的全球導航衛(wèi)星系統(tǒng)(global navigation satellite system，GNSS)的快速發(fā)展，其在大型土木工程結構的高精度健康監(jiān)測領域中得到廣泛應用[1-3]．然而，環(huán)境激勵下所獲得的GNSS監(jiān)測數(shù)據(jù)會不可避免地遭受噪聲污染，進而影響后續(xù)分析．因此，借助濾波算法對其進行降噪是預處理中很重要的一環(huán)．小波降噪技術因具有優(yōu)良的局部時頻分析能力和多尺度特性在動態(tài)變形監(jiān)測信號降噪中備受青睞[4]，但小波降噪效果受分解尺度、小波基函數(shù)等參數(shù)影響．因此，如何準確選取并確定所需參數(shù)對小波降噪質量的提高具有重要的研究意義．

針對以上研究的不足，本文提出一種新的綜合評價指標用于小波閾值降噪質量的評估．該綜合指標利用熵權法和變異系數(shù)法對均方根誤差和平滑度的歸一化值進行組合賦權，通過綜合評價指標的極小值來識別小波降噪參數(shù)的最優(yōu)值．

1?小波閾值降噪及常用降噪評價指標

1.1?小波閾值降噪原理

一般地，非平穩(wěn)、非線性的原始含噪信號經小波變換后，分解得到相應的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)，通過設置合適的閾值對細節(jié)系數(shù)進行量化處理，最后重構得降噪信號．小波閾值降噪[12-13]的具體步驟主要分為以下3步．

步驟1?信號分解．確定分解尺度和小波基函數(shù)，對原始含噪信號進行小波分解．

步驟2?閾值量化．選取合理的閾值準則和閾值函數(shù)，并對步驟1獲得的細節(jié)系數(shù)進行量化處理．

步驟3?小波重構．利用小波逆變換對步驟2處理后的細節(jié)系數(shù)和未處理的近似系數(shù)進行重構，獲得降噪信號．

上述小波閾值降噪過程中，影響降噪效果的主要因素包括分解尺度、小波基函數(shù)、閾值準則以及閾值量化函數(shù)．對于一般的動態(tài)變形監(jiān)測信號，前兩個因素的最優(yōu)值對降噪效果的影響大于后兩者的選取，并且軟閾值或硬閾值函數(shù)已滿足大部分信號的降噪要求[14-15]．因此，選取最佳的分解尺度和小波基函數(shù)將對小波閾值降噪質量的提高具有重要作用．

1.2?常用降噪評價指標

目前，常用的小波閾值降噪效果評價指標主要有信噪比SNR、均方根誤差RMSE、平滑度、相關系數(shù)等[16-18]．其中，信噪比定義為原始信號與噪聲信號的能量比值，SNR值越大代表降噪效果越好．均方根誤差是指原始信號與降噪后信號方差的平方根，RMSE值越小代表降噪效果越好．平滑度為降噪后信號的差分值平方與原始信號差分值平方的比值，反映的是降噪后信號局部突變的程度，值越小代表降噪效果越好．相關系數(shù)是指降噪后信號與原始信號的相似程度，值越大表示兩者相似度越高，降噪效果越好．

雖然上述常用評價指標從不同的物理含義角度評估降噪效果，但單項使用時具有一定的局限性和片面性．由于實際監(jiān)測所得信號的原始純凈信號是未知的，利用單項指標進行評判時可能會發(fā)生無極值現(xiàn)象，致使難以確定所需參數(shù)(分解尺度、小波基函數(shù))的最優(yōu)值．有時甚至可能會出現(xiàn)極端情況，例如當原始含噪信號中噪聲部分僅濾掉很少一部分或者沒有被去除時，SNR值就會達到很大，RMSE值會很小或為零，值也幾乎等于1，這些結果均可能導致研究人員對濾波算法的降噪效果產生錯誤的判斷．

為進一步說明單項指標在原始純凈信號未知情況下應用的弊端，以單項指標確定最優(yōu)分解尺度為例，利用小波閾值降噪方法對標準測試信號“Blocks+ Heavysine”的疊加進行不同分解尺度的降噪效果分析，其中添加5dB的高斯白噪聲．4個指標隨分解尺度的變化趨勢如圖1所示．從圖1中可以發(fā)現(xiàn)，SNR隨分解尺度增大而逐漸減小，即呈負相關；RMSE呈正相關；隨分解尺度增加而驟降并逐漸收斂平穩(wěn)；呈負相關．4個指標在整個變化過程中均無極值出現(xiàn)，因此無法確定最優(yōu)的分解尺度．由于不同小波基函數(shù)具有類似規(guī)律，鑒于篇幅未列出，下文如未特殊說明均以分解尺度為例．通過上述分析可以看出，尋找一種既能保留單項指標優(yōu)點又可以克服上述弊端的評價指標顯得尤為重要．

