立足“三會(huì)”，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度觀察與思考問(wèn)題

鄢學(xué)杰

貴州省貴陽(yáng)市觀山湖區(qū)第一高級(jí)中學(xué) 550081

新課標(biāo)背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，在“以生為本”的基礎(chǔ)上，倡導(dǎo)“立德樹人”教育教學(xué)理念，以期培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”能力.史寧中教授在新課標(biāo)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步說(shuō)明了“三會(huì)”，即用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)思維實(shí)則為邏輯推理過(guò)程，而數(shù)學(xué)語(yǔ)言的本質(zhì)就是我們所熟悉的數(shù)學(xué)模型［1］.想要培養(yǎng)學(xué)生的“三會(huì)”能力，實(shí)則培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理與數(shù)學(xué)建模能力.

用數(shù)學(xué)眼光觀察世界

什么是數(shù)學(xué)眼光？數(shù)學(xué)眼光是指人類從客觀的事物或現(xiàn)象中捕捉到數(shù)學(xué)特征或觀點(diǎn)的一種能力.想要發(fā)展這種能力，離不開對(duì)現(xiàn)實(shí)事物的觀察、分析、比較、猜想與驗(yàn)證等過(guò)程，這就需要帶領(lǐng)學(xué)生從客觀事物或現(xiàn)象的本質(zhì)出發(fā)，讓學(xué)生基于數(shù)學(xué)的角度提出問(wèn)題，并將這些問(wèn)題數(shù)量化后用數(shù)學(xué)語(yǔ)言加以描述.因此，這是一個(gè)數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)創(chuàng)造的過(guò)程，體現(xiàn)了學(xué)生的創(chuàng)造意識(shí).

如超市中大部分大瓶牛奶的包裝盒都是長(zhǎng)方形，而大部分飲料的包裝盒卻是圓柱形，這是為什么呢？

超市是學(xué)生熟悉的場(chǎng)所，學(xué)生對(duì)于牛奶與飲料都非常熟悉，卻鮮有學(xué)生思考過(guò)這個(gè)問(wèn)題.若將這個(gè)問(wèn)題引入到課堂中，不僅體現(xiàn)了生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，還為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)抽象的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察身邊的事物.

就以上這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生經(jīng)過(guò)合作交流，普遍認(rèn)為存在以下幾種可能：①人們習(xí)慣直接喝飲料，圓柱形包裝手感更舒適一些，同時(shí)圓柱形容器也容易制造，符合優(yōu)化原則；②大部分人習(xí)慣將牛奶倒出來(lái)喝，長(zhǎng)方形的包裝便于傾倒，同時(shí)從超市物品排列的角度來(lái)看，長(zhǎng)方形擺放在一起能節(jié)約貨架空間.

從以上角度分析這個(gè)生活問(wèn)題，成功激發(fā)學(xué)生探索欲的同時(shí)，也鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)生活常見(jiàn)的現(xiàn)象進(jìn)行合理抽象和推導(dǎo)，用數(shù)學(xué)思想方法提升了認(rèn)知技能.因此，這種教學(xué)方式的應(yīng)用，不僅讓學(xué)生切身感知到數(shù)學(xué)源于生活的真諦，還有效啟發(fā)了學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的思維.

核心素養(yǎng)的培養(yǎng)離不開實(shí)踐操作、觀察與思考，這不僅是培養(yǎng)學(xué)生形成理性思維與批判能力的主要方式，還是促使學(xué)生形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的重要手段.學(xué)生親歷動(dòng)手操作，常常能有效激活自身原有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)知識(shí)的正遷移解決問(wèn)題.

例1操作要求：如圖1所示，準(zhǔn)備圓形紙張，并于紙張上非圓心的位置任取一點(diǎn)F，折疊這張紙片，使得圓周過(guò)點(diǎn)F，而后展開紙片得到折痕l（可在紙上畫出）.重復(fù)這種折疊方法，可得大量折痕，觀察折痕所圍成的輪廓（見(jiàn)圖2），要求學(xué)生感知最終得到了什么曲線.

