基于區(qū)間算術(shù)的多項(xiàng)式函數(shù)值域的簡捷求法

呂 鑫，侯國亮

(長春師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，吉林 長春 130032)

1 問題的提出

“求函數(shù)值域”是一個(gè)古典的數(shù)學(xué)問題，在科學(xué)研究和工程計(jì)算中都有廣泛應(yīng)用.迄今為止，經(jīng)過一代又一代數(shù)學(xué)人的努力，所總結(jié)出的函數(shù)值域求法種類繁多、形式各異.但對(duì)于表達(dá)式復(fù)雜的函數(shù)，傳統(tǒng)的求法需要借助微積分、極值、利普希茨性質(zhì)、函數(shù)的性態(tài)和曲線走勢等復(fù)雜深?yuàn)W的高等數(shù)學(xué)知識(shí)才能完成，過程繁瑣耗時(shí)，還不易掌握以及廣泛應(yīng)用和推廣.區(qū)間算術(shù)是一門用區(qū)間變量代替點(diǎn)變量進(jìn)行運(yùn)算的數(shù)學(xué)分支，其代數(shù)四則運(yùn)算法則是實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的推廣，但運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)包含原問題精確解的區(qū)間集合，所以應(yīng)用區(qū)間算術(shù)初等理論可以給出計(jì)算函數(shù)值域的簡單便捷、極易掌握的方法.

應(yīng)用區(qū)間算術(shù)理論求解函數(shù)值域的思想只在一些經(jīng)典文獻(xiàn)著作[1-3]中被提及過，沒有進(jìn)行過全面系統(tǒng)的研究.又因?yàn)槿我庖粋€(gè)函數(shù)都可由多項(xiàng)式函數(shù)去進(jìn)行逼近，所以本文主要研究多項(xiàng)式函數(shù)值域的簡捷求法.

2 準(zhǔn)備知識(shí)

今記實(shí)數(shù)集R上所有區(qū)間構(gòu)成的集合為I(R).進(jìn)而，如果D為R的子集(即D?R)，則D上的所有區(qū)間所成之集合，可表示為

I(D){X∈I(R)|X?D}.

事實(shí)上，點(diǎn)區(qū)間就是實(shí)數(shù).當(dāng)然，為了區(qū)間運(yùn)算的需要，任何實(shí)數(shù)在任何時(shí)候都可以看作一個(gè)點(diǎn)區(qū)間.

顯然，對(duì)稱區(qū)間X的中點(diǎn)mid(X)=0.

由定義2.2可知，如果參與運(yùn)算的區(qū)間均為點(diǎn)區(qū)間(即實(shí)數(shù))，上述定義的區(qū)間四則運(yùn)算即為普通的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算.也就是說，區(qū)間四則運(yùn)算是實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的推廣.

從集合論角度看，上述給出的區(qū)間四則運(yùn)算法則有如下等價(jià)形式：

X⊙Y={x⊙y|?x∈X,?y∈Y}，

其中，⊙表示“+、-、·、/”四則運(yùn)算符，且當(dāng)⊙表示“/”時(shí)，要求0?Y.

由此可知，兩區(qū)間之間的代數(shù)四則運(yùn)算本質(zhì)是這兩個(gè)區(qū)間中的任意兩個(gè)元素均進(jìn)行相應(yīng)的實(shí)數(shù)四則運(yùn)算. 本文形象地稱其為區(qū)間代數(shù)運(yùn)算的遍歷性.

進(jìn)而，如果X,Y均為對(duì)稱區(qū)間，那么X·Y也仍是對(duì)稱區(qū)間，且有

根據(jù)區(qū)間四則運(yùn)算法則，結(jié)合實(shí)際情況，給出如下任意包含數(shù)零的區(qū)間X的正偶數(shù)次冪的定義.

其中，n=2k，k∈Z+.

下面首先給出區(qū)間代數(shù)四則運(yùn)算遍歷性的優(yōu)點(diǎn).

x⊙y∈X⊙Y.

當(dāng)⊙表示“/”時(shí)，要求0?Y.

定理2.1(區(qū)間運(yùn)算的包含單調(diào)性)[1]已知任意的X1,X2,Y1,Y2∈I(R)，如果X1?X2，Y1?Y2，那么，

X1⊙Y1?X2⊙Y2.

當(dāng)⊙表示“/”時(shí)，要求0?Y1，0?Y2.

定義2.7(實(shí)值函數(shù)的區(qū)間擴(kuò)展) 設(shè)函數(shù)f:D?R→R，如果存在區(qū)間值映射

F：I(D)→I(R)，

對(duì)任意x∈X，X∈I(D)，有

F([x,x])=f(x)

成立，那么稱F為函數(shù)f的區(qū)間擴(kuò)展.顯然，F(xiàn)(X),X∈I(D)是一個(gè)以區(qū)間X為變量而取值是區(qū)間的函數(shù)，則稱F(X)為區(qū)間值函數(shù).