圖1?分解尺度對單項評價指標的影響

2?綜合評價指標

為解決上述問題，本文構建一個新的綜合評價指標．該指標的構建過程主要分為兩步：①單項評價指標選??；②綜合評價指標體系確定．接下來將在第2.1節(jié)和2.2節(jié)分別進行闡述．

2.1?單項評價指標選取

本文所提綜合評價指標的核心思想是當指標達到極小值時所對應的分解尺度或小波基函數(shù)即為該參數(shù)的最優(yōu)值．

綜合評價指標的組成分量選取準則如下所述．

(1) 增減性．從第1.2節(jié)分析可知，SNR、、與分解尺度呈負相關，僅有RMSE呈正相關，理論上為使綜合指標出現(xiàn)極值需選RMSE．

(2) 物理意義．表示降噪前后信號的相似性，即兩信號的偏差；由SNR公式看出其分子為RMSE的平方，兩者均與RMSE物理含義具有一定重疊．4個指標中僅有反映降噪信號的局部突變特性．

綜上分析，選取RMSE和作為綜合評價指標的組成分量．

2.2?綜合評價指標體系確定

單項組成指標確定后，面臨如何將兩個指標揉合成一個指標的問題，即多指標向單指標的轉換．筆者借鑒綜合評價方法，將兩指標分別進行賦權并相加得本文綜合評價指標．由于兩指標融合過程中存在單位、數(shù)量級的差異，首先需要將指標進行無量綱化處理，本文采用閾值極大化法將它們歸一化到[0，1]之間．兩指標計算及歸一化公式如下．

均方根誤差RMSE：

平滑度：

然后，對歸一化指標進行權重系數(shù)計算．本文選擇由熵權和變異系數(shù)組合賦權的方法，彌補了單一賦權法的缺陷，使各指標的權重系數(shù)更加科學與合理．

熵權法[19]權重計算具體步驟如下．

步驟1?計算兩個指標的比重．

步驟2?計算兩個指標的熵值．

步驟3?計算兩個指標的權重．

指標熵值越小，則熵權權重越大，說明該指標重要性越大；反之，重要性越小．

變異系數(shù)法[20]權重計算公式如下：

變異系數(shù)越大，則權重越大，越說明該指標可以反映評價差異．

組合賦權的常用處理方法有乘法組合賦權和加法平均組合賦權等[21]．由于乘法組合賦權對數(shù)據(jù)要求較高，如單一賦權法權重值不能為零或負值，以及要求各單一賦權法之間具有強相關性，局限性較大；而加法平均組合賦權對數(shù)據(jù)要求較少，權重值可為正、負或零，并且能夠將權重值或評價比重較大的指標突顯出來．經過綜合考慮，本文選擇加法平均組合賦權計算本文綜合評價指標OPT，具體見式(10)和(11)．

3?仿真分析

為保證本文所提綜合評價指標的工程適用性，需先證明其正確性和普適性．考慮到工程監(jiān)測信號的純凈信號具有未知特性，因此利用仿真信號進行驗證．為確保仿真信號可以盡可能與實際監(jiān)測信號相一致，選擇3個不同頻率的正弦信號、線性信號以及噪聲信號疊加而成的信號進行分析，仿真信號的時域變化如圖2所示．其中采樣數(shù)為2000，采樣頻率為2Hz．仿真信號公式如下：

正確性和普適性的證明方法如下．

(1)驗證正確性．首先基于純凈信號已知條件，計算不同分解尺度和小波基函數(shù)的單項指標，尋找出正確的最優(yōu)值；然后基于含噪信號(即純凈信號未知)情況，計算本文所提綜合評價指標并識別極小值，通過與純凈信號已知時所得最優(yōu)值進行對比，觀察其是否一致．

