GeoGebra在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用
——以棱柱、棱錐與棱臺的表面積為例

田 琳

(哈爾濱師范大學(xué)教師教育學(xué)院，黑龍江哈爾濱，150000)

1 問題提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017)》特別提及教育信息化：“信息技術(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)與教師教學(xué)的重要輔助手段，為師生交流、生生交流、人機(jī)交流搭建了平臺，為學(xué)習(xí)和教學(xué)提供了豐富的資源.因此，教師應(yīng)重視信息技術(shù)的運(yùn)用，優(yōu)化課堂教學(xué)，轉(zhuǎn)變教學(xué)與學(xué)習(xí)的方式.”高中數(shù)學(xué)因其抽象和晦澀，經(jīng)常成為學(xué)生學(xué)習(xí)的弱點(diǎn)與痛點(diǎn).其中，立體幾何部分因?yàn)槌橄蠡潭容^高和對空間想象能力要求較高，更是成為了重要的失分點(diǎn).GeoGebra作為一款兼具幾何與代數(shù)功能的教學(xué)輔助軟件，可以實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所需的幾何圖形的動態(tài)變化、代數(shù)運(yùn)算、隨機(jī)模擬等功能.本文結(jié)合《棱柱、棱錐與棱臺的表面積》的教學(xué)，談?wù)勅绾谓柚鶪eoGebra的動態(tài)演示功能，幫助學(xué)生直觀的感知立體幾何的魅力，構(gòu)建概念的認(rèn)知體系.

2 教材的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容安排

本節(jié)課是人教版必修第二冊第八章第三節(jié)《簡單幾何體的表面積與體積》的第一課時(shí).主要內(nèi)容是棱柱、棱錐、棱臺的表面積與體積公式及其求法，以及一些簡單組合體的表面積與體積求法.新課標(biāo)指出立體幾何是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科.立體幾何教學(xué)中應(yīng)運(yùn)用直觀感知、操作確認(rèn)、推理論證、度量計(jì)算等探索空間圖形的性質(zhì)，建立空間觀念.

教材將側(cè)面展開圖作為簡單幾何體的表面積的切入點(diǎn)，通過分析側(cè)面展開圖得到了簡單幾何體的表面積公式，充分體現(xiàn)了立體問題平面化的解題策略，培養(yǎng)了學(xué)生直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).在簡單幾何體的體積教學(xué)的處理上，教材采取從特殊到一般的探究路徑，從學(xué)生最熟悉的正方體與長方體的體積入手，得到了棱柱的體積公式，又通過棱柱、棱錐與棱臺的關(guān)系進(jìn)一步拓展延伸得到了棱錐與棱臺的體積公式.采用由淺入深、由易到難的探究路徑，按照直觀感知—操作確認(rèn)—推理論證—度量計(jì)算的邏輯展開，培養(yǎng)了學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

3 教學(xué)問題診斷

1.本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)是棱柱、棱錐、棱臺的表面積及體積公式的推導(dǎo)，盡管在之前的學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)掌握了棱柱、棱錐以及棱臺的結(jié)構(gòu)特征，又從研究空間點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系中掌握了“降維”與“轉(zhuǎn)化”的思想方法，但是空間想象能力的不足和參差都將是學(xué)生學(xué)習(xí)本節(jié)課的阻礙.

2.以往的教學(xué)中，要么是教師直接灌輸公式，要么是用幾何畫板來制作相對繁瑣的課件，但在本節(jié)課中，借助Geogebra的3D功能只需要走幾個(gè)指令就可以完成動畫，并實(shí)現(xiàn)棱柱、棱錐和棱臺的轉(zhuǎn)換，直觀的探究三者的關(guān)系，真正體會數(shù)與形的和諧統(tǒng)一.

4 教學(xué)策略

本節(jié)課主要分為兩個(gè)模塊，一是棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計(jì)算、公式的探究以及應(yīng)用.二是棱柱、棱錐、棱臺的體積計(jì)算、公式的探究以及應(yīng)用.教學(xué)方法上，以學(xué)生的自主探究為主，教師借助信息技術(shù)進(jìn)行直觀演示，對學(xué)生的探究過程及思路進(jìn)行引導(dǎo)和補(bǔ)充.

5 教學(xué)過程

5.1 以舊拓新，引發(fā)懸念

用快遞包裝視頻，創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生回憶表面積和展開圖的定義，提出問題1.

問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過正方體和長方體的表面積和展開圖，它們之間的關(guān)系是什么？

教師利用Geogebra展示正方體的展開圖.引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正方體的展開圖面積就是正方體的表面積.

