陳三長， 金福江， 周麗春

(華僑大學(xué) 機電及自動化學(xué)院， 福建 廈門 361021)

在紡織印染中，采用反射光譜表征顏色比三刺激值更加全面和客觀[1-2].單色料反射光譜曲線與染料質(zhì)量占比(染料質(zhì)量與布質(zhì)量的比值)之間的關(guān)系十分復(fù)雜[3-4]，采用全反射光譜[3]進行配色需要在全波段范圍內(nèi)與目標(biāo)反射光譜盡量匹配，從而使表色更加全面.準(zhǔn)確的反射光譜描述函數(shù)是全反射光譜配色的關(guān)鍵.Zhang等[5]采用光譜波峰、波谷和區(qū)域平均反射率等離散點表達光譜特性，可較好地描述光譜曲線的局部特征，但無法表達光譜曲線的整體特征.王波等[6]通過Bezier曲線描述反射光譜，得到準(zhǔn)確的反射光譜解析表達式，并給出控制點與染料質(zhì)量占比的關(guān)鍵函數(shù)關(guān)系，建立反射光譜與染料質(zhì)量占比之間的關(guān)系，但該方法僅描述Bezier控制點與染料質(zhì)量占比之間的變化曲線.

單色料上染時，單色料反射率的函數(shù)為可見光波長和染料質(zhì)量占比的函數(shù)[7]，在三維空間中可用曲面進行表征.上述單色料配色模型僅對有限個反射光譜或有限個單色料反射率與染料質(zhì)量占比的變化曲線進行描述，僅描述曲面的有限條曲線，因此，對單色料配色模型的描述并不全面.基于此，本文提出一種單色料反射光譜曲面配色方法.

1 單色料反射光譜曲面建模

1.1 單色料反射光譜曲面

單色料上染時，單色料反射率的函數(shù)是染料質(zhì)量占比和可見光波長的二元函數(shù)，在三維空間內(nèi)是一個曲面[8]，稱為反射光譜曲面.反射光譜曲面的定義(定義1)及定理(定理1)如下.

定義1單色料上染時， 單色料反射率r(0≤r≤1)隨著可見光波長λ(λ>0)和染料質(zhì)量占比c(0≤c≤100)變化的函數(shù)表示為f(λ，c).當(dāng)染料質(zhì)量占比c為定值時，f(λ，c)表征實際單色料上染時的反射光譜曲線；當(dāng)可見光波長λ為定值時，f(λ，c)表征實際單色料上染時，固定可見光波長下單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化的反射光譜曲線.定義集合S={400 nm≤λ≤700 nm，0%≤c≤6.0%}，即λ∈[400 nm，700 nm]，c∈[0%，6.0%].該集合的可見光波長范圍、染料質(zhì)量占比范圍均為染整工業(yè)中的常用范圍，如果f(λ，c)是單值連續(xù)性函數(shù)[9]，且一階偏導(dǎo)存在且連續(xù)[10-11]，則將f(λ，c)定義為反射光譜曲面.

定理1反射光譜曲面有以下4個性質(zhì).

1) ?(λ0，c0)∈S，在實際單色料上染中，f(λ0，c0)為單值函數(shù).

根據(jù)實際單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比和可見光波長變化的函數(shù)，定義了反射光譜曲面，反射光譜曲面應(yīng)保證定義域內(nèi)連續(xù)且光順，與實際單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比和可見光波長的連續(xù)變化一一對應(yīng).單色料反射光譜曲面很好地表征了單色料上染時的配色模型.

在可見光波長范圍和染料質(zhì)量占比范圍內(nèi)，紅、黃、藍3色的單色料反射率表征了染料對不同波段的作用大小.因此，將紅、黃、藍3色光的中心可見光波長分為3個波段，分別為藍光波段(400 nm≤λ≤505 nm)、黃光波段(505 nm≤λ≤615 nm)和紅光波段(615 nm≤λ≤700 nm).需說明的是，由于反射光譜曲面處處連續(xù)，處處光順，3個波長范圍的左、右區(qū)間均為閉區(qū)間，不用對邊界進行明確分類，邊界點滿足邊界兩側(cè)的函數(shù)關(guān)系，染料質(zhì)量占比分類亦如此.

