考慮誤差不確定的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測方法

劉顯光，張曉豐，苗青林，高楊軍，秦丕勝

(空軍工程大學(xué)裝備管理與無人機(jī)工程學(xué)院，西安，710051)

隨著世界武器裝備的不斷發(fā)展和各國軍事戰(zhàn)略的調(diào)整，航空制導(dǎo)彈藥成為實現(xiàn)作戰(zhàn)目標(biāo)的重要武器。航空制導(dǎo)彈藥相對于其他彈藥而言具有造價高、數(shù)量少和保障要求高等特點，因此對于航空制導(dǎo)彈藥實施精細(xì)化保障日益成為軍方關(guān)注的焦點。航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測是通過對過往航空制導(dǎo)彈藥在日常戰(zhàn)備值班中的使用壽命消耗數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，對未來航空制導(dǎo)彈藥使用消耗趨勢展開預(yù)測，從而為部隊提前籌劃航空制導(dǎo)彈藥使用計劃提供一定的數(shù)據(jù)支撐。

對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗進(jìn)行預(yù)測通?？梢圆扇?shù)輸入預(yù)測和時間序列預(yù)測兩種方式。其中，參數(shù)輸入預(yù)測通過分析航空制導(dǎo)彈藥使用消耗的影響因素，輸入未來時間段內(nèi)的影響因素參數(shù)來預(yù)測航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗。田德紅等人將訓(xùn)練次數(shù)、訓(xùn)練天數(shù)、出動飛機(jī)架次、參與訓(xùn)練人數(shù)以及彈藥儲備量當(dāng)作輸入?yún)?shù)，分別構(gòu)建了基于鄰域粗糙集與支持向量機(jī)的航空彈藥消耗預(yù)測模型[1]和基于變異粒子群優(yōu)化與深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的航空彈藥消耗預(yù)測模型[2]。愈杰等人利用反向傳播網(wǎng)絡(luò)(back propagation, BP)對彈藥需求與打擊目標(biāo)和毀傷程度等相關(guān)因素之間的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行仿真分析，揭示了彈藥需求與外部因素的非線性關(guān)系[3]。而時間序列預(yù)測主要是通過分析航空制導(dǎo)彈藥使用消耗時間序列數(shù)據(jù)的特征分布，映射出消耗量在時間先后順序上的相關(guān)性，并借此預(yù)測其未來的發(fā)展趨勢。目前，常用的時間序列預(yù)測方法有自回歸移動平滑法(auto-regressive moving average model, ARMA)[4]、灰色理論[5]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6]等。周浩結(jié)合GM(1,1) 模型和灰色馬爾可夫模型對航空器材消耗這類隨機(jī)時間序列展開預(yù)測[7]；周一鳴等人根據(jù)2007-2016年某型航空彈藥保障裝備器材消耗量的實際數(shù)據(jù)，建立了航空彈藥保障裝備器材消耗量的二次指數(shù)平滑模型[8]。

以上對航空彈藥及保障器材的消耗預(yù)測均屬于確定性預(yù)測，即通過給出一條確定的點預(yù)測曲線來刻畫預(yù)測情況。而對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗開展預(yù)測，必須考慮到其實際條件：一是航空制導(dǎo)彈藥造價高，必須充分利用每枚彈藥的使用壽命，對預(yù)測的精度要求更高；二是航空制導(dǎo)彈藥數(shù)量少，其使用消耗主要是指在日常戰(zhàn)備值班中等級起飛以及地面檢測中造成的使用壽命消耗，其數(shù)據(jù)量也相對較少；三是航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗受地區(qū)形勢影響強(qiáng)，數(shù)據(jù)隨機(jī)性高。因此，對于航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗預(yù)測考慮到其數(shù)據(jù)特點和預(yù)測要求，僅給出一條確定性的點預(yù)測曲線來準(zhǔn)確反映航空制導(dǎo)彈藥使用壽命消耗規(guī)律難以實現(xiàn)[9]。

