201106 上海外國(guó)語(yǔ)大學(xué)閔行外國(guó)語(yǔ)中學(xué) 葉慧勤

高中新課程、新教材的改革堅(jiān)持“以學(xué)生發(fā)展為本”的教育理念，該理念強(qiáng)調(diào)學(xué)生在教學(xué)中的主體性、參與性.數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)：“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”問(wèn)題的研究就是數(shù)學(xué)研究的核心內(nèi)容，正如康托爾所說(shuō)：“‘提出問(wèn)題’的重要性遠(yuǎn)比‘解答問(wèn)題’的重要性高.”根據(jù)建構(gòu)主義理論，學(xué)習(xí)的主動(dòng)性是掌握知識(shí)的一個(gè)重要的前提條件，可見，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)是非常重要的.充分利用數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)習(xí)題的編制過(guò)程中，能夠調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性、主動(dòng)性，從而激發(fā)學(xué)生高質(zhì)量完成學(xué)習(xí)任務(wù)的動(dòng)機(jī)，可以讓學(xué)生從學(xué)習(xí)準(zhǔn)備到學(xué)習(xí)過(guò)程再到學(xué)習(xí)反饋各個(gè)環(huán)節(jié)都能積極能動(dòng)地進(jìn)行，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中真正達(dá)到高效學(xué)習(xí)的狀態(tài).

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行編題也可以培養(yǎng)他們深度學(xué)習(xí)的習(xí)慣.深度學(xué)習(xí)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)過(guò)程，需要不斷總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)關(guān)鍵特征，由此發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本源，把握問(wèn)題的本質(zhì).引導(dǎo)學(xué)生發(fā)掘編題的樂趣，與學(xué)生一起探究編題策略是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)造力的有效做法.學(xué)生參與編題就是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，根據(jù)所學(xué)的概念、公式、法則、方法的理解，在給出某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象(如數(shù)字、圖表等)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行再加工、再創(chuàng)造，用文字語(yǔ)言進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，編擬數(shù)學(xué)問(wèn)題.在這樣的學(xué)習(xí)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生善于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的有效建構(gòu)，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)角度思考問(wèn)題，這種深度學(xué)習(xí)讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)魅力，教師與學(xué)生一起合作探究，在編題策略視角下，構(gòu)建數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂.

筆者在高三教學(xué)中嘗試設(shè)計(jì)了引導(dǎo)學(xué)生編題的兩節(jié)單元系列課，遵循“以學(xué)生為主體，教師是數(shù)學(xué)課堂活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者和參與者”的現(xiàn)代教育原則，教師在教學(xué)中采用啟發(fā)式教學(xué)法，學(xué)生采用探究式學(xué)習(xí)法，在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)探究之旅.

一、 創(chuàng)設(shè)導(dǎo)學(xué)情境，促進(jìn)自主發(fā)展

創(chuàng)設(shè)質(zhì)疑的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生在模仿中編題.筆者在一節(jié)數(shù)列復(fù)習(xí)課上進(jìn)行了探究式編題教學(xué)的初探，學(xué)生思維的廣度和創(chuàng)造力超出筆者的想象.在復(fù)習(xí)完等差數(shù)列的通項(xiàng)和性質(zhì)后，筆者引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)等差數(shù)列的定義和遞推關(guān)系，變差為和，即“若在一個(gè)數(shù)列中，如果從第二項(xiàng)開始，每項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù)”，學(xué)生將其自定義為“等和數(shù)列”.這樣的“等和數(shù)列”具備怎樣的性質(zhì)？提出質(zhì)疑后，學(xué)生模仿等差數(shù)列，自編了如下一道題.

學(xué)生模仿等差數(shù)列的概念變差為和，自定義出“等和數(shù)列”，用研究等差數(shù)列的方法研究出“等和數(shù)列”的規(guī)律，還有學(xué)生自發(fā)將“求通項(xiàng)an”改為“求前n項(xiàng)和Sn”.在筆者的引導(dǎo)下，學(xué)生自編自解，參與課堂教學(xué)的主動(dòng)性和積極性被調(diào)動(dòng)了起來(lái).課堂進(jìn)行到這里，筆者預(yù)設(shè)會(huì)有學(xué)生主動(dòng)類比等比數(shù)列的特征，變比為積，自定義“等積數(shù)列”，果然有學(xué)生自編了如下題目.