染料質(zhì)量占比的變化會引起反射光譜的變化，在染整配色中，二者為非線性變化.將染料質(zhì)量占比分為低質(zhì)量占比(0%≤c≤0.4%)、中質(zhì)量占比(0.4%≤c≤1.2%)和高質(zhì)量占比(1.2%≤c≤6.0%)，不同染料質(zhì)量占比的反射光譜呈現(xiàn)較大差異，因而需要描述不同染料質(zhì)量占比作用于反射光譜的局部特性.根據(jù)染料質(zhì)量占比分段和可見光波長分段將單色料反射光譜曲面劃分為9個曲面片(圖1)，根據(jù)曲面片的局部特性，將9個曲面片分為3類，即反射光譜中心曲面、反射光譜邊曲面、反射光譜角曲面.

圖1 單色料反射光譜曲面模型

3類反射光譜曲面的定義(定義2～4)及定理(定理2～4)如下.

定義2若fc(λc，cc)為集合Sc={505 nm≤λ≤615 nm，0.4%≤c≤1.2%}內(nèi)的反射光譜曲面函數(shù)，則稱fc(λc，cc)為反射光譜中心曲面函數(shù).

定理2反射光譜中心曲面屬于反射光譜曲面，定義域為Sc={505 nm≤λ≤615 nm，0.4%≤c≤1.2%}.

根據(jù)定義2，單色料反射光譜曲面的曲面片5為反射光譜中心曲面.

定義3若fe(λe，ce)為集合Se內(nèi)的反射光譜曲面函數(shù)，且與反射光譜中心曲面fc(λc，cc)有且僅有一條交線he，c(λe，c，ce，c)，(λe，c，ce，c)∈Se，c，Se，c=Se∩Sc，同時，保證反射光譜中心曲面與fe(λe，ce)光順連接，則稱fe(λe，ce)為反射光譜邊曲面函數(shù).

定理3反射光譜邊曲面有以下3個性質(zhì).

1) 反射光譜邊曲面屬于反射光譜曲面，因此，Se∈S，Se，c∈S.

2) 根據(jù)定理1，反射光譜曲面函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，因此，反射光譜中心曲面和反射光譜邊曲面在交線處需滿足連續(xù)性條件，即he，c(λe，c，ce，c)=fe(λe，c，ce，c)=fc(λe，c，ce，c).

根據(jù)定義3，單色料反射光譜曲面的曲面片2，4，6，8為反射光譜邊曲面，反射光譜邊曲面與反射光譜中心曲面存在一條交線.因此，增加了連續(xù)性和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性約束條件.

定義4若fh(λh，ch)為集合Sh內(nèi)的反射光譜曲面函數(shù)，且與兩個反射光譜邊曲面fe，a(λe，a，ce，a)((λe，a，ce，a)∈Se，a)，fe，b(λe，b，ce，b)((λe，b，ce，b)∈Se，b)有且存在兩條不同的交線hh，e，a(λh，e，a，ch，e，a)((λh，e，a，ch，e，a)∈Sh，e，a)，hh，e，b(λh，e，b，ch，e，b)((λh，e，b，ch，e，b)∈Sh，e，b)，則稱fh(λh，ch)為反射光譜角曲面函數(shù).

定理4反射光譜角曲面有以下4個性質(zhì).

1) 反射光譜角曲面屬于反射光譜曲面，因此，Sh∈S，Sh，e，a∈S，Sh，e，b∈S.

2)Sh，e，a=Sh∩Se，a，Sh，e，b=Sh∩Se，b.