置信區(qū)間估計是一種常用的不確定性處理手段，它用概率區(qū)間來描述預(yù)測值的不確定性，使用置信度來評估預(yù)測的可靠性[10]。通過置信區(qū)間估計能更好地涵蓋航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測過程中的不確定性，提升預(yù)測結(jié)果可信性。本文結(jié)合點預(yù)測誤差數(shù)據(jù)對航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗進(jìn)行置信區(qū)間估計，為航空制導(dǎo)彈藥使用消耗提供了一種切實可行的預(yù)測方法。

1 基于SVR-PSO的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗點預(yù)測

由于支持向量回歸(support vector regression, SVR)模型在非線性、小樣本和隨機(jī)性強(qiáng)的數(shù)據(jù)預(yù)測方面表現(xiàn)較好[11]，故考慮采用SVR方法對航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗情況進(jìn)行點預(yù)測。同時由于SVR模型的參數(shù)直接影響預(yù)測結(jié)果的好壞，利用粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法對SVR模型參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，提高模型的預(yù)測性能。

1.1 SVR算法原理

SVR常用來解決小樣本、非線性回歸問題，它在支持向量機(jī)(support vector machine, SVM)的基礎(chǔ)上引入松弛變量的方式，按照結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則對數(shù)據(jù)進(jìn)行精確擬合。

對于給定的航空制導(dǎo)彈藥歷史使用消耗數(shù)據(jù){(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)}；其中，xi表示第i個時間序列，yi表示第i個時間序列的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗情況，則SVR回歸函數(shù)為：

y=w·φ(x)+b

(1)

式中：w為權(quán)重向量；φ(x)為某一固定的非線性映射；b為偏置量。

按照結(jié)構(gòu)風(fēng)險最小化原則，則SVR優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為最小化線性風(fēng)險泛函問題：

yi-wTφ(xi)-b≤ε+ξ

yi-wTφ(xi)-b≤ε+ξ

(2)

式中：wTw表示樣本的復(fù)雜程度；c為懲罰系數(shù)；ξ和ξ*為松弛因子；ε為不敏感損失系數(shù)。利用拉格朗日乘子法，上述問題可以演變?yōu)椋?/p>

(3)

(4)

1.2 PSO算法尋優(yōu)

在SVR預(yù)測問題中，需要引入懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ，這些參數(shù)的取值對預(yù)測結(jié)果有很大影響，必須選擇合適的參數(shù)來對航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗進(jìn)行預(yù)測。

PSO算法思想來源于對鳥類捕食行為的模仿。假設(shè)每個個體具有初始的位置x0和速度v0，算法通過跟蹤每個個體與自身最優(yōu)解p和群體最優(yōu)解pg的位置關(guān)系來迭代尋優(yōu)，粒子迭代過程如下：

(5)

用PSO算法對SVR進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，步驟如下。

Step1初始化粒子群，確定位置參數(shù)、粒子速度以及懲罰系數(shù)和核函數(shù)參數(shù)的取值范圍，并設(shè)定慣性因子和最大迭代次數(shù)。

Step2計算每一個粒子適應(yīng)度值。由于是對懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ尋優(yōu)，所以適應(yīng)度函數(shù)可以選?。?/p>

(6)

Step3更新自身最優(yōu)解pi和群體最優(yōu)解pg。利用式(5)和(6)更新粒子的位置、速度和適應(yīng)度值，將每一個粒子更新后的適應(yīng)度值與其經(jīng)過的最好位置pi和所有粒子經(jīng)過的最好位置pg進(jìn)行比較，如果優(yōu)于pi和pg，則用該粒子位置代替。

Step4判斷是否達(dá)到終止條件。若達(dá)到，則輸出全局最優(yōu)解的位置即最優(yōu)懲罰系數(shù)c和核函數(shù)參數(shù)σ；若未達(dá)到，則轉(zhuǎn)至Step 3繼續(xù)迭代。