根據(jù)區(qū)間四則運(yùn)算法則，容易看出實(shí)值函數(shù)f(x),x∈D的區(qū)間擴(kuò)展F(X),X∈I(D)不是唯一的. 例如，若F是f的某一區(qū)間擴(kuò)展，則

F1(X)=F(X)+X-X

是f的另一不同的區(qū)間擴(kuò)展.

由上述定義易知，當(dāng)區(qū)間變量X為點(diǎn)區(qū)間時(shí)，F(xiàn)即為f.

定義2.8 已知區(qū)間值函數(shù)F:I(D)→I(R).對(duì)于任意X,Y∈I(D)，如果

X?Y?F(X)?F(Y)，

那么稱區(qū)間值函數(shù)F具包含單調(diào)性.

定義2.9 表達(dá)式由有限多個(gè)區(qū)間變量的四則運(yùn)算組合而成的函數(shù)稱為區(qū)間有理函數(shù).

定理2.2[4]區(qū)間有理函數(shù)具包含單調(diào)性.

證明 反復(fù)應(yīng)用定理2.1有限多次即可得證.

定理2.3(泰勒中值定理)[5]如果函數(shù)f(x),x∈D?R在x0的某個(gè)鄰域U(x0)內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)任意x∈U(x0)，有

(1)

式(1)稱為函數(shù)f在x0處按(x-x0)的冪展開的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式.

推論2.1 設(shè)x0∈R，n次冪多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0在x0處的泰勒公式為

其中，ai∈R，i=0,1,2,…,n.

證明 因?yàn)槎囗?xiàng)式函數(shù)pn(x)在任一實(shí)數(shù)x0處任意階可導(dǎo)，且當(dāng)k≥n+1時(shí)，有

所以式(1)中的拉格朗日型余項(xiàng)Rn(x,ξ)≡0.

定義2.10[6]設(shè)n次冪多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，ai∈R，i=0,1,2,…,n.表達(dá)式anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的等價(jià)形式

(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0

稱為pn(x)的秦九韶算法形式，即

pn(x)=(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.

定理2.4(多項(xiàng)式函數(shù)區(qū)間擴(kuò)展的Lipschitz性質(zhì)) 設(shè)區(qū)間值函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項(xiàng)式函數(shù)pn(x),x∈D的區(qū)間擴(kuò)展，則存在一常數(shù)k>0，有

wid(Pn(X))≤kwid(X)，?X∈I(D).

證明 根據(jù)區(qū)間有理函數(shù)的Lipschitz性質(zhì)[1]和定義2.9即可得證.

3 主要工作

根據(jù)定義2.7、定義2.8、定義2.9和定理2.2，可得如下結(jié)論.

定理3.1 設(shè)區(qū)間有理函數(shù)Pn(X),X∈I(D)是n次冪多項(xiàng)式函數(shù)pn(x),x∈D的一區(qū)間擴(kuò)展，那么，

pn(X)?Pn(X)，

其中，pn(X)表示多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X∈I(D)上的值域.

由定理3.1表明，多項(xiàng)式函數(shù)pn(x)在區(qū)間X上的值域可借助Pn(X)求得.但這里還有一個(gè)問題，就是區(qū)間Pn(X)和pn(X)差別有多大.這個(gè)問題十分重要，自區(qū)間算術(shù)誕生以來一直是一個(gè)重要的研究方面. 因篇幅限制，本文不打算對(duì)此作深入討論，只介紹一些基本的計(jì)算方法，為讀者提供一定的解題思路，起到拋磚引玉的作用.

例3.1[5]計(jì)算3次冪多項(xiàng)式函數(shù)p3(x)=x3+3x2-9x+12在區(qū)間X0=[-4,-2]上的值域.

解 解法一(傳統(tǒng)求法)

然后確定p3(x)的單調(diào)區(qū)域：

判斷區(qū)間X0=[-4,-2]與各個(gè)單調(diào)區(qū)域的關(guān)系：

X0∩(-∞,-3]=[-4,-3]≠?，X0∩[-3,1]=[-3,-2]≠?，X0∩[1,+∞)=?，

因此，X0=[-4,-2]既不是p3(x)的單調(diào)遞增區(qū)域，也不是其單調(diào)遞減區(qū)域，而是既含有p3(x)單調(diào)遞增區(qū)域，也含有其單調(diào)遞減區(qū)域.

最后，根據(jù)p3(x)在R內(nèi)的連續(xù)性可知其在X0=[-4,-2]上的值域等于其在區(qū)間[-4,-3]和[-3,-2]上的值域的并集，而p3(x)在[-4,-3]和[-3,-2]上的值域可分別根據(jù)單調(diào)性求出：

p3([-4,-3])=[32,39]，p3([-3,-2])=[34,39]，

所以，

p3(X0)=p3([-4,-3])∪p3([-3,-2])=[32,39].