圖1

圖2

學(xué)生實(shí)際操作過(guò)程：

（1）取出圓形紙張，設(shè)圓心為A，r為半徑，取圓內(nèi)非圓心的點(diǎn)B；

（2）折疊圓形紙張，讓折疊后的圓弧過(guò)點(diǎn)B，重復(fù)此折疊步驟，獲得大量折痕（畫出）；

（3）觀察折痕所圍成的曲線，借助幾何畫板操作，視覺(jué)效果更好.

通過(guò)以上實(shí)踐操作，學(xué)生經(jīng)過(guò)合作交流，獲得以下猜想：①折痕圍成一個(gè)分別以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)，r為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓；②所得橢圓的焦點(diǎn)（一個(gè)）關(guān)于橢圓任意切線的對(duì)稱點(diǎn)構(gòu)成圓，橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為此圓的圓心，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為該圓的半徑.

以上均為猜想，想要驗(yàn)證猜想是否合理，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明.因此，學(xué)生經(jīng)過(guò)討論，提出了以下證明過(guò)程：

如圖3所示，第一步，證明橢圓上的任意一點(diǎn)都在某條折痕上.

圖3

假設(shè)點(diǎn)H是橢圓上的任意一點(diǎn)，將AH連接且延長(zhǎng)后與圓相交于點(diǎn)D，再連接BD.設(shè)FG為線段BD的垂直平分線，那么FG就是一條折痕.根據(jù)點(diǎn)H位于橢圓上的條件，可知HB+HA=r，同時(shí)HD+HA=AD=r，那么HB=HD，由此可確定點(diǎn)H位于線段BD的垂直平分線上，也就是點(diǎn)H位于折痕FG上.

第二步，證明任意一條折痕均與橢圓為相切的關(guān)系，實(shí)則證明FG和橢圓相切于點(diǎn)H.

若點(diǎn)J是FG上非點(diǎn)H的任意一點(diǎn)，因?yàn)镴B+JA=JD+JA＞DA=r，也就是點(diǎn)J位于橢圓外部，因此FG和橢圓的交點(diǎn)只有H，也可理解為FG和橢圓相切于點(diǎn)H.

值得注意的是：如果點(diǎn)B與點(diǎn)A為重合的關(guān)系，那么所有折痕圍成的曲線輪廓?jiǎng)t是一個(gè)圓.

學(xué)生自主操作、觀察、分析與探索的過(guò)程，實(shí)則為學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光分析世界的過(guò)程.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，一般都建立在學(xué)生學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)上，通過(guò)教師創(chuàng)設(shè)合適的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)情境深入探索，讓學(xué)生逐漸形成用數(shù)學(xué)眼光觀察世界的能力與科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶剿髁?xí)慣，為形成高質(zhì)量的數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

用數(shù)學(xué)思維分析世界

數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)思維不僅貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個(gè)生涯，還對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展具有深遠(yuǎn)的影響.想要學(xué)好數(shù)學(xué)，就要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)去分析與思考生活中的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，通過(guò)操作、觀察、比較、抽象、猜想與概括等手段，并應(yīng)用各種推理方法準(zhǔn)確地闡述自己對(duì)客觀現(xiàn)象的觀點(diǎn)與看法，辨明其中的數(shù)學(xué)關(guān)系，從而更加準(zhǔn)確地認(rèn)識(shí)客觀世界.

波利亞認(rèn)為：生活是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，缺乏生活實(shí)際的思維是空洞且無(wú)依靠的，如果切斷生活與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，那么數(shù)學(xué)思維則無(wú)處發(fā)展［2］.生活實(shí)際能讓學(xué)生直觀形象地感知數(shù)學(xué)知識(shí)的抽象與推理，而抽象與推理又是數(shù)學(xué)思維的發(fā)展基礎(chǔ).因此，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，從生活實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)一些豐富的教學(xué)情境，讓學(xué)生的思維從感性認(rèn)識(shí)提升到理性理解.