2 基于KDE-HDRs的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗區(qū)間預(yù)測

由于SVR模型的預(yù)測精度和航空制導(dǎo)彈藥使用過程中的各種不確定因素，預(yù)測結(jié)果和實際結(jié)果之間往往存在一定誤差，而誤差的累計會對后續(xù)航空制導(dǎo)彈藥的使用決策造成影響。為了規(guī)避不確定因素(航空制導(dǎo)彈藥在使用保障環(huán)節(jié)中的不確定性、日常戰(zhàn)備起飛的消耗時間不確定性和預(yù)測模型不確定性等)和累計誤差帶來的影響，全面描述航空制導(dǎo)彈藥使用消耗方面的不確定性，在點預(yù)測基礎(chǔ)上利用誤差不確定信息，采取置信區(qū)間估計預(yù)測，使未來實際使用消耗值落入某一置信度下的預(yù)測區(qū)間內(nèi)，為后續(xù)彈藥使用決策提供更充足的信息。

2.1 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗樣本數(shù)據(jù)

航空制導(dǎo)彈藥壽命通常包括日歷壽命和使用壽命。日歷壽命是指航空制導(dǎo)彈藥的儲存年限，隨日歷時間而均勻消耗；使用壽命通常包括通電時間和起落次數(shù)，主要是在航空制導(dǎo)彈藥擔(dān)負(fù)日常戰(zhàn)備值班任務(wù)中由于等級起飛和地面檢測產(chǎn)生相應(yīng)消耗。

由于日常戰(zhàn)備值班任務(wù)中等級起飛事件發(fā)生的不確定性，為了客觀描述航空制導(dǎo)彈藥的日常使用消耗情況，以季度為單位統(tǒng)計航空制導(dǎo)彈藥使用壽命消耗數(shù)據(jù)，在數(shù)據(jù)整理過程中剔除輪戰(zhàn)消耗、履歷文件缺失和大規(guī)模地面檢測等特殊情形。

以某區(qū)域某時間段航空制導(dǎo)彈藥使用消耗的季度通電時間數(shù)據(jù)為參考(共收集整理出60個樣本數(shù)據(jù)，其中選取前50個作為訓(xùn)練集，后10個作為測試集)，對相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行脫密處理后，構(gòu)建航空制導(dǎo)彈藥使用消耗數(shù)據(jù)樣本。

2.2 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差分布

采用第1節(jié)中SVR模型和SVR-PSO模型分別對訓(xùn)練集進(jìn)行預(yù)測，可以得到航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測值與其真實值的預(yù)測誤差情況，如圖1所示。

圖1 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗點預(yù)測誤差對比情況

從圖1中可以看出，PSO算法尋優(yōu)后的SVR模型對真實值擬合效果更好，更能準(zhǔn)確反映航空制導(dǎo)彈藥使用壽命消耗情況。

(7)

為了方便對誤差進(jìn)行統(tǒng)計分析，本文用相對誤差來描述航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差的統(tǒng)計特性，對誤差進(jìn)行歸一化處理：

(8)

式中：e′為測試集中任意航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測值與其真實值的相對誤差；emin和emax分別為訓(xùn)練集中所有時間節(jié)點內(nèi)航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差中最小值與最大值。

使用SVR-PSO模型預(yù)測航空制導(dǎo)彈藥使用消耗的誤差分布及相對誤差情況如圖2所示。

(a)誤差分布直方圖

從圖2可知，在某些時間節(jié)點上，點預(yù)測誤差波動較大，分析發(fā)現(xiàn)該類時間節(jié)點的誤差波動是由于上級機(jī)關(guān)安排及地區(qū)形勢變化所引起。該類樣本點雖然會影響點預(yù)測模型的預(yù)測性能，但其可以進(jìn)一步說明預(yù)測過程中的不確定性，為后續(xù)區(qū)間預(yù)測提供更多的不確定預(yù)測誤差邊界信息。

