“形”中挖“同” “數”中尋“構”
——記“同構思想”在解析幾何中的應用

常梨君 金一鳴 (江蘇省常州市田家炳高級中學 213001)

平面解析幾何是高中數學的一大重點和難點，對數學運算有著較高的要求，學生普遍具有“畏算”心理.而新高考背景下對運算能力提出了高要求，運算是大量的，而且是實的，不僅要有精細迅速的運算技能，還需依據條件和目標不斷確定和調整運算方法和路徑，在運算中彰顯能力.現實與目標的反差，促使我們重新審視解析幾何運算，從新的視角切入，引入新思想，另辟蹊徑，才會“另有一番天地”.

1 優(yōu)化解題，聯(lián)想“同構”

此題是21題的第一問，變量多，運算量大，學生在考試過程中不易做對.“由雙曲線上的一點引兩條斜率和為零的直線，則這兩條直線與雙曲線交點連線的斜率為定值”，這是本問的出題依據.學生常見的做法有如下兩種：

k=-1.

這兩種解法分別體現了解析幾何解題的兩種思想：“設而不求”與“設而求之(點P,Q可求)”，學生常是有思路但算不到底，反映其對數學運算的設計和選擇能力偏弱.能否優(yōu)化呢？筆者注意到點P,Q的坐標結構相同，與“同構”似乎有著某種聯(lián)系，不妨作一些嘗試，對運算進行優(yōu)化.

2 解析“同構”，遷移應用

“同構”是抽象代數中的專業(yè)術語，指的是一個保持結構的雙射.數學中的同構式是指變量不同，但結構相同的兩個表達式.所謂用同構思想解題，它來源于一個基礎結論：若f(x)是定義在區(qū)間D上的增函數，則f(x)>f(y)?x>y(減函數結論類似).利用這個結論，構建同構式，抽象母函數，把函數值的關系轉化為自變量的關系，脫去嵌套的外衣，實現化繁為簡.因此，“同構”的本質是構造函數的思想，對學生的高階思維有較高的要求.

解析幾何問題中，常有一些點、線具有相同的特征(如，點A,B在曲線f(x,y)=0上)，將這些“形”的共性坐標化，得到的代數式結構也相同，這為“同構法”的使用提供了可能.本文探究了“同構思想”在解析幾何中的一些妙用，以期拓展思維，培養(yǎng)學生抽象和化歸的思維能力，提升綜合素養(yǎng).

3 形相似切入，尋找同構點

3.1 同構點1——二次曲線上的兩個點在同一條直線上

即k1,k2為方程(6+4k+2m)x2-(4+4k)x+2k-m+1=0的兩個不等實根，

方向2 從點P,Q既是直線與雙曲線的交點，又是兩直線的交點入手，“算兩次”：

由①②可得k1,k2為方程(2+4k+2m)x2-(4+4k)x+2k-m+1=0的兩個不等實根，

點評 點P,Q的坐標是關于k1,k2的二次式，且結構相同，代入直線PQ方程，得到了兩個同構式，以k1,k2為主元整理，抽象出母方程(一元二次方程f(x)=0)，由韋達定理得到結果.設而不求，避免了繁瑣運算.“雙曲線上的兩個點在同一條直線上”這一“形似”，是構造同構式的關鍵.已知點P,Q坐標的前提下，“設直線、點代入”和“算兩次”這一視角的轉換也是難點.

3.2 同構點2——兩個點在同一條二次曲線上

圖1

能否用“同構”解答呢？我們作如下聯(lián)想：①由“λ1+λ2”聯(lián)想到什么？(韋達定理)→②如何構造λ的二次方程？→③題中有二次式嗎？(橢圓方程)→④如何構造同構方程？(點A,B在橢圓上)→⑤如何求A,B坐標？(將上述方程①②中用λ表示x,y).

