胡慧如,黃先玖
(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,江西 南昌 330031)
本文主要討論以下Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)
(0.1)
其中(-Δ)α表示分?jǐn)?shù)階Laplacian算子,其階數(shù)為α∈(0,1),V是可變號(hào)的。在(0.1)中,第一個(gè)方程是一個(gè)非線性分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程,位勢函數(shù)φ滿足一個(gè)非線性分?jǐn)?shù)階Poisson方程。因此,(0.1)被稱為Schr?dinger-Poisson系統(tǒng),或又被稱為分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Maxwell系統(tǒng)。它不僅是經(jīng)典非線性薛定諤方程(NLS方程)在物理上的相關(guān)推廣,也是分?jǐn)?shù)階量子力學(xué)中的一個(gè)重要模型。關(guān)于更多的物理背景可參閱文獻(xiàn)[1-3]及其參考文獻(xiàn)。
眾所周知,分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)是由Giammetta[4]首次提出的,擴(kuò)散項(xiàng)僅在Poisson方程中是分?jǐn)?shù)階的。之后,文獻(xiàn)[5]在V(x)≡0且非線性項(xiàng)f(x,u)呈次臨界或臨界增長時(shí)證明了方程(0.1)徑向基態(tài)解的存在性。另外,文獻(xiàn)[6]在V(x)為正的情況下,利用噴泉定理證明了方程(0.1)無窮多個(gè)解的存在性。
近年來,下面的變號(hào)位勢函數(shù)開始被研究:
(V1)V∈C(3,)且
許多學(xué)者研究了帶有上述變號(hào)位勢及具有不同增長條件的Schr?dinger方程無窮多解的存在性,例如文獻(xiàn)[7-8]。在前人工作的基礎(chǔ)上,又有許多學(xué)者在同樣的情況下,研究了不同方程的無窮多解。例如,文獻(xiàn)[7-18]及其參考文獻(xiàn)。特別地,Zhou[8]和Bao[9]討論了帶有變號(hào)位勢的Schr?dinger-Poisson方程無窮多個(gè)小能量解的存在性。然而,很少有文獻(xiàn)通過對偶方法處理分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng)。
借鑒文獻(xiàn)[8-9]中的方法,我們將對V和f做以下假設(shè),討論方程(0.1)在局部非線性條件下無窮多個(gè)小能量解的存在性:
(V2) 對?M>0,有
meas{x∈3:V(x)≤M}<+∞,
(f1) 存在常數(shù)δ1>0和1 |f(x,t)|≤a(x)|t|r1-1,|t|≤δ1,?x∈3, (f3) 存在常數(shù)δ2>0,使得對任意的|t|≤δ2和x∈3有f(x,-t)=-f(x,t)。 下面,我們給出本文的主要結(jié)論。 且當(dāng)k→∞時(shí)uk→0。 在本文中,C>0表示不同的正常數(shù)。 在陳述這一節(jié)內(nèi)容之前,需要注意以下事實(shí):通過(V1)可得,存在一個(gè)常數(shù)V0>0使得對任意的x∈3有令并考慮下面的方程 (1.1) 為了證明結(jié)論,首先定義Gagliardo半范數(shù)為 其中u:3→是一個(gè)可測函數(shù)。 接下來,定義分?jǐn)?shù)階Sobolev空間 Wα,p(3)={u∈Lp(3):u可測且[u]α,p<∞} 賦予范數(shù) (1.2) 當(dāng)p=2時(shí),空間Wα,2(3)與Fourier分析意義下的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間是等價(jià)的,即, Hα(3):=Wα,2(3)= 賦予范數(shù) ‖u‖Hα= 等價(jià)。 假設(shè)Lp(Ω)是一個(gè)Lebesgue空間,將Lp(Ω)中的范數(shù)記為|·|p,Ω,其中Ω?3,1≤p≤+∞。令3和Hα(3)表示通常的分?jǐn)?shù)階Sobolev空間(見文獻(xiàn)[19])。在假設(shè)下,定義工作空間為 (1.3) 和 因此,E是一個(gè)內(nèi)積為 (u,v)EV= (u,v)E,Ω= 范數(shù)為 的Hilbert空間。