2.3 基于KDE的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗區(qū)間預(yù)測

一般來說，預(yù)測誤差服從一定的數(shù)學(xué)分布規(guī)律，真實值往往在預(yù)測值周圍分布。而要計算航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測的誤差概率分布，第一步往往是確定其誤差概率密度曲線[12]。

求解概率密度曲線的方法可以分為參數(shù)估計和非參數(shù)估計[13]。其中，參數(shù)估計需先假定航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差服從某一特定數(shù)學(xué)模型，再用已知樣本估計參數(shù)，常用的數(shù)學(xué)模型包括正態(tài)分布、β分布和極值分布等。非參數(shù)估計不需要事先假定模型，而是直接根據(jù)已知樣本信息估計航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗預(yù)測誤差的概率密度，因而非參數(shù)方法比參數(shù)法更能反映樣本的真實情況，常用的非參數(shù)估計有最近鄰函數(shù)法、核密度估計法和樣條函數(shù)法等。

分別使用參數(shù)估計法和非參數(shù)估計法對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行概率密度曲線擬合，誤差擬合結(jié)果見圖3。

圖3 不同估計方法概率密度估計曲線

由圖3可知，由于航空制導(dǎo)彈藥預(yù)測誤差數(shù)據(jù)兩端存在一定的波峰分布(點預(yù)測過程中預(yù)測誤差波動較大的時間節(jié)點)，與參數(shù)估計中事先假定的數(shù)學(xué)分布存在較大偏差，非參數(shù)估計法對上述航空制導(dǎo)彈藥預(yù)測誤差數(shù)據(jù)的擬合程度優(yōu)于其他參數(shù)估計法，能更好的反映航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差數(shù)據(jù)的概率密度分布情況。核密度估計法(kernel density estimation, KDE)是一種利用核函數(shù)基于有限數(shù)據(jù)元來評估總體數(shù)據(jù)分布的非參數(shù)估計法，其基于誤差的核密度估計表達(dá)式為：

(9)

式中：h為帶寬；N為樣本數(shù)；ei為航空制導(dǎo)彈藥使用預(yù)測誤差樣本；K(·)為指定核函數(shù)，主要有高斯核函數(shù)、三角核函數(shù)和Box核函數(shù)等。

對核密度估計法而言，性能的好壞主要是由選取的核函數(shù)類型和帶寬取值決定的。當(dāng)數(shù)據(jù)樣本量足夠大時，核函數(shù)類型選取對估計結(jié)果影響不大。而對于帶寬取值而言，必須綜合考慮擬合度和光滑性，帶寬過大或過小都會影響最終結(jié)果的估計精度[14]。從期望積分平方誤差(mean intergrated squared error, MISE)最小的角度可以求得最佳帶寬h：

(10)

(11)

(12)

當(dāng)核函數(shù)和樣本數(shù)量確定之后，就可以得到最佳帶寬h。

使用核密度估計法進(jìn)行誤差區(qū)間預(yù)測時，一般根據(jù)核密度概率函數(shù)，給定置信度1-η來求解置信區(qū)間。具體求解過程可參考文獻(xiàn)[15]，最終得到預(yù)測置信區(qū)間：

(13)

式中：el和eu分別表示置信度為1-η時的誤差下限和上限：

(14)

式中：F-1(·)為累計概率分布函數(shù)的反函數(shù)，即對于F-1(λ)有P{x≤F-1(λ)}=λ。

2.4 基于HDRs的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗區(qū)間預(yù)測

對于核密度估計法而言，第2.3節(jié)中選擇置信區(qū)間通常采用對稱概率區(qū)間，即α1=η/2、α2=1-η/2。但實際上α1和α2的取值并不唯一，給定任一置信度對應(yīng)著無數(shù)個置信區(qū)間選擇。當(dāng)預(yù)測概率密度曲線不是對稱或單峰時，對稱概率區(qū)間往往不是最合適的置信區(qū)間，尤其在現(xiàn)代許多時間序列預(yù)測模型中，時間序列呈現(xiàn)非線性或非正態(tài)分布，此時，預(yù)測概率密度通常也是非對稱或多模態(tài)的。在這種情形下，使用最高密度域法(highest-density regions, HDRs)可以得到更為合適的預(yù)測區(qū)間[16]。