在這節(jié)課中，有三個(gè)小組的創(chuàng)造力超出筆者的想象.

小組1

學(xué)生的總結(jié)如下.

小組1成員從特殊解題方法推廣到一般規(guī)律，學(xué)生邊思考邊歸納，探究問(wèn)題的本質(zhì).

小組2

生1：若滿足遞推關(guān)系an-1+an=an+1(n≥2,n∈N*), 即an+an-1不是常數(shù)，如何解決？

生2：這是一個(gè)二階遞推關(guān)系，需要已知前兩項(xiàng)的值才能將這個(gè)數(shù)列確定下來(lái)，以如下題目為例.

此時(shí)已有很多學(xué)生對(duì)斐波那契數(shù)列產(chǎn)生興趣，筆者馬上布置了一項(xiàng)探究性作業(yè)，請(qǐng)學(xué)生探究斐波那契數(shù)列在金融、藝術(shù)、美學(xué)、生物、科技等領(lǐng)域的運(yùn)用，以小組為單位整理成調(diào)查報(bào)告.學(xué)習(xí)小組2的成員不僅將所學(xué)內(nèi)容進(jìn)行遷移，同時(shí)學(xué)以致用，在生活中體會(huì)數(shù)學(xué)思維之美.

小組3

小組3在生1提出的遞推關(guān)系上進(jìn)行改編.

馬上有學(xué)生用“等和數(shù)列”的研究方法枚舉并證明an是周期為6的數(shù)列，其中前6項(xiàng)為1,1,0,-1,-1,0.

這節(jié)課進(jìn)行到此，學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和積極性已達(dá)到飽和.學(xué)生在模仿中編題，不僅填補(bǔ)了對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解漏洞，也在改編過(guò)程中體悟到研究問(wèn)題的一般方法，獲得成長(zhǎng)與成功的體驗(yàn)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心與興趣.這種自主教育是以“生趣”為導(dǎo)向的自主發(fā)展，筆者引領(lǐng)學(xué)生開始感受數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的樂趣.

二、創(chuàng)設(shè)樂學(xué)情境，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)

創(chuàng)設(shè)真實(shí)情境，以優(yōu)質(zhì)主問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，讓學(xué)生樂學(xué)善思、悟?qū)W省思.筆者在復(fù)習(xí)數(shù)列章節(jié)時(shí)嘗試了探究式編題教學(xué)后，又進(jìn)行了第二次嘗試，設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)從“解題”走向“解決問(wèn)題”.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有許多可以運(yùn)用類比法進(jìn)行變式的知識(shí)點(diǎn)，如由等差數(shù)列類比到等比數(shù)列、由橢圓類比到雙曲線、由特殊類比到一般、由平面圖形類比到立體圖形等.教師可以引領(lǐng)學(xué)生通過(guò)類比現(xiàn)有問(wèn)題進(jìn)行整理歸納，從而推廣出合理的新問(wèn)題.相對(duì)于解題而言，學(xué)生參與編題實(shí)際操作難度更大一些，更需要舉一反三、模擬創(chuàng)新的能力.教師可引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用類比法、等價(jià)變換法、只換條件、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、條件結(jié)論互換、弱化條件、強(qiáng)化條件等方法進(jìn)行編題.

筆者在第一課時(shí)結(jié)束時(shí)羅列了涉及函數(shù)、數(shù)列、解析幾何、向量、立體幾何等章節(jié)的適合改編的五道例題，讓學(xué)生利用小組合作的學(xué)習(xí)方式，對(duì)選中的例題進(jìn)行改編，學(xué)生亦可自己選擇合適的題目進(jìn)行改編.在第二課時(shí)，學(xué)生從“解題”走向“解決問(wèn)題”，解決問(wèn)題的過(guò)程就是主動(dòng)探究事物本質(zhì)、體會(huì)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.筆者從小組提出的改編方案中選出一個(gè)作為第二課時(shí)教學(xué)內(nèi)容，真正實(shí)現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容從學(xué)生中來(lái)回到學(xué)生中進(jìn)行探究解決的教學(xué)路徑.