3) 根據(jù)定理1，反射光譜曲面函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的，因此，反射光譜角曲面和反射光譜邊曲面在交線處需滿足連續(xù)性條件，即hh，e，a(λh，e，a，ch，e，a)=fe，a(λh，e，a，ch，e，a)=fh(λh，e，a，ch，e，a)，hh，e，b(λh，e，b，ch，e，b)=fe，b(λh，e，b，ch，e，b)=fh(λh，e，b，ch，e，b).

根據(jù)定義4，單色料反射光譜曲面的曲面片1，3，7，9為反射光譜角曲面，反射光譜角曲面與兩個反射光譜邊曲面相鄰.因此，增加了連續(xù)性和一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性約束條件.

1.2 反射光譜中心曲面建模

曲面片5為反射光譜中心曲面，解析函數(shù)為

(1)

式(1)中：(λc，cc)∈Sc；i為可見光波長的冪次，i=0，1，…，mc，1；j為染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，mc，2；ac，i，j為反射光譜中心曲面的多項式系數(shù).

1.3 反射光譜邊曲面建模

曲面片2為反射光譜邊曲面，定義域Se，2={505 nm≤λe，2≤615 nm，0%≤ce，2≤0.4%}，交線定義域Se，c，2={505 nm≤λe，c，2≤615 nm，ce，c，2=0.4%}，曲面片2的解析函數(shù)為

.

(2)

式(2)中：(λe，2，ce，2)∈Se，2；i表示可見光波長的冪次，i=0，1，…，me，2，1；j表示染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，me，2，2；ae，2，i，j為曲面片2函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片2為反射光譜邊曲面，其函數(shù)的約束條件為

(3)

式(3)中：he，c，2為反射光譜中心曲面和曲面片2的交線.

曲面片4為反射光譜邊曲面，定義域Se，4={400 nm≤λe，4≤505 nm，0.4%≤ce，4≤1.2%}，交線定義域Se，c，4={λe，c，4=505 nm，0.4%≤ce，c，4≤1.2%}，曲面片4的解析函數(shù)為

(4)

式(4)中：(λe，4，ce，4)∈Se，4；i表示可見光波長的冪次，i=0，1，…，me，4，1；j表示染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，me，4，2；ae，4，i，j為曲面片4函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片4為反射光譜邊曲面，其函數(shù)的約束條件為

(5)

式(5)中：he，c，4為反射光譜中心曲面和曲面片4的交線.

曲面片6為反射光譜邊曲面，定義域Se，6={615 nm≤λe，6≤700 nm，0.4%≤ce，6≤1.2%}，交線定義域Se，c，6={λe，c，6=615 nm，0.4%≤ce，c，6≤1.2%}，曲面片6的解析函數(shù)為

(6)

式(6)中：(λe，6，ce，6)∈Se，6；i表示可見光波長的冪次，i=0，1，…，me，6，1；j表示染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，me，6，2；ae，6，i，j為曲面片6函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片6為反射光譜邊曲面，其函數(shù)的約束條件為

(7)

式(7)中：he，c，6為反射光譜中心曲面和曲面片6的交線.

曲面片8為反射光譜邊曲面，定義域Se，8={505 nm≤λe，8≤615 nm，1.2%≤ce，8≤6.0%}，交線定義域Se，c，8={505 nm≤λe，c，8≤615 nm，ce，c，8=1.2%}，曲面片2的解析函數(shù)為

(8)

式(8)中：(λe，8，ce，8)∈Se，8；i表示可見光波長的冪次，i=0，1，…，me，8，1；j表示染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，me，8，2；ae，8，i，j為曲面片8函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片8為反射光譜邊曲面，其函數(shù)的約束條件為

(9)

式(9)中：he，c，8為反射光譜中心曲面和曲面片8的交線.

