深入挖掘考題立意 助推核心素養(yǎng)落地
——由一道2022 年高考導(dǎo)數(shù)壓軸小題引發(fā)的思考

陜西省西安市臨潼區(qū)臨潼中學(xué) 杜小芹 杜 斌（郵編：710600）

縱觀近幾年全國高考試題導(dǎo)數(shù)問題依舊以壓軸題出現(xiàn)，形式呈現(xiàn)多樣化.其基本特點為以基本初等函數(shù)為載體，考查學(xué)生“四基”“四能”及六大核心素養(yǎng)（數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析）.導(dǎo)數(shù)一直以來都是眾多師生關(guān)注的熱點問題，但卻“讓人歡喜讓人憂”，因而對導(dǎo)數(shù)問題的整體把握就顯得至關(guān)重要.

1 真題呈現(xiàn)

（2022 年全國高考乙卷理數(shù)第16 題）已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（a＞0 且a≠1）的極小值點和極大值點，若x1＜x2，則a的取值范圍是.

2 解法探析

解法1 （直接研究函數(shù)性質(zhì)）原問題可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f'(x)=2axlna-2ex有兩個零點x1,x2，且x1＜x2，記g(x)=2axlna-2ex.

當(dāng)a＞1時,x→-∞,g(x)→+∞;x→+∞,g(x)→+∞.不合題意，舍去.

事實上，當(dāng)0＜a＜1時，x→-∞,g(x)→-∞;x→+∞,g(x)→-∞，符合題意，所以0＜a＜1.

點評直接研究函數(shù)g(x)的性質(zhì)，說明函數(shù)g(x)的最大值g(x0)＞0 即可.此解法思路清晰，但計算過程較為繁瑣.

解法2 （臨界相切）原問題可轉(zhuǎn)化為：函數(shù)f'(x)=2axlna-2ex有兩個零點x1,x2，且x1＜x2.即方程2axlna=2ex有兩個實根x1,x2，且x1＜x2.

（1）當(dāng)a＞1時（圖1），x0=1時，a=e,當(dāng)a變小時，函數(shù)y=axlna與函數(shù)y=ex圖象有兩個交點.

圖1

事實上，函數(shù)f'(x)=2axlna-2ex圖象如圖2 所示,函數(shù)f（x）單調(diào)性自左到右依次為遞增，遞減，遞增，且x1（極大值點）＜x2（極小值點），不符合題意.

圖2

圖3

點評通過轉(zhuǎn)化思想，將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f'(x)=2axlna-2ex有兩個零點x1,x2，且x1＜x2.借助曲線與直線臨界相切，求出切點處x0的值，再移動曲線，結(jié)合題意可得a的范圍.

圖4

考慮到a＞1 時，函數(shù)f（x）單調(diào)性自左到右依次為遞增，遞減，遞增，且x1（極大值點）＜x2（極小值點），不合題意，舍去.故0＜a＜1.

由于0＜a＜1，lna＜0，有x0＜0.

因為h(x)在(-∞,x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0,0)內(nèi)單調(diào)遞減，則

以上三種解法蘊含了重要的轉(zhuǎn)化思想.解法1 考查學(xué)生嚴(yán)密邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).解法2，受文獻(xiàn)[3]中解法5 啟發(fā)，基于信息技術(shù)手段的再研究，達(dá)到追根溯源，著重培養(yǎng)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)，此解法為選擇題、填空題首選策略.解法3，巧妙分離函數(shù)，注意到整體代換，此解法為解答題優(yōu)先選取方法.

3 變式拓展

變式1 已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（a＞0 且a≠1）的極小值點和極大值點，若x2＜x1，則a的取值范圍是_____.（答案：(1,e)）

點評變式問題基于類“三次函數(shù)”性質(zhì)背景，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化思想運用.變式1 強化學(xué)生對考題的等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)f'(x)圖象為類似開口向下的拋物線型，變式2、變式3 考查學(xué)生全面系統(tǒng)分析問題的能力.

4 教學(xué)啟示

4.1 重視基礎(chǔ)知識，數(shù)學(xué)思想方法

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，更是高考的熱點之一. 特別是對函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想及構(gòu)造思想五大思想有著較高的要求.解決導(dǎo)數(shù)問題，常以參變分離、函數(shù)分離、換元法、構(gòu)造法、放縮法的綜合應(yīng)用為主.備考中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生深入挖掘不同題目解法的共性，重視本源性方法，淡化特殊技巧，強調(diào)通性通法的深入理解和綜合運用.如：2021 年全國甲卷理科21 題，2018 年全國Ⅱ卷理科21 題，解答思路同考題解法2、解法3.因此,高考試題中涉及指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)等綜合題目中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法值得師生細(xì)細(xì)體味.

4.2 注重一題多解及變式訓(xùn)練

一題多解能提高學(xué)生解題能力和培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維.一題多解可拓寬學(xué)生解題思路，通過多角度審視同一問題，它對鍛煉學(xué)生思維的靈活性有著重要的作用.在開展一題多解的同時進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過多視角、多維度探究問題，從“變”中提煉出“不變”，強化學(xué)生的思維能力和應(yīng)變能力的提升.教學(xué)中，應(yīng)考慮到不同層級學(xué)生思維的差異性，適當(dāng)采用一題多解，可激發(fā)學(xué)生探究新知的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性思維，對培養(yǎng)創(chuàng)新人才有著重要意義.

4.3 借助信息技術(shù)手段彰顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

通過Geogebra 軟件演示，參數(shù)a逐漸變大時，函數(shù)的單調(diào)性自左到右依次為（1）遞減；（2）遞減，遞增，遞減；（3）遞增，遞減，遞增；（4）遞增.發(fā)現(xiàn)：該函數(shù)單調(diào)性與三次函數(shù)的單調(diào)性具有驚人的一致性！解答此題，若熟知三次函數(shù)的單調(diào)性，可為此問題的解決提供重要提示.事實上，近幾年高考對三次函數(shù)的考查也屢見不鮮.如：2022 年全國新高考Ⅰ卷第10 題，2022 年全國甲卷文科第20 題，2021 年全國乙卷理科第10 題，2021 年全國乙卷文科第12 題、第21 題，2020 年全國Ⅲ卷理科第21 題，2020 年全國Ⅲ卷文科第20題均有考查.由此可見，對具有三次（高次）函數(shù)背景的試題應(yīng)引起師生的足夠重視.

教學(xué)中可運用GeoGebra 軟件讓學(xué)生直觀感知數(shù)學(xué)結(jié)論，進(jìn)而再進(jìn)行嚴(yán)密邏輯推理.一方面可調(diào)動學(xué)生探究數(shù)學(xué)問題的積極性，另一方面強化學(xué)生直觀想象素養(yǎng)的有效落實.但在教學(xué)中，教師務(wù)必要處理好直觀想象和數(shù)學(xué)運算的度.在得出數(shù)學(xué)結(jié)論后，一定要組織學(xué)生動手實踐，通過精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)推理來體味數(shù)學(xué)本質(zhì).

5 結(jié)束語

高考試題是教師教學(xué)研究、學(xué)生備考的經(jīng)典素材.教師在教學(xué)中要加強對高考試題的深入研究，從“變”中提煉“不變”，不斷優(yōu)化教學(xué)方式，強化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，不斷促進(jìn)學(xué)生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，力求將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)落到實處.