由2.3節(jié)中核密度估計法對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測誤差進(jìn)行估計，可以得到其概率密度曲線圖4(核函數(shù)為高斯核函數(shù)，帶寬h=4.579 1)，可以看出其分布不是對稱或單峰分布，此時適合采用HDRs來選擇置信區(qū)間。

圖4 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測概率密度曲線

最高密度域是指給定置信度下所占據(jù)密度最高的區(qū)域[17]，通常滿足：①在給定置信度的置信區(qū)間內(nèi)，HDRs占據(jù)樣本空間最??；②HDRs內(nèi)點的函數(shù)值不小于該區(qū)域外點的函數(shù)值。由此可得在置信度為1-η時，其最高密度域選取置信區(qū)間為：

Rη={x:fX(x)≥fη}

(15)

式中：fη為滿足P{X∈Rη}≥1-η的最大值。

由于HDRs占據(jù)樣本空間最小，當(dāng)給定置信度1-η時，只要計算出fη，就可以得出最高密度域的范圍[17]。根據(jù)HDRs占據(jù)最小樣本空間和密度最高的特點，利用HDRs選擇置信區(qū)間可以為航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測提供更為精確具體的預(yù)測區(qū)間。

3 實驗分析

以第2.1節(jié)中航空制導(dǎo)彈藥使用消耗數(shù)據(jù)為研究對象，采用MATLAB R2019a對數(shù)據(jù)進(jìn)行實驗分析。

3.1 預(yù)測效果評價指標(biāo)

考慮不確定因素的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測最終是要為決策者提供未來一段時間內(nèi)航空制導(dǎo)彈藥的使用消耗可能情況，即航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測的悲觀值(置信區(qū)間上限)、理想值(點預(yù)測值)和樂觀值(置信區(qū)間下限)。因此，對于預(yù)測效果的評價應(yīng)分別考慮理想值預(yù)測(點預(yù)測)和區(qū)間預(yù)測結(jié)果的好壞，采用以下3個指標(biāo)來對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測進(jìn)行評價。

1)均方誤差(mean squred error, MSE。式中簡記EMSE)。表示預(yù)測值與真實值之間的差異程度，其值越小，表明點預(yù)測模型預(yù)測精度越高：

(16)

2)決定系數(shù)(R-Square)。 用來判斷點預(yù)測模型對數(shù)據(jù)的擬合效果，其值越大，表明其擬合效果越好：

(17)

3)單位區(qū)間覆蓋率(coverage per unit interval, CPUI)。表示給定置信度下置信區(qū)間對真實值的覆蓋情況與區(qū)間寬度的比值，其值越大，說明區(qū)間預(yù)測模型的單位區(qū)間覆蓋率越高：

(18)

3.2 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗點預(yù)測效果評價

為了驗證SVR模型對航空制導(dǎo)彈藥歷史使用消耗數(shù)據(jù)的預(yù)測效果，將其與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[18]和ARMA模型[17]進(jìn)行對比實驗。其中，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和ARMA模型參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 模型參數(shù)設(shè)置

ARMA模型中p、q參數(shù)的確定是基于BIC(式中簡記為CBIC)準(zhǔn)則(Bayesian information criterion, BIC)確定:

CBIC=lnn-2lnm

(19)

式中：n為模型中參數(shù)的個數(shù)；m為模型的極大似然函數(shù)值。

利用這3類模型在測試集中對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗情況的預(yù)測結(jié)果來比較模型預(yù)測效果，預(yù)測結(jié)果如圖5所示。