筆者通過(guò)不同章節(jié)的課堂讓學(xué)生體驗(yàn)編題的樂趣，體會(huì)探究問(wèn)題本質(zhì)的成功感，學(xué)生通過(guò)變式讓同一事物呈現(xiàn)多樣性，進(jìn)而找出事物的本質(zhì)特征.原題由筆者提供，課前筆者與學(xué)習(xí)小組的五位學(xué)生一起討論，迸發(fā)思維的火花，學(xué)生通過(guò)改變敘述角度、改變解題視角、改變?cè)O(shè)問(wèn)方向、創(chuàng)設(shè)變靜為動(dòng)的問(wèn)題情境等策略對(duì)例題進(jìn)行改編.

原題已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b, 存在實(shí)數(shù)x0, 且有|x0|≥3, 使得f(x0)=0, 則a2+b2的最小值是________.

生3的解法不同于常規(guī)的直接法，他的解題視角是分析轉(zhuǎn)換法，將關(guān)于x的一元二次方程轉(zhuǎn)換成關(guān)于變量(a,b)的直線l.生3通過(guò)此轉(zhuǎn)換，換一個(gè)角度解決問(wèn)題，另辟蹊徑，將繁復(fù)冗長(zhǎng)的解題思路變得簡(jiǎn)潔明了，具體思路如下.

在筆者的引導(dǎo)下，生4小試牛刀，改變敘述角度編題，盡管闡述方式不同，但本質(zhì)不變，所以此類改編對(duì)解題過(guò)程沒有影響.

編題2.1已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，函數(shù)f(x)在(-∞,-3]∪[3,+∞)上存在零點(diǎn)，則a2+b2的最小值是________.

生4改編的此題只要從函數(shù)零點(diǎn)的概念入手，就可以得到原題的條件，答案不變，這是用等價(jià)變換法編題.

生5的改編幅度更大一些，改變了設(shè)問(wèn)方向，他改編的題目如下.

編題2.2已知條件不變，則a2+4b2的最小值是________.

生5改編的編題2.2的解題思路與原題中生3解題思路涉及的方法都是分析轉(zhuǎn)化法，即將方程看成關(guān)于過(guò)點(diǎn)(a,b)的直線l或過(guò)點(diǎn)(a,2b)的直線l1的方程，所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線l或l1距離的平方的最值問(wèn)題，從而達(dá)到消元的目的.編題2.2改變問(wèn)題的設(shè)問(wèn)方向，只是將原題中變量為(a,b)的直線l轉(zhuǎn)化成變量為(a,2b)的直線l1.

教師總結(jié)1：正因生3、生5發(fā)現(xiàn)了此類題解法的本質(zhì)，才能通過(guò)解題思路和規(guī)律來(lái)建構(gòu)編題2.2的條件，這展現(xiàn)出他們思維的廣闊性和深刻性.

生6和生7的改編方向是創(chuàng)設(shè)變靜為動(dòng)的問(wèn)題情境.

生6改編得到的題目如下.

編題2.3已知條件不變，則a2+(b-3)2的最小值是________.

生7改編得到的題目如下.

編題2.4已知函數(shù)f(x)=x2+ax+(b-3), 存在實(shí)數(shù)x0, 且有|x0|≥3, 使得f(x0)=0, 則a2+(b-3)2的最小值是________.

生6是將結(jié)論“求a2+b2”改編成“求a2+(b-3)2”,若設(shè)點(diǎn)A(a,b),生6在生3解題思路基礎(chǔ)上將原點(diǎn)O(0,0)向上平移至P(0,3),則問(wèn)題轉(zhuǎn)換為P(0,3)到直線l:x·a+1·b+x2=0的距離的平方,接下來(lái)的解法類似于生3.

教師總結(jié)2：生6、生7用“形”改編好題目后，不僅能用“形”來(lái)解決，亦可用“數(shù)”來(lái)解決，變靜態(tài)為動(dòng)態(tài)，以基本圖像為“基準(zhǔn)點(diǎn)”，通過(guò)基本圖形的運(yùn)動(dòng)將問(wèn)題轉(zhuǎn)換成更一般的問(wèn)題，開闊解決問(wèn)題的視野，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì).在原題基礎(chǔ)上，生6、生7化靜為動(dòng)進(jìn)行自編自答的過(guò)程，已經(jīng)從繁復(fù)的具體事物中抽象出事物的本質(zhì).同學(xué)們運(yùn)用編題策略進(jìn)行改編的學(xué)習(xí)狀態(tài)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出預(yù)設(shè)教學(xué)目標(biāo)，這才是真正的學(xué)以致用、活學(xué)活用.