例2如圖4所示，某海灣的半島上有一個(gè)停機(jī)坪，若跑道AB的長(zhǎng)度是4.5千米，海岸線l（將海岸線視為直線）與跑道AB所在的直線形成60°的夾角，已知點(diǎn)B為跑道AB與海岸線距離最近的點(diǎn)，點(diǎn)B與海岸線的距離BC的長(zhǎng)度為4千米，且點(diǎn)D是海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn).假設(shè)CD=x千米，點(diǎn)D對(duì)跑道AB的視角是θ.

圖4

問(wèn)題：（1）將tanθ表示為x的函數(shù)；

（2）若θ取最大值，則點(diǎn)D的位置是什么？

分析：（1）觀察圖4，可知θ=∠ADC－∠BDC，為求tanθ的值，可從tan∠ADC與tan∠BDC進(jìn)行分析.顯然，tan∠BDC=，接下來(lái)就是求tan∠ADC的值.作AE⊥CD，E為垂足，不難發(fā)現(xiàn)，隨著x的取值變化，點(diǎn)E的位置會(huì)發(fā)生變化，點(diǎn)E的位置既可能位于線段CD上，也可能位于線段CD外（見(jiàn)圖5），且∠ADC存在銳角或鈍角兩種情況.因此，此處需要進(jìn)行分類討論.

圖5

作AF⊥CB與CB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，根據(jù)題意，可得AF=，此為分類討論的分界點(diǎn).通過(guò)先分后合，可得tanθ=（x＞0）.

（2）求最大值的問(wèn)題，可從以下兩種方法出發(fā)：第一種，因?yàn)榉肿訛橐淮问剑帜笧槎问?，因此可將分子中的“x+4”視為一個(gè)整體，將分子、分母同時(shí)除以“x+4”，而后通過(guò)基本不等式求解；第二種，通過(guò)導(dǎo)數(shù)法獲得最大值.最終不難獲得：位于海灣一側(cè)的海岸線CT上與點(diǎn)C距離6千米的點(diǎn)D處，該跑道的視角最大.

對(duì)于學(xué)生而言，本題的教育價(jià)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于獲得本題的結(jié)論，更重要的是學(xué)生的思維完整地經(jīng)歷了從生活實(shí)際抽象到數(shù)學(xué)問(wèn)題并順利解決問(wèn)題的過(guò)程.這種思維經(jīng)驗(yàn)無(wú)法通過(guò)教師的說(shuō)教而獲得，必須通過(guò)學(xué)生的親身體驗(yàn)與積累而來(lái)，學(xué)生的思考能力也隨著思維的發(fā)展而發(fā)展，直至形成用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力.

學(xué)生掌握用數(shù)學(xué)思維思考世界的能力，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，就是能夠精確地計(jì)算，定量地分析現(xiàn)實(shí)世界，并通過(guò)符號(hào)化或幾何直觀等具體抽象問(wèn)題的共同特征，探索推導(dǎo)出解決一般問(wèn)題的途徑.學(xué)生一旦掌握了這種能力，則能在數(shù)據(jù)搜集、整理與分析中綜合判斷生活問(wèn)題，為更好地推動(dòng)社會(huì)發(fā)展奠定基礎(chǔ).

當(dāng)然，實(shí)際教學(xué)中，教師對(duì)“數(shù)學(xué)思維”的理解更應(yīng)深刻、全面、合理一些.古往今來(lái)，任何數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與發(fā)展都不是孤立的，各種知識(shí)的形成都經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的過(guò)程.在此過(guò)程中，有很多知識(shí)的發(fā)展是相輔相成、互相關(guān)聯(lián)的.正是這種互相關(guān)聯(lián)的存在，才讓數(shù)學(xué)學(xué)科成為一門系統(tǒng)性的學(xué)科，呈現(xiàn)在我們面前的是一種結(jié)構(gòu)化的形式.

鑒于此，教師引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)思維思考世界時(shí)，應(yīng)對(duì)知識(shí)進(jìn)行縱橫雙向聯(lián)系與對(duì)比，引導(dǎo)學(xué)生從宏觀的角度發(fā)現(xiàn)知識(shí)的結(jié)構(gòu)性與系統(tǒng)性，從而建構(gòu)完整、條理清晰的認(rèn)知結(jié)構(gòu).簡(jiǎn)而言之，就是能高屋建瓴地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)這門學(xué)科，能站到一定的高度去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，以凸顯每個(gè)知識(shí)的重要價(jià)值.