圖5 測試集模型預(yù)測性能對比情況

從圖5可以看出，BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和SVR-PSO擬合效果相較于ARMA模型預(yù)測效果較好，這說明對于非線性，小樣本和隨機(jī)性強(qiáng)的數(shù)據(jù)而言，ARMA表現(xiàn)欠缺，進(jìn)一步比較預(yù)測性能指標(biāo)MSE和R2的結(jié)果見表2。

表2 點預(yù)測評價結(jié)果

從這兩個性能指標(biāo)數(shù)值來看，SVR-PSO模型對于航空制導(dǎo)彈藥使用消耗數(shù)據(jù)而言，預(yù)測精度優(yōu)于其他兩種模型。因此，在SVR-PSO模型的基礎(chǔ)上對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗開展不確定性預(yù)測可以得到更為合適的理想?yún)^(qū)間。

3.3 航空制導(dǎo)彈藥使用消耗區(qū)間預(yù)測效果評價

按照2節(jié)中所述方法對航空制導(dǎo)彈藥使用消耗進(jìn)行區(qū)間預(yù)測。

給定置信度1-η=75%時，對SVR模型分別選取概率對稱區(qū)間和最高密度域，將得到的置信區(qū)間同BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以及ARMA模型結(jié)合最高密度域得到的置信區(qū)間進(jìn)行區(qū)間預(yù)測效果對比，預(yù)測結(jié)果如圖6、表3所示。

(a)SVR置信度75%對稱概率預(yù)測區(qū)間

表3 區(qū)間預(yù)測評價結(jié)果

從圖6和表3中可以看出通過最高密度域選取的置信區(qū)間與對稱概率區(qū)間相比，在保證預(yù)測覆蓋率的前提下盡可能減少了區(qū)間的寬度，從而縮小了航空制導(dǎo)彈藥使用消耗區(qū)間預(yù)測的不確定性；同時，由單位區(qū)間覆蓋率可以看出，SVR-HDRs在航空制導(dǎo)彈藥使用消耗數(shù)據(jù)預(yù)測方面相較其他模型性能更好。

4 結(jié)論

近年來，由于缺少對航空制導(dǎo)彈藥的使用壽命消耗預(yù)測研究，隨著戰(zhàn)備強(qiáng)度的不斷提升，航空制導(dǎo)彈藥使用消耗需求日益增大，航空制導(dǎo)彈藥在使用安排上矛盾問題突出，造成航空制導(dǎo)彈藥實際使用壽命浪費。本文結(jié)合航空制導(dǎo)彈藥歷史使用消耗數(shù)據(jù)特點開展預(yù)測，提供了一種科學(xué)合理的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測方法，為后續(xù)航空制導(dǎo)彈藥使用安排提供了理論借鑒，主要結(jié)論如下：

1)SVR-PSO對于小樣本、非線性和隨機(jī)性強(qiáng)的航空制導(dǎo)彈藥使用消耗數(shù)據(jù)而言，相較其他時間序列預(yù)測模型預(yù)測性能更好；

2)在點預(yù)測的基礎(chǔ)上，從誤差不確定性的角度出發(fā)，給出了能夠反映未來航空制導(dǎo)彈藥使用消耗的概率性預(yù)測區(qū)間，為后續(xù)制定彈藥使用計劃提供了理論參考；

3)依據(jù)HDRs理論對核密度估計中的區(qū)間選擇進(jìn)行優(yōu)化。結(jié)果表明HDRs選擇的置信區(qū)間，在指定置信度下可以得出更小的區(qū)間寬度并同時擁有相對更好的區(qū)間覆蓋率。

本文給出了航空制導(dǎo)彈藥使用消耗的點預(yù)測模型以及利用誤差數(shù)據(jù)的區(qū)間預(yù)測模型，但在航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測過程中，僅考慮誤差不確定性不足以反映航空制導(dǎo)彈藥使用消耗預(yù)測過程中的不確定性，后續(xù)應(yīng)當(dāng)考慮更多因素，優(yōu)化預(yù)測模型，提供更為科學(xué)合理的預(yù)測結(jié)果。