筆者設(shè)計(jì)的上述兩節(jié)課，第一節(jié)課是設(shè)計(jì)好教學(xué)流程，通過(guò)類比等手段使學(xué)生在熟悉的等差、等比數(shù)列上進(jìn)行模仿編題.第二節(jié)課是學(xué)生小組成員從筆者上節(jié)課結(jié)束時(shí)所給的例題中選出一題進(jìn)行改編，通過(guò)交流的方式展示不同學(xué)生的想法.等價(jià)變換法、只換結(jié)論、條件結(jié)論都換、變靜為動(dòng)這四種改編形式的運(yùn)用體現(xiàn)學(xué)生由淺入深、由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的探究過(guò)程.學(xué)生深度學(xué)習(xí)的效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出筆者的想象，學(xué)生親歷探究過(guò)程，自編自答，通過(guò)弱化條件實(shí)現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，從而歸納出問(wèn)題的一般解決規(guī)律.學(xué)生積極主動(dòng)地進(jìn)行有效思考，探究問(wèn)題的本質(zhì)，真正實(shí)現(xiàn)從“解題”到“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變.

這兩節(jié)課是以“生趣”為導(dǎo)向的自主發(fā)展系列課程，實(shí)踐證明，筆者設(shè)計(jì)合理有效、層層推進(jìn)的教學(xué)情境，運(yùn)用小組合作的方式既調(diào)動(dòng)學(xué)生的好奇心和探究積極性，又促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維能力，表達(dá)自身的見解和看法.筆者將整個(gè)學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)進(jìn)程都置于情境之中，引發(fā)學(xué)生思考和探究的欲望，率先激活學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性，逐步培育學(xué)生的抽象思維和邏輯思維，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的效果.

以往教師習(xí)慣呈現(xiàn)給學(xué)生的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往是封閉式的結(jié)構(gòu)良好問(wèn)題，條件不多也不少，答案唯一且確定，這樣會(huì)讓學(xué)生囿于定向思維，囿于解決常規(guī)的、程式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不善于解決復(fù)雜的、開放性的真實(shí)問(wèn)題.這兩節(jié)編題課讓學(xué)生完整經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—通過(guò)改編發(fā)現(xiàn)新思維—解決更廣泛的一類問(wèn)題—發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律和問(wèn)題本質(zhì)”，這樣的深度探究學(xué)習(xí)過(guò)程適當(dāng)引入具有開放性的結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生全面、客觀、辯證地分析解決問(wèn)題，不斷發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐性反思、批判性思維、創(chuàng)造性思維等高階思維能力.

孔子曰：“舉一隅不以三隅反，則不變也.”這句話強(qiáng)調(diào)的就是深度探究、深刻理解的重要性.越是上位的思維越貼近問(wèn)題的本質(zhì)，遷移性越寬廣.更重要的是學(xué)生的潛力是巨大的，例如第二節(jié)課中學(xué)生小組成員的創(chuàng)造力遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎想象.通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生編擬數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種動(dòng)態(tài)生成的課堂把問(wèn)題引向深入的研究過(guò)程，這是從一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題出發(fā)逐步演繹、深化的過(guò)程，是學(xué)生主動(dòng)探究創(chuàng)新的過(guò)程.學(xué)生通過(guò)小組合作編題講題，不僅在曼妙的演變中體會(huì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，促進(jìn)知識(shí)理解，同時(shí)深度探究數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，發(fā)掘其隱含的數(shù)學(xué)思想.教師通過(guò)探究式編題教學(xué)構(gòu)建數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂，在學(xué)生自編、自解、自講的過(guò)程中，其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)也得到培養(yǎng)和提高，這樣的課堂才是學(xué)生自我生長(zhǎng)、指向深度學(xué)習(xí)的課堂.