例談“以直代曲”思想在證明代數(shù)不等式中的應(yīng)用

金 毅

(內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市第二中學(xué) 010000)

我們經(jīng)常會見到一類條件不等式，給出有限個變量的范圍或它們和的值，之后證明與這些變量有關(guān)的代數(shù)式的和的取值范圍.

一種通常的表現(xiàn)形式是：

當(dāng)然，等號或不等號的呈現(xiàn)形式也不唯一，以上僅作為一個常見表示展現(xiàn)給大家，目的是從形式上先做了解. 我們可以看到，很多解答中對這類問題都展現(xiàn)了非常高超的配湊變形技巧，這讓我們不禁思考：對于這類問題在思考時的總體方向是什么？本文就將深入探究這類問題，將思考的過程予以展現(xiàn)，找出問題思考的總體方向，尋找隱藏在變形技巧后面的總體規(guī)律，并形成主要的解題思想——以直代曲.

1 “以直代曲”思想之割線放縮技巧

割線放縮是以直代曲思想的重要呈現(xiàn)，它的理論基礎(chǔ)是函數(shù)的凸性. 關(guān)于函數(shù)的凸性，我們利用二階導(dǎo)數(shù)判斷，當(dāng)f″(x)≤0在區(qū)間M上成立時，f(x)在區(qū)間M上為上凸函數(shù)；當(dāng)f″(x)≥0在區(qū)間M上成立時，f(x)在區(qū)間M上為下凸函數(shù).

圖1

這樣，我們得到了在[0,1]上的不等關(guān)系

故原不等式成立，取等條件為a=b=c=d=1.

點評本題是利用割線放縮的一道典型例題，首先，整體的放縮方向是“往大放”，同時考慮到函數(shù)的凸性是“下凸”，于是想到“封口”處理. 從圖1來看，直線和函數(shù)是“割線”關(guān)系，故名割線放縮. 事實上，根據(jù)剛才對例題的分析可以看到，函數(shù)的凸性是在放縮過程中必須要重點考慮的一個部分. 可以看到，割線放縮的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)形式，找到要研究的函數(shù)，之后研究這個函數(shù)的凸性區(qū)間端點等非常重要的信息，之后確定直線的位置.

2 “以直代曲”思想之切線放縮技巧

通過剛才的分析，我們知道分析函數(shù)的凸性是極為重要的，這點不僅僅是應(yīng)用在割線放縮中，切線放縮也至關(guān)重要. 同樣，切線放縮也是“以直代曲”思想的重要呈現(xiàn).

圖2

根據(jù)剛才的分析，[0,1]上的凸性不一致，所以我們要用作差配湊的方式嚴(yán)謹(jǐn)證明此不等式.

點評本題依據(jù)函數(shù)在取等條件時的凸性決定使用切線放縮. 本題的函數(shù)凸性不唯一，所以在證明時我們用了作差比較來嚴(yán)格證明. 例1的函數(shù)凸性唯一，所以我們使用圖象說明即可. 切線放縮是一種更為常用的與函數(shù)凸性結(jié)合的方法，一般的步驟仍然是先分析函數(shù)凸性，根據(jù)不等號方向確定切線放縮的直線，同時，切點可以根據(jù)取等條件確定.

令h(x)=-36x3+15x2+2x-1，

h′(x)=-108x2+30x+2=(1-3x)(36x+2)，

所以，令a+b+c=1，得到的是等價不等式，這樣處理是合理的.

3 “以直代曲”思想之切割線放縮的綜合應(yīng)用

可以看出，在[0,2]上函數(shù)凹凸性不唯一，應(yīng)該是先上凸再下凸. 結(jié)合要放縮的方向，我們總體上使用割線放縮. 但是，因為是先上凸后下凸，如果連接區(qū)間端點的話就會穿過圖象，我們的考慮是從區(qū)間左端點向下凸部分引切線. 也就是說，我們用“切點”作為割線放縮“封口”的另一個端點.

圖3

點評從本題來看，雖然主體使用了割線放縮，但是其中的一個端點使用了切點，也就是說，本題綜合使用了前面的兩個“以直代曲”的思路. 事實上，在具體利用直線放縮不等式的時候，不是固定用切線或者是割線，而是一定要根據(jù)函數(shù)的凸性，“因地制宜”地選擇解決問題的方法.

本文展示了“以直代曲”的具體思想來解決代數(shù)不等式問題，給出了每一個放縮時具體用的函數(shù)圖象. 在實際做題中，函數(shù)的凸性分析是至關(guān)重要的. 一定要在具體的問題中靈活運用，用圖形從直觀形象的分析中盡快找到解決問題的思路.