(2)驗證普適性．如果考慮所有含噪情況，計算量將難以想象，再者也不切實際．因此，為避免結果偶然性同時結合工程監(jiān)測數(shù)據(jù)的含噪特點，本文選擇具有代表性的3種信噪比(5dB、12.5dB、20dB)進行研究，然后比對不同信噪比情況下純凈信號已知與未知時的綜合評價指標對應參數(shù)的最優(yōu)值和純凈信號已知時的單項指標參數(shù)的最優(yōu)值．

3.1?純凈信號已知

首先計算純凈信號已知條件下的單項指標來確定正確的最優(yōu)層數(shù)．依據(jù)單一變量原則，除分解尺度外，其余參數(shù)保持不變．其中為防止分解尺度過大導致信號失真嚴重，層數(shù)選擇1～9層；小波基函數(shù)暫選“db8”，閾值估計方法采用改進的“sqtwolog”準則[22]，計算公式見式(13)，閾值函數(shù)選軟閾值．選擇降噪后信號的RMSE和SNR作為純凈信號已知時判斷最優(yōu)分解尺度的指標，計算結果如圖3所示．為方便對比，RMSE、SNR結果進行對數(shù)運算．

圖3?不同信噪比時單項指標值

表1?純凈信號已知時的綜合評價指標值

Tab.1 Comprehensive evaluation index when the pure signal is known

3.2?純凈信號未知

表2?純凈信號未知時的不同評價指標

Tab.2?Different evaluation indexes when the pure signal is unknown

利用綜合評價指標OPT確定最優(yōu)分解尺度的證明過程已完畢，考慮到最優(yōu)小波基函數(shù)的驗證過程與分解尺度類似，此處不再贅述，僅給出信噪比為12.5dB時的結果并列于表3，其中小波基函數(shù)選擇具有較好正交性和緊支撐性的db與sym小波[23].由表3可以看出，均方根誤差與信噪比在小波基函數(shù)取“db8”時有極小值，因此單項指標確定的最優(yōu)基函數(shù)為“db8”．指標OPT在純凈信號已知和未知情況下均在“db8”時取得極小值，與正確最優(yōu)值結果一致，因此可以說明指標OPT同樣適用于最優(yōu)小波基函數(shù)的確定．

表3?不同小波基函數(shù)對應的單項和綜合指標值

Tab.3 Single and composite index values corresponding to different wavelet basis functions

3.3?與其他方法比較

4?工程實例應用

為探究本文所提基于組合賦權法綜合評價指標的小波閾值降噪在實際工程GNSS監(jiān)測信號中的應用，選取采用GNSS-RTK技術對天津廣播電視塔(簡稱天塔)進行實時動態(tài)變形監(jiān)測試驗的部分數(shù)據(jù)進行分析，其中采樣頻率為10Hz，監(jiān)測數(shù)據(jù)變化規(guī)律如圖4所示．從圖中可以看出天塔結構的真實振動位移被噪聲“吞噬”，影響反映真實位移的特征提供，因此需對其進行一定的降噪處理．首先利用傳統(tǒng)評價指標確定最優(yōu)分解尺度，結果如表4所示．根據(jù)傳統(tǒng)評價準則比較每個指標的值，確定的最優(yōu)分解尺度(表中加粗顯示)既不唯一又較為極端、不合實際．因此傳統(tǒng)評價指標不再適用．接下來利用本文所提綜合評價指標OPT選擇最優(yōu)分解尺度和小波基函數(shù)來對原始信號進行降噪．小波各參數(shù)與第3節(jié)選取一致，指標OPT的計算結果如圖5所示．從圖5可以看出，當分解尺度為6、小波基函數(shù)為“db10”時，指標OPT有極小值，因此最優(yōu)分解尺度為6層，最優(yōu)小波基函數(shù)為“db10”．相比傳統(tǒng)評價指標，本文綜合評價指標計算過程中出現(xiàn)極值，使確定過程更科學、結果更準確．

由于GNSS監(jiān)測信號的純凈信號是未知的，為進一步說明綜合評價指標OPT的有效性，以不同分解尺度為例進行說明．通過比較與分解尺度6相鄰的兩個分解尺度5和7下的降噪后信號(見圖6)可以得出，3種尺度下最大位移由原始信號的24.34mm分別降到18.45mm、16.76mm、15.69mm，噪聲都得到去除，但分解尺度為5時的降噪信號仍存在一定程度的噪聲，“毛刺”現(xiàn)象明顯，屬于欠降噪．而分解尺度為7時的振動位移幅值雖減小得最多，但此時的信號已失真嚴重，原始信號的細節(jié)部分被過度抹去，不滿足實際需求，屬于過降噪．相比尺度5、7，尺度6的降噪信號在去除噪聲與保留原始信號的有效信息方面得到了很好的平衡，屬于最優(yōu)降噪，同時也從時域角度表明了本文所提綜合評價指標OPT在工程應用中的可行性．