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界

數(shù)學(xué)語(yǔ)言包括文字語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言三大類，不論哪一類數(shù)學(xué)語(yǔ)言都具有簡(jiǎn)潔性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、通用性等特征.數(shù)學(xué)語(yǔ)言作為數(shù)學(xué)思維的載體，是用來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的主要工具.教學(xué)中，教師可引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言交流自己的想法，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)敘述法表達(dá)數(shù)學(xué)思維過(guò)程，并用合適的語(yǔ)言表達(dá)對(duì)問(wèn)題的看法、疑惑或解決方法等.這不僅是鍛煉學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征能力的過(guò)程，也是促進(jìn)師生、生生之間進(jìn)行交流學(xué)習(xí)，獲得體驗(yàn)與感悟的過(guò)程.

新課標(biāo)明確提出，操作實(shí)踐、自主探究、合作交流為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本形式.若要實(shí)現(xiàn)有效交流，需建立在對(duì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言深刻理解與靈活應(yīng)用上.

例3已知三個(gè)平面為兩兩相交的關(guān)系，據(jù)此可得三條線，求證：三條線相交于一點(diǎn)或互相平行.

分析：此為一道典型的文字語(yǔ)言命題，如何實(shí)現(xiàn)“文字語(yǔ)言—圖形語(yǔ)言—符號(hào)語(yǔ)言”的轉(zhuǎn)化呢？

三個(gè)平面兩兩相交，可轉(zhuǎn)化成“α∩β=a，β∩γ=b，γ∩α=c”；待求結(jié)論可轉(zhuǎn)化為“求證：a，b，c相交于一點(diǎn)P或a∥b∥c”.

究竟該從什么角度進(jìn)行證明呢？

如圖6所示，因?yàn)棣痢搔?a，β∩γ=b，所以直線a，b?平面β，則a∩b=P或a∥b.

圖6

如果a∩b=P，那么P∈a，α∩β=a，所以P∈α.同理，因?yàn)镻∈γ，所以P∈γ∩α=c，也就是a，b，c相交于點(diǎn)P.

如果a∥b，b?γ，a?γ，可得a∥γ.又a?β，γ∩α=c，所以a∥c.由此可確定a∥b∥c.

證明該命題，學(xué)生將文字語(yǔ)言成功地轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言，反映了學(xué)生良好的表達(dá)能力與邏輯思維能力.解題中，遇到用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)的問(wèn)題，一方面能讓學(xué)生擁有更多交流的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生的邏輯思維變得更加清晰，語(yǔ)言表達(dá)得更加準(zhǔn)確，這對(duì)發(fā)展學(xué)生的理解能力具有直接影響；另一方面，可培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，當(dāng)學(xué)生再遇到生活實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能自然而然地引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)理解與表達(dá)問(wèn)題，形成用符號(hào)程序解決問(wèn)題的能力.

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界的能力，體現(xiàn)在從直觀形象向抽象概括的發(fā)展過(guò)程上，以及自然語(yǔ)言過(guò)渡到數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程，是靜態(tài)描述轉(zhuǎn)向動(dòng)態(tài)描述的必經(jīng)之路.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期訓(xùn)練，學(xué)生能從多維度發(fā)展數(shù)學(xué)表達(dá)能力，提高交流效率，為更好地解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

蘇霍姆林斯基認(rèn)為：每個(gè)人的內(nèi)心深處都期望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者［3］.用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，并用數(shù)學(xué)思維思考世界，從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言完整地表達(dá)事物所處的狀態(tài)、形態(tài)、關(guān)系與過(guò)程，通過(guò)合理地判斷、運(yùn)算與推導(dǎo)等獲得結(jié)論，也就是將數(shù)學(xué)作為一種“工具”來(lái)研究生活現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的體現(xiàn).