點評 直線MF上的點A,B(坐標結構相同)在二次曲線(橢圓)上，這是形似，以λ為主元構造出同構方程.此法擺脫了“直線與橢圓相交、聯(lián)立、韋達定理”的固化思維，同構式以λ的新視角研究問題，不僅減少了大量運算，也彰顯了思維的整體性和靈活性.

3.3 同構點3——兩條直線與二次曲線有相同位置關系

圖2

點評 這是拋物線中的阿基米德三角形，以極點(焦點)、極線(準線)為載體,“聯(lián)立直線與圓錐曲線，消元，由相切得Δ=0”，是判定直線與圓錐曲線相切的通法.兩條切線得到的兩個判別式恰為關于k1,k2的同構式，采用整體消元，簡化運算.

3.4 同構點4——兩條直線過同一個點

再看問題3，開口向上的拋物線的切線問題，還可以用導數法解決.

點評 兩條切線的方程結構相同，利用點D在兩條切線上得到同構式，(**)式如何消元是關鍵.由目標直線方程的定義出發(fā)，消x2，直接構建x1,y1和x2,y2滿足的方程(二元一次方程f(x,y)=0)，出其不意，一步到位，且直線AB為拋物線的切點弦方程.

利用“同構”二元一次方程f(x,y)=0的方法，還可以推廣到圓、橢圓、雙曲線切點弦方程，結論如下：

(1)自圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)外一點P(x0,y0)作圓C的切線，切點為A,B，則切點弦AB的方程為：(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r2.

4 總結內化，提升素養(yǎng)

4.1 “同構法”解題的流程

根據上述三個例子，可以概括出使用“同構法”解題的流程為：

點(或線)滿足的公共特征→構造“同構”→確定主元→抽象母方程→求解目標.

“同構法”解題是由幾何特征的形似，抽象出代數式的同構，利用“整體消元”解決問題.學生在解決問題的過程中，明了同構是什么，同構能解決什么問題.同時，“確定主元”中主元的選擇很重要，需要視問題的需要而定，可以是斜率、參數和坐標等.“同是形式、構是內涵”，思想方法的改變帶來了低階數學運算的大量簡化，令人拍案叫絕，對學生高階數學運算的提升很有裨益.同時，同構式也體現了數學的對稱美、和諧美.

4.2 “同構點”的尋找

要想真正掌握并靈活運用“同構”，就必須選擇好“同構點”，即同構式怎么構造？筆者分析研究整理出近年高考題中的部分“同構點”，如圖3所示.

圖3

形相似是使用同構的標志，在形數轉化的過程中，“同構”實現了數形的完美結合.利用“式子結構”的整體性，實現了“設而不求”；“同構主元”的選擇，突破了x,y的桎梏，新視角帶來了不同的解題體驗.

4.3 提升高水平的數學運算素養(yǎng)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》要求學生具有理解運算對象、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等數學運算素養(yǎng)，并且將數學運算核心素養(yǎng)分為能夠在熟悉的情境中了解運算對象，提出運算問題；能夠在關聯(lián)的情境中確定運算對象，提出運算問題；在綜合情境中能夠把問題轉化為運算問題，確定運算對象和運算法則，明確運算方向這三個水平.

以問題1的“同構解法”為例，由雙曲線上點P,Q的坐標結構的相似性，設直線方程，構造出同構式，是簡化整個計算的關鍵步驟，對素養(yǎng)要求很高，是“水平三”；由同構式抽象出母方程，聯(lián)系韋達定理，屬于“水平二”；求點M,N的坐標則為“水平一”.由幾何特征到同構式的轉化為后續(xù)的計算指明了方向，轉化的過程中不僅需要運算能力，更需要有反向推演的能力，高水平的數學運算一定有邏輯推理的參與.

將解析幾何從“聯(lián)立求解”轉移到“識圖析圖”，從繁瑣的數式運算轉向分析推理型運算，讓學生體會更多“設而不求”的計算精髓，才能真正提升學生的運算素養(yǎng)，培養(yǎng)學生不怕算的毅力，進而將解析幾何運算進行到底.