探究：棱柱、棱錐、棱臺都是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，他們的平面展開圖是什么？他們的表面積又應(yīng)該如何計(jì)算呢？

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)來源于生活，也將服務(wù)于生活.表面積的求解不是憑空產(chǎn)生的，而是為了解決實(shí)際需要而誕生的.讓學(xué)生明白為什么學(xué)？引導(dǎo)學(xué)生通過復(fù)習(xí)回顧，發(fā)現(xiàn)展開圖與表面積的關(guān)系，感受“空間問題平面化”的解題思維.

5.2 3D大片，凝聚精華

我們首先來研究一些特殊的多面體，側(cè)棱和底面垂直的棱柱叫做直棱柱，特別的，底面為正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.

問題2：正棱柱的側(cè)面展開圖是什么樣的？它的表面積應(yīng)該如何求解？

教師用Geogebra演示正三棱柱的展開變化過程，發(fā)現(xiàn)正三棱柱的側(cè)面展開圖是矩形.

追問1：那么對于其他的正棱柱，他們的側(cè)面展開圖也是矩形嗎？

追問2：直三棱柱的側(cè)面展開圖是什么形狀，如何求解？

教師用Geogebra演示當(dāng)邊數(shù)變化時(shí)其他正棱柱的側(cè)面展開圖.發(fā)現(xiàn)正棱柱的側(cè)面展開圖均為矩形.矩形的長等于正棱柱底面周長c，矩形的寬等于正棱柱的高h(yuǎn).學(xué)生很容易得出直棱柱的側(cè)面積S側(cè)=ch.

師：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面的正投影是底面中心，那么這樣的棱錐稱為正棱錐.那么正棱錐的表面積如何求解？

問題3：正棱錐的側(cè)面展開圖是什么形狀？如何求解它的側(cè)面積？

教師借助Geogebra展示正六棱錐的側(cè)面展開圖.

問題4：正棱臺的側(cè)面展開圖是什么樣的，如何求解正棱臺的側(cè)面積.

設(shè)計(jì)意圖：相比于棱錐、棱臺，由于初中對長方體和正方體的研究，學(xué)生對于棱柱更為了解，接受起來也更加容易.再者，棱錐和棱臺也可以由棱柱轉(zhuǎn)化而來.學(xué)生在研究棱柱表面積的基礎(chǔ)上，所以借助直觀感受對棱錐和棱臺進(jìn)行合作探究以及自主探究，進(jìn)一步應(yīng)用降維和轉(zhuǎn)化這兩個(gè)研究立體幾何的思維方法.

5.3 小試牛刀，學(xué)以致用

例1已知如圖，四面體S-ABC的棱長均為a，求它的表面積.

例2已知一個(gè)正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱長為5，底面的邊長為6，求它的表面積.

設(shè)計(jì)意圖：通過兩道題讓學(xué)生明白求解棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積的問題就可轉(zhuǎn)化為求平行四邊形、三角形、梯形的面積問題.在探究棱柱，棱錐，棱臺的基礎(chǔ)上，形成從空間問題到平面問題轉(zhuǎn)化的思路，掌握求解表面積問題的一般方法.

5.4 總結(jié)歸納，有始有終

問題5：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么知識？在探究過程中我們應(yīng)用了哪些數(shù)學(xué)思想？你能夠從今天學(xué)習(xí)的知識中發(fā)現(xiàn)棱柱、棱錐與棱臺之間的關(guān)系嗎？

教師用Geogebra演示棱柱、棱錐與棱臺的轉(zhuǎn)化過程.學(xué)生通過直觀感知，借助公式進(jìn)行總結(jié).在學(xué)生進(jìn)行總結(jié)之后，教師借助Geogebra進(jìn)行動畫演示，加強(qiáng)學(xué)生對于公式的理解，同時(shí)為下節(jié)課棱柱、棱錐以及棱臺的體積的探究進(jìn)行鋪墊.

6 教學(xué)反思

本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)采用直觀想象、操作確認(rèn)的方式展開，借助類比歸納的思維方法,在GeoGebra的輔助下通過動態(tài)呈現(xiàn)側(cè)面展開的過程，增強(qiáng)學(xué)生對展開圖的面積即側(cè)面積的認(rèn)識，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng)，進(jìn)一步感受“空間問題平面化”這種降維、轉(zhuǎn)化的思想方法.利用GeoGebra的3D平臺，通過滑動條的設(shè)置，為學(xué)生理解和掌握柱體、錐體和臺體的側(cè)面積公式的聯(lián)系提供了便利，化“無形”為“有形”，從“數(shù)”與“形”的多重表征促進(jìn)學(xué)生對知識的深度理解.