此外,‖·‖EV和‖u‖E,Ω分別與范數(shù) ‖u‖:=‖u‖E= 和 ‖u‖E,Ω= 等價(jià),且相應(yīng)的內(nèi)積為 (u,v)E= 和 (u,v)E,Ω= 齊次Sobolev空間的定義為 Dα,2(3)= 和內(nèi)積 (1.4) 受文獻(xiàn)[20]中引理3.4的啟發(fā),我們可以用同樣的方法證明下面的引理2.1。 引理2.2[19]對任意的α∈(0,1),Dα,2(3)連續(xù)嵌入3)。即,存在Sα>0使得 (2.1) (2.2) 其中 則對任意的x∈3有由(2.1)和(2.2)可得,當(dāng)2t+4s≥3時(shí),有 (2.3) 接下來,定義截?cái)嗪瘮?shù)h∈C1(,)滿足以下條件:0≤h(t)≤1;當(dāng)t∈時(shí)h(-t)=h(t);當(dāng)|t|≤d時(shí)h(t)≡1;當(dāng)|t|≥2d時(shí)h(t)≡0;當(dāng)t∈[d,2d]時(shí)h(t)單調(diào)遞減。其中,令 fh(x,u)=f(x,u)h(u),?(x,u)∈3× (2.4) 且 (2.5) 考慮下面修正的分?jǐn)?shù)階Schr?dinger-Poisson系統(tǒng) (2.6) 其能量泛函為 Jh(u)= Jh的Gateaux導(dǎo)數(shù)為 (2.7) 令Γk表示E的閉的對稱子集A的族,其中A滿足0?A且γ(A)≥k。下面的臨界點(diǎn)定理來自于文獻(xiàn)[21]。 引理2.3[21]設(shè)E是一個(gè)無限維Banach空間,Jh∈C1(E,)是一個(gè)滿足Jh(0)=0的偶函數(shù)。假設(shè)Jh滿足 (J1)Jh下方有界且滿足(PS)條件; (J2) 對任意的k∈,存在Ak∈Γk使得 引理2.4假設(shè)序列{un}?E滿足:當(dāng)n→∞時(shí)un?u在E中成立,{‖un‖}是一個(gè)有界序列。則當(dāng)n→∞時(shí),有 (2.8) 證畢。 引理2.5假設(shè)(V1)-(V2)和(f1)-(f2)成立,則Jh下方有界且在E上滿足(PS)條件。 證明根據(jù)(V1)-(V2),(f1)-(f2)和h的定義,可以得到 對任意給定的v∈E,令Ω={x∈3:|v|≤1},由r1∈(1,2),H?lder不等式和Jh的定義可得 (2.9) 這說明‖vn‖E,Ωn≤C且C與n無關(guān)。因此, (2.10) 其中,C與n無關(guān)。類似地, 因此, (2.11) 其中,C與n無關(guān)。結(jié)合(2.10)和(2.11),有 有界,且與n無關(guān)。則根據(jù)引理3.1[22]的證明可得 利用(f2)和H?lder不等式可得, (2.12) 利用引理2.4,又得到 (2.13) 結(jié)合(2.12)和(2.13)可得 因此vn→v在E中成立。 證畢。 類似引理3.2[9]和引理3.2[23]的證明,可以得到下面的引理。 引理2.6對任意的k∈存在一個(gè)閉的對稱子集Ak?E,使得γ(Ak)≥k且 證明令En表示E的一個(gè)n-維子空間。由于有限維空間中的所有范數(shù)都是等價(jià)的,故存在常數(shù)β=β(En),使得對任意的v∈En有 ‖v‖≤β‖v‖2 其中‖·‖2是L2(3)中的常用范數(shù)。 接下來斷言,存在一個(gè)常數(shù)M>0,使得對任意的v∈En和‖v‖≤M有 (2.14) 事實(shí)上,若(2.14)不成立,則存在一個(gè)序列{vk}?En{0}使得vk→0在E中成立,并且對任意的k∈有 (2.15) 另一方面,由于En是有限維的,則可假設(shè)uk→u在E中成立。因此uk→u在L2(3)中成立。又由vk→0在E中成立可得 meas{x∈3:|vk|>d}→0,k→∞。 因此, 這與(2.15)矛盾,故(2.14)成立。由(f1),可取d充分小,使得對任意的x∈3和0≤v≤2d有 從而有 Fh(x,v)=F(x,v)≤ (2.16) 又因?yàn)榧僭O(shè)(f3)表明Fh(x,v)關(guān)于v是偶的,所以由(2.16)可得,對任意的v∈En, 其中‖v‖≤min{M,1}。令0<ρ≤min{M,1},An={v∈En:‖v‖=ρ},可以推出γ(An)≥n且 證畢。 定理1的證明由(f1)-(f3)可知Jh是偶的且Jh(0)=0。則由引理2.5和2.6可得Jh有一個(gè)臨界點(diǎn)序列{uk},使得Jh(uk)≤0,以及當(dāng)k→∞時(shí)uk→0。另外,類似引理5.1[24]的證明可得,存在k1使得當(dāng)k≥k1時(shí)有|uk|∞,3≤d。因此,我們得到(0.1)的無窮多個(gè)小能量解。 證畢。1 變分框架
2 引理和結(jié)論