解法二(自然區(qū)間擴(kuò)展求法)

首先給出p3(x)的自然區(qū)間擴(kuò)展:

P3-0(X)=X·X·X+3X·X-9X+12.

然后依據(jù)區(qū)間四則運(yùn)算法則計(jì)算出區(qū)間值函數(shù)P3-0(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值：

P3-0(X0)=[-4,-2]·[-4,-2]·[-4,-2]+3[-4,-2]·[-4,-2]-9[-4,-2]+12=[-22,88].

結(jié)果分析：雖然

P3-0(X0)=[-22,88]?[32,39]=p3(X0)，

但是

wid(P3-0(X0))=110?wid(p3(X0))=7，

所以，P3-0(X0)=[-22,88]是一個(gè)沒有實(shí)用價(jià)值的計(jì)算結(jié)果.

上述無用結(jié)果產(chǎn)生的原因是區(qū)間代數(shù)運(yùn)算遍歷性造成的區(qū)間擴(kuò)張不足.控制區(qū)間運(yùn)算擴(kuò)張最有效的措施之一是減少區(qū)間參與運(yùn)算的次數(shù).

解法三(秦九韶型區(qū)間擴(kuò)展求法)

首先根據(jù)p3(x)的秦九韶算法形式p3(x)=((x+3)x-9)x+12寫出其又一區(qū)間擴(kuò)展(本文稱其秦九韶型區(qū)間擴(kuò)展)：

P3-1(X)=((X+3)·X-9)·X+12.

然后計(jì)算P3-1(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值:

P3-1(X0)=(([-4,-2]+3)·[-4,-2]-9)·[-4,-2]+12=[22,64].

結(jié)果分析：雖然

wid(P3-1(X0))=42>wid(p3(X0))=7，

但與wid(P3-0(X0))=110相比，計(jì)算結(jié)果P3-1(X0)=[22,64]已有很大改進(jìn)，這是一個(gè)好現(xiàn)象.

考慮到多項(xiàng)式函數(shù)的泰勒公式的特殊性和對(duì)稱區(qū)間運(yùn)算的簡化性，又有如下方法.

解法四(泰勒公式型區(qū)間擴(kuò)展求法)

p3(x)=(x+3)3-6(x+3)2+39.

然后基于上述泰勒公式寫出p3(x)的另一區(qū)間擴(kuò)展(本文稱為泰勒公式型區(qū)間擴(kuò)展)：

P3-2(X)=(X+3)3-6(X+3)2+39.

接著，結(jié)合性質(zhì)2.1計(jì)算P3-2(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值：

P3-2(X0)=[-1,1]-6[-1,1]+39=[32,46].

容易看出，該方法計(jì)算的結(jié)果較解法三又有很大改進(jìn).

除了減少區(qū)間參與運(yùn)算的次數(shù)外，定義2.6給出的一類特殊區(qū)間正偶數(shù)次冪運(yùn)算規(guī)則也是控制區(qū)間擴(kuò)張的最有效措施之一.以下方法綜合了解法三和解法四，并運(yùn)用定義2.6.

解法五(綜合求法)

首先給出p3(x)的又一區(qū)間擴(kuò)展：

P3-3(X)=(X+3)2(X-3)+39.

然后，結(jié)合性質(zhì)2.1和定義2.6計(jì)算P3-3(X)在X0=[-4,-2]的函數(shù)值：

P3-3(X0)=(X0+3)2(X0-3)+39=[0,1]·[-7,-5]+39=[-7,0]+39=[32,39]，

即有

P3-3(X0)=p3(X0).

結(jié)果分析：上述結(jié)果的出現(xiàn)并不是偶然現(xiàn)象，因?yàn)榻夥ㄎ宓拿恳粋€(gè)步驟都是在最優(yōu)的控制區(qū)間運(yùn)算的擴(kuò)張(即區(qū)間擴(kuò)張).

4 結(jié)語

綜上所述，利用區(qū)間算術(shù)可以實(shí)現(xiàn)簡化多項(xiàng)式函數(shù)值域求法的目的，但由于區(qū)間運(yùn)算具有區(qū)間擴(kuò)張的不足，一般情況下要想一蹴而就給出函數(shù)值域有些不現(xiàn)實(shí).但是，根據(jù)定理2.4，可以通過細(xì)分定義區(qū)間，計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)在各小區(qū)間上的值域來得到其在原來定義區(qū)間上的值域，但計(jì)算量會(huì)相應(yīng)增大.下一步的研究是將本文提出的多項(xiàng)式函數(shù)值域新求法及其計(jì)算過程形成理論結(jié)果，并應(yīng)用于更一般的函數(shù)類.