1.4 反射光譜角曲面建模

曲面片1為反射光譜角曲面，其定義域Sh，1={400 nm≤λh，1≤505 nm，0%≤ch，1≤0.4%}，交線的定義域Sh，e，1，a={λh，e，1，a=505 nm，0%≤ch，e，1，a≤0.4%}，Sh，e，1，b={400 nm≤λh，e，1，b≤505 nm，ch，e，1，b=0.4%}，曲面片1的解析函數(shù)為

(10)

式(10)中：(λh，1，ch，1)∈Sh，1；i為可見光波長的冪次，i=0，1，…，mh，1，1；j為染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，mh，1，2；ah，1，i，j為曲面片1函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片1為反射光譜角曲面，其函數(shù)的約束條件為

(11)

式(11)中：hh，e，1，a為曲面片1和曲面片2的交線；hh，e，1，b為曲面片1和曲面片4的交線.

曲面片3為反射光譜角曲面，其定義域Sh，3={615 nm≤λh，3≤700 nm，0%≤ch，3≤0.4%}，交線的定義域Sh，e，3，a={λh，e，3，a=615 nm，0%≤ch，e，3，a≤0.4%}，Sh，e，3，b={615 nm≤λh，e，3，b≤700 nm，ch，e，3，b=0.4%}，曲面片2的解析函數(shù)為

(12)

式(12)中：(λh，3，ch，3)∈Sh，3；i為可見光波長的冪次，i=0，1，…，mh，3，1；j為染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，mh，3，2；ah，3，i，j為曲面片3函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片3為反射光譜角曲面，其函數(shù)的約束條件為

(13)

式(13)中：hh，e，3，a為曲面片3和曲面片2的交線；hh，e，3，b為曲面片3和曲面片6的交線.

曲面片7為反射光譜角曲面，定義域Sh，7={400 nm≤λh，7≤505 nm，1.2%≤ch，7≤6.0%}，交線的定義域Sh，e，7，a={λh，e，7，a=505 nm，1.2%≤ch，e，7，a≤6.0%}，Sh，e，7，b={400 nm≤λh，e，7，b≤505 nm，ch，e，7，b=1.2%}，曲面片7的解析函數(shù)為

(14)

式(14)中：(λh，7，ch，7)∈Sh，7；i為可見光波長的冪次，i=0，1，…，mh，7，1；j為染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，mh，7，2；ah，7，i，j為曲面片7函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片7為反射光譜角曲面，約束條件為

(15)

式(15)中：hh，e，7，a為曲面片7和曲面片8的交線；hh，e，7，b為曲面片7和曲面片4的交線.

曲面片9為反射光譜角曲面，定義域Sh，9={615 nm≤λh，9≤700 nm，1.2%≤ch，9≤6.0%}，交線的定義域Sh，e，9，a={λh，e，9，a=615 nm，1.2%≤ch，e，9，a≤6.0%}，Sh，e，9，b={615 nm≤λh，e，9，b≤700 nm，ch，e，9，b=1.2%}，曲面片9的解析函數(shù)為

.

(16)

式(16)中：(λh，9，ch，9)∈Sh，9；i為可見光波長的冪次，i=0，1，…，mh，9，1；j為染料質(zhì)量占比的冪次，j=0，1，…，mh，9，2；ah，9，i，j為曲面片9函數(shù)的多項式系數(shù).

曲面片9為反射光譜角曲面，其函數(shù)的約束條件為

(17)

式(17)中：hh，e，9，a為曲面片9和曲面片8的交線；hh，e，9，b為曲面片9和曲面片6的交線.

2 單色料反射光譜曲面的色差模型

國家照明委員會(CIE)標(biāo)準(zhǔn)色度系統(tǒng)下的三刺激值X，Y，Z的計算公式分別為

(18)

(19)

單色料反射率r為反射光譜上的一點，因此，可通過f(λ，c)分片計算三刺激值X，Y，Z.

亨特色度空間的明度LH和色品指數(shù)aH，bH的計算公式分別為

(20)

式(20)中：fX，A，fX，B，fZ，B均為常數(shù)，隨著選用的標(biāo)準(zhǔn)色度觀察者和標(biāo)準(zhǔn)照明體的不同而改變，對于CIE1964觀察者[12]和D65標(biāo)準(zhǔn)照明體[13]，fX，A=0.768 3，fX，B=0.179 8，fZ，B=1.073 3.