圖4?GNSS監(jiān)測信號

表4 工程實例中不同分解尺度對應的傳統(tǒng)指標值

Tab.4 Traditional index values corresponding to differ-ent decomposition scales in the engineering exam-ple

圖5?不同分解尺度和小波基函數(shù)的OPT

圖6?不同分解尺度降噪后信號

圖7為原始信號與降噪后信號的頻譜變化規(guī)律圖.觀察可以看出，利用本文方法確定的小波參數(shù)最優(yōu)值降噪后的信號與原始信號相比，基本完美濾除了高頻噪聲及部分低頻噪聲，并有效保留了低頻有用信息.另外，原始信號識別的結構振動頻率為0.1580Hz，而通過最優(yōu)小波參數(shù)降噪后的信號識別出的結構振動頻率為0.1550Hz，誤差僅為1.9%．同時，從頻域角度也驗證了本文綜合評價指標的可靠性.

圖7?原始信號和降噪后信號的頻譜

5?結論

本文針對已有小波降噪質量評價指標的不足，提出一種新的基于組合賦權法的綜合評價指標OPT.通過仿真信號和工程實例分析，所提綜合指標表現(xiàn)出很好的優(yōu)越性和適用性，主要得到以下結論．

(1) 用熵權法和變異系數(shù)法對均方根誤差與平滑度的歸一化值組合賦權的方法，克服了單一賦權法的缺陷，使兩單項指標的權重分配更加合理和客觀，進而使綜合評價指標更能精確識別小波參數(shù)的最優(yōu)值.

(2) 相比其他綜合評價指標，從單項指標組成分量的選取到分解尺度和小波基函數(shù)最優(yōu)值確定的過程中，本文所提綜合評價指標的物理含義更明確，準確性更高，普適性更好．

(3) 所提綜合評價指標在GNSS監(jiān)測信號的降噪應用中也準確提取出結構的真實振動位移，可為?后續(xù)動態(tài)變形預測奠定基礎，具有很好的工程應用?意義.

本文所提綜合評價指標主要用于確定小波閾值降噪中分解尺度和小波基函數(shù)的最優(yōu)值，然而小波降噪效果還受閾值準則和閾值函數(shù)的影響，因此未來的研究將對上述兩參數(shù)最優(yōu)值的確定進一步展開．

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Investigation on Comprehensive Evaluation Index of Wavelet Threshold Denoising Based on Combination Weighting Method

Xiong Chunbao，Pang Hongxing

(School of Civil Engineering，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

The traditional wavelet denoising effect evaluation indexes，such as the root mean square error，signal-to-noise ratio(SNR)，correlation coefficient，and smoothness，are suitable for known pure signals. However，the pure state of a monitored signal is often unknown in practical applications. To solve the limitations of traditional evaluation indexes，a comprehensive evaluation index based on the combination weighting method is proposed in this study. First，on the basis of theoretical analysis and case verification，the index component was determined as the root mean square error and smoothness from the perspectives of increase-decrease characteristics and physical meaning. Then，the threshold maximum method was used to normalize the two indicators. Finally，the entropy weight method and variation coefficient method were applied to calculate the corresponding weights of the normalized values of root mean square error and smoothness，and the linear combination was added. The decomposition scale and wavelet basis function corresponding to the minimum value of the comprehensive evaluation index were the optimal wavelet parameters. The analysis of three SNR(5，12.5，and 20dB)simulation signals shows that the optimal decomposition scale and wavelet basis function are identified，and the noise reduction effect is optimal. Compared with other comprehensive indicators，the accuracy and universality of the index are better. In addition，this index can be applied to GNSS monitoring signals，which has certain engineering value.

wavelet threshold denoising；comprehensive evaluation indicators；entropy weight method；variation coefficient method；combination weighting

10.11784/tdxbz202109014

P228

A

0493-2137(2022)12-1300-09

2021-09-08；

2021-10-25.

熊春寶（1964—??），男，博士，教授，luhai_tj@163.com.

龐紅星，hongxingpang@tju.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目(61971037).

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No. 61971037).

(責任編輯：樊素英)