4-維冪零李代數(shù)的Hom-Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)

林麗芳，曾月迪，陳梅香

(莆田學(xué)院數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建 莆田 351100)

0 引言

在研究向量場(chǎng)上Witt代數(shù)和Virasoro代數(shù)的量子形變時(shí)，Hom-Lie代數(shù)的結(jié)構(gòu)得到了學(xué)者的關(guān)注與研究[1].Hom-Lie代數(shù)作為李理論的一個(gè)重要研究方向，與李代數(shù)有著十分密切的關(guān)系.近年來一些特殊李代數(shù)上的Hom-結(jié)構(gòu)得到了充分研究，比如一個(gè)5-維可解李代數(shù)[2]、(n-3)-filiform李代數(shù)[3]、扭Heisenberg李代數(shù)[4]、李代數(shù)W(2,2)[5].作為一類重要的李代數(shù)，冪零李代數(shù)的結(jié)構(gòu)和表示在李理論的研究中占有重要地位.GRAAF[6]通過確定基元的方法給出了低維冪零李代數(shù)的分類.本文根據(jù)低維冪零李代數(shù)在同構(gòu)意義下的分類，確定了4-維冪零李代數(shù)的Hom-李代數(shù)結(jié)構(gòu).

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[1]設(shè)L為域上的向量空間，帶有線性映射α:L→L，L上定義一個(gè)乘法運(yùn)算[-,-]:L×L→L(稱為方括號(hào))，如果滿足以下條件：

(i)α[x,y]=[α(x),α(y)], ?x,y∈L；

(ii)[λ1x1+λ2x2,y]=λ1[x1,y]+λ2[x2,y], ?λ1,λ2∈, ?x1,x2,y∈L；

(iii)[x,y]=-[y,x],?x,y∈L；

(iv)Hom-Jacobi等式：

[(α+Id)(x),[y,z]]+[(α+Id)(y),[z,x]]+[(α+Id)(z),[x,y]]=0, ?x,y,z∈L，

則稱(L,[-,-],α)為域上的一個(gè)Hom-Lie代數(shù)，當(dāng)α=Id時(shí)，Hom-Lie代數(shù)就為L(zhǎng)ie代數(shù).

GRAAF[6]對(duì)低維冪零李代數(shù)的結(jié)構(gòu)做出了如下分類：

引理[6]設(shè)L是特征為0的代數(shù)閉域上維數(shù)等于4的冪零李代數(shù)，e1,e2,e3,e4是L的一組基，則在同構(gòu)的意義下，僅有如下三類(其中沒有寫出來的基元方括號(hào)運(yùn)算為0)：

L4,1:[ei,ej]=0；L4,2:[e1,e2]=e3；L4,3:[e1,e2]=e3, [e1,e3]=e4.

下面研究4-維冪零李代數(shù)L4,1,L4,2,L4,3上的Hom-Lie代數(shù)結(jié)構(gòu)，也就是確定其上的滿足Hom-Jacobi等式的自同態(tài).

2 主要結(jié)論

定理1 對(duì)于任何一個(gè)雙線性同態(tài)映射α，(L4,1,α)均可構(gòu)成一個(gè)Hom-Lie代數(shù).

證明 因?yàn)長(zhǎng)4,1是可交換李代數(shù)，基元上的方括號(hào)運(yùn)算等于0，即[ei,ej]=0,i,j=1,2,3,4，所以對(duì)于任何一個(gè)雙線性同態(tài)映射α，α保持基元的方括號(hào)運(yùn)算和Hom-Jacobi恒等式，也即(L4,1,α)構(gòu)成一個(gè)Hom-Lie代數(shù).

定理2 若(L4,2,α)是一個(gè)Hom-Lie代數(shù)，則Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用可表示為

其中，a11a24-a21a14=0，a12a24-a22a14=0，a31,a32,a41,a42,a34,a44為任意常數(shù).

證明 假設(shè)Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用為

將α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，即

[a11e1+a21e2+a31e3+a41e4,a12e1+a22e2+a32e3+a42e4]=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4.

根據(jù)L4,2的基元運(yùn)算，比較兩邊系數(shù)有

a13=a23=a43=0，a33=a11a22-a21a12.

(1)

將α作用在[e1,e4]=0上，可得[α(e1),α(e4)]=0，比較兩邊系數(shù)有

a11a24-a21a14=0.

(2)

將α作用在[e2,e4]=0上，可得[α(e2),α(e4)]=0，比較兩邊系數(shù)有

a12a24-a22a14=0.

(3)

因?yàn)長(zhǎng)4,2上的基元運(yùn)算為[e1,e2]=e3，而e3與其他基元的方括號(hào)運(yùn)算為0，所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式：

[α(ei),[ej,ek]]+[α(ej),[ek,ei]]+[α(ek),[ei,ej]]=0, 1≤i,j,k≤4.

結(jié)合(1)(2)(3)式，即得Hom-同態(tài)α在L4,2的基元上的作用如定理2.

定理3 若(L4,3,α)是一個(gè)Hom-Lie代數(shù)，則Hom-同態(tài)α在L4,3的基元上的作用可表示為如下四種情況：

證明 假設(shè)Hom-同態(tài)α在L4,3的基元上的作用為

由于[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，即方括號(hào)運(yùn)算結(jié)果僅含有e3,e4，而α保持方括號(hào)運(yùn)算，比較運(yùn)算兩邊系數(shù)可知α(e3),α(e4)中含有e1,e2的系數(shù)都為0，即

b13=b23=b14=b24=0.

(4)

將α作用在[e1,e2]=e3上，可得[α(e1),α(e2)]=α(e3)，比較兩邊系數(shù)，并結(jié)合(4)有

b11b22-b21b12=b33，

(5)

b11b32-b31b12=b43.

(6)

將α作用在[e1,e3]=e4上，可得[α(e1),α(e3)]=α(e4)，比較兩邊系數(shù)并結(jié)合(4)有

b34=0，

(7)

b44=b11b33.

(8)

將α作用在[e2,e3]=0上，可得[α(e2),α(e3)]=0，比較兩邊系數(shù)并結(jié)合(4)有

b12b33=0.

(9)

因?yàn)長(zhǎng)4,3上的基元運(yùn)算為[e1,e2]=e3，[e1,e3]=e4，e4與其他基元的方括號(hào)運(yùn)算為0，α(e3),α(e4)中e1的系數(shù)為0，所以α顯然滿足Hom-Jacobi等式：

由(9)可知，b12,b33的取值分為b12=0,b33≠0；b12≠0,b33=0；b12=0,b33=0三種情況.

當(dāng)b12=0,b33=0時(shí)，式(5)(6)(8)可化為

b11b22=0,

(10)

b11b32=b43，

(11)

b44=0.

(12)

由(10)可知，b11的取值分為b11=0和b11≠0兩種情況.

當(dāng)b11=0時(shí)，由(11)可知，b43=0，結(jié)合(4)(7)(12)，即得定理3中第三種情況.

當(dāng)b11≠0時(shí)，由(10)可知，b22=0，結(jié)合(4)(7)(11)(12)，即得定理3中第四種情況.