亨特色差ΔEH的計算公式為

(21)

式(21)中：ΔLH為明度差；ΔaH，ΔbH均為色調(diào)差.

根據(jù)式(20)可得單色料明度和色品指數(shù)的預(yù)測值；實際打樣后可測量實際的單色料反射光譜，根據(jù)式(20)可得單色料明度和色品指數(shù)的實際值；通過式(21)可得單色料明度、色品指數(shù)預(yù)測值和實際值之差，從而驗證單色料反射光譜曲面模型的準(zhǔn)確性.

3 實驗結(jié)果與分析

3.1 儀器設(shè)備和藥品

染色設(shè)備為全能試色機(圖2)；輔助設(shè)備為染液滴定機(圖3)、小樣實驗罐；染料為活性紅EC-2BL；織物為純棉汗布；測色儀器為DataColor 800型測色儀(美國DataColor公司)；助劑為賽得利元明粉、純堿、固色堿；其他藥品為皂液(質(zhì)量分數(shù)為2%)、雙氧水(質(zhì)量分數(shù)為27.5%)、片堿、SF-2型低泡精煉劑、TF-189型漂白劑、冰醋酸、除氧酶.

圖2 染液滴定機 圖3 全能試色機

3.2 小樣實驗驗證

對單色料反射光譜曲面的9個曲面片進行正交實驗.單色料反射光譜曲面實驗表，如表1所示.由表1可知：實驗需要對染料質(zhì)量占比分別為0.02%，0.06%，0.10%，0.20%，0.40%，0.60%，0.80%，1.00%，1.20%，1.60%，2.00%，2.20%的染液進行單色料染色小樣實驗.活性紅EC-2BL小樣實驗配方表，如表2所示.表2中：m為布質(zhì)量；ρ為質(zhì)量濃度.

表1 單色料反射光譜曲面實驗表

表2 活性紅EC-2BL小樣實驗配方表

純棉汗布在使用前需要使用雙氧水(質(zhì)量分數(shù)為27.5%)、片堿、SF-2型低泡精煉劑、TF-189型漂白劑進行漂白處理，漂白浴比為1∶10，對于10 g布質(zhì)量，調(diào)制100 mL的漂白液，其中，雙氧水為0.6 mL，片堿為0.15 g，低泡精煉劑為0.1 mL，漂白劑為0.1 mL.在100 ℃下漂白30 min，再使用冰醋酸(0.05 mL)、除氧酶(0.03 mL)及適量水，將漂白后的純棉汗布進行清洗與脫水處理，脫水后的純棉汗布便可用于小樣染色.根據(jù)表2進行小樣實驗，獲得單色料反射光譜曲線，結(jié)合表1提取不同可見光波長和染料質(zhì)量占比的單色料反射率，確定活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面的多項式系數(shù)，并驗證采用單色料反射光譜曲面模型預(yù)測單色料反射光譜的準(zhǔn)確性，以及采用單色料反射光譜曲面模型預(yù)測單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化曲線的的準(zhǔn)確性.小樣實驗有以下6個步驟.

步驟1使用染液滴定機進行染液配制，配制的染液盛放于小樣實驗罐.

步驟2提前啟動全能試色機，并將全能試色機的運行溫度設(shè)置為60 ℃恒溫，保證全能試色機運行一段時間，且內(nèi)部溫度穩(wěn)定在60 ℃.

步驟3將漂白處理后的10 g純棉汗布快速放入小樣實驗罐，并將小樣試驗罐密封，快速放置于全能試色機，在60 ℃恒溫中染色45 min.

步驟410 g純棉汗布在全能試色機中染色45 min(60 ℃恒溫)后取出，清洗小樣試驗罐，用低流速水小心沖洗樣布，再置于小樣實驗罐，吸取100 mL皂液(質(zhì)量分數(shù)為2%)后置于小樣實驗罐，100 ℃下皂洗10 min.

步驟5皂洗結(jié)束后，將10 g純棉汗布取出，用低流速水沖洗樣布表面殘留染液，并用脫水機將樣布簡單脫水，置于烘箱中烘干，最后置于低溫中冷卻5 min.

