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      平面帶形區(qū)域上一類解析函數(shù)的Bohr現(xiàn)象

      2022-11-13 12:22:02林珍連曾旭暾
      關(guān)鍵詞:正整數(shù)泉州半徑

      林珍連, 曾旭暾

      (1. 華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 福建 泉州 362021;2. 泉州師范學(xué)院 外國語學(xué)院, 福建 泉州 362000)

      1 預(yù)備知識(shí)

      2010年,文獻(xiàn)[5]考慮了區(qū)域Ω為一類移動(dòng)圓盤,當(dāng)

      時(shí),解析函數(shù)族B(Ωγ)的Bohr不等式,可得定理A.

      2021年,文獻(xiàn)[6]改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[5]的結(jié)果,結(jié)果之一為定理B.

      關(guān)于經(jīng)典Bohr不等式的更多改進(jìn)和推廣,可參見文獻(xiàn)[7-16].

      文中考慮當(dāng)區(qū)域Ω是帶形區(qū)域S={z=x+iy∈C:-1

      2 主要結(jié)果及其證明

      證明以下引理.

      由于f(z)∈B(S),故|f(z)|≤1,由Schwarz-Pick引理,有

      |f′(z)|≤λS(z)(1-|f(z)|2),z∈D.

      特別地,當(dāng)z=0時(shí),上式化為

      (1)

      當(dāng)n≥2時(shí),對任何給定的正整數(shù)n,令

      N為任一正整數(shù),則有

      g(z)=a0+anzn+a2nz2n+a3nz3n+…∈B(S),

      再令

      綜上所述,引理得證.

      利用引理1探討B(tài)(S)函數(shù)族的Bohr現(xiàn)象,得到了這類函數(shù)的Bohr半徑和兩個(gè)Bohr不等式. 證明B(S)解析函數(shù)族的Bohr半徑.

      證明:由引理1,可得

      (2)

      對定理1進(jìn)行一些改進(jìn)和推廣,首先,證明其中一個(gè)改進(jìn)版(定理2).

      證明:因?yàn)閒(z)∈B(S),由引理1,可得

      由于|a0|≤1,所以B1(r)≤1.當(dāng)B1(r)=1時(shí),有f(z)=c,|c|=1.證畢.

      證明:不失一般性,記|a0|=a∈[0,1],由引理1,可得

      g(a)=a+A(1-a2)+B(1-a)(1-a2)+C(1-a2)2,a∈[0,1].

      g′(a)=1-2Aa+B(3a2-2a-1)+4C(a3-a),

      g″(a)=-2A+2B(3a-1)+4C(3a2-1).

      因?yàn)锽和C都是非負(fù)數(shù),所以g″(a)關(guān)于a的函數(shù)在(0,1)內(nèi)是單調(diào)遞增函數(shù),從而有

      經(jīng)計(jì)算可得a≥1,由題設(shè)可知a≤1,從而|a0|=1,由最大模原理可知,f(z)=c,|c|=1.

      由引理1可知,Ω?D為一般的單連通區(qū)域時(shí),有類似的結(jié)論成立.換而言之,帶形區(qū)域可以推廣到一般單連通區(qū)域.

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