步驟6將冷卻后的樣布置于DataColor 800型測色儀的測量孔中測量反射光譜，得到染后10 g純棉汗布的反射光譜.

使用DataColor 800型測色儀測量冷卻后的樣布，可得實驗表中對應(yīng)的染料質(zhì)量占比和單色料反射率，經(jīng)計算可得活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面9個曲面片函數(shù)的多項式系數(shù)，如表3所示.表3中：ai，j(i=0，1，2，3；j=0，1，2)為曲面片函數(shù)的多項式系數(shù).

表3 活性紅EC-2BL曲面片函數(shù)的多項式系數(shù)

使用DataColor 800型測色儀測得冷卻后活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲線，如圖4所示.通過單色料反射光譜曲面模型，構(gòu)建活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面，如圖5所示.使用DataColor 800型測色儀可測得可見光波長分別為450，550，650 nm時，活性紅EC-2BL染料質(zhì)量占比分別為0.02%，0.06%，0.10%，0.20%，0.40%，0.60%，0.80%，1.00%，1.20%，1.60%，2.00%，2.20%的單色料反射率，并使用活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面模型預(yù)測可見光波長分別為450，550，650 nm時，單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化的曲線，如圖6所示.使用DataColor 800型測色儀測得染料質(zhì)量占比分別為0.06%，0.60%，1.60%時的活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲線(實際反射光譜曲線)，并使用活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面模型預(yù)測染料質(zhì)量占比分別為0.06%，0.60%，1.60%時的反射光譜(預(yù)測反射光譜曲線)，結(jié)果如圖7所示.

圖4 活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲線 圖5 活性紅EC-2BL單色料反射光譜曲面

圖6 單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化的曲線 圖7 單色料反射光譜曲線

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)活性紅EC-2BL小樣實驗結(jié)果，計算可見光波長分別為450，550，650 nm時，單色料反射率隨著質(zhì)量占比實際變化曲線與預(yù)測變化曲線的線性度(R)[14]和均方根誤差(ΔEEMC)[15]，結(jié)果如表4所示.計算染料質(zhì)量占比分別為0.06%，0.60%，1.60%時，活性紅EC-2BL實際反射光譜曲線和預(yù)測反射光譜曲線的線性度、均方根誤差和D65光源[16]下的色差(ΔE)，結(jié)果如表5所示.

表4 不同可見光波長下單色料反射率變化情況

表5 不同染料質(zhì)量占比下反射光譜變化情況

預(yù)測反射光譜曲面與實際反射光譜曲面非常接近，說明采用多項式建模方法構(gòu)造反射光譜曲面具有有效性(圖5).由表4可知：預(yù)測反射光譜曲線與實際反射光譜曲線的線性度較高，均方根誤差較小，證明構(gòu)建的反射光譜曲面能夠準(zhǔn)確地預(yù)測單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化的曲線.由表5可知：預(yù)測反射光譜曲線與實際反射光譜曲線的線性度較高，均方根誤差較小，色差較小，雖然在低質(zhì)量占比段色差偏大，但仍滿足CIE標(biāo)準(zhǔn)的要求(色差小于4)，屬于工業(yè)可接受范圍.因此，反射光譜曲面建模方法可以準(zhǔn)確地預(yù)測單色料反射光譜曲線.

4 結(jié)束語

采用多項式建模方法，構(gòu)造單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比和可見光波長變化的反射光譜曲面，構(gòu)建全面的反射光譜曲面模型，比有限曲線描述單色料反射光譜曲面的方法更加全面準(zhǔn)確.通過活性紅EC-2BL進行有限組小樣實驗，對單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化曲線的準(zhǔn)確性進行驗證.文中構(gòu)建的單色料反射光譜曲面模型較為準(zhǔn)確地實現(xiàn)了單色料反射光譜曲線和單色料反射率隨著染料質(zhì)量占比變化曲線的預(yù)測.