拋物線的一個(gè)結(jié)論及應(yīng)用

萬(wàn)建光

【摘要】通過(guò)探究得到拋物線的多切線問(wèn)題中的一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，并用其解決相關(guān)問(wèn)題.

【關(guān)鍵詞】拋物線切線；二次函數(shù)；中考?jí)狠S

當(dāng)直線l（l與y軸不平行）與拋物線y=ax2+bx+c只有一個(gè)公共點(diǎn)，這時(shí)我們說(shuō)直線l和拋物線相切，直線l叫做拋物線的切線，這個(gè)公共點(diǎn)叫做切點(diǎn).

結(jié)論過(guò)拋物線y=ax2+bx+c外任一點(diǎn)P作拋物線的切線l1，l2，切點(diǎn)分別為M，N，若點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)分別為m，n，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+n2，amn+m+n2b+c）.

圖1

證明不妨設(shè)a＞0，如圖1，設(shè)點(diǎn)

M（m，am2+bm+c），

N（n，an2+bn+c），

直線l1的解析式為

y=px+q，

聯(lián)立y=ax2+bx+c，y=px+q，消去y得

ax2+（b-p）x+c-q=0，

因?yàn)橹本€l1是拋物線的切線，

所以Δ=0，

即此方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

由根與系數(shù)的關(guān)系得

2m=p-ba，m2=c-qa，

則p=2am+b，q=c-am2，

則直線l1的解析式為

y=（2am+b）x+c-am2.

同理，直線l2的解析式為

y=（2an+b）x+c-an2.

聯(lián)立y=（2am+b）x+c-am2，y=（2an+b）x+c-an2，

解得x=m+n2，y=amn+b（m+n）2+c，

點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m+n2，amn+m+n2b+c）.

此結(jié)論簡(jiǎn)潔、對(duì)稱、和諧，它很好的說(shuō)明了拋物線的切點(diǎn)和切線交點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，特別的，無(wú)論切點(diǎn)如何變化，兩切線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)恒為兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)的平均數(shù).在解拋物線的多切線問(wèn)題時(shí)，利用此結(jié)論可以很快地得出解題思路并解決問(wèn)題，下面舉例說(shuō)明.

圖2

例1如圖2，直線y=-2上有一動(dòng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，分別與拋物線y=x2有唯一的公共點(diǎn)E、F（直線PE、PF不與y軸平行），求證：直線EF恒過(guò)某一定點(diǎn)．

解設(shè)E（t，t2），F(xiàn)（n，n2），

直線EF的解析式為

y=（t+n）x-tn，

由結(jié)論可知點(diǎn)P（t+n2，tn），

所以tn=-2，

即EF的解析式為y=（t+n）x+2，

所以直線EF過(guò)定點(diǎn)（0，2）．

圖3

例2如圖3，△MNE的頂點(diǎn)M，N在拋物線y=x2上，點(diǎn)M在點(diǎn)N右邊，兩條直線ME，NE與拋物線均有唯一公共點(diǎn)，ME，NE均與y軸不平行．若△MNE的面積為2，設(shè)M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為m，n，求m與n的數(shù)量關(guān)系．

解過(guò)點(diǎn)E作EF∥y軸交MN于點(diǎn)F，

由結(jié)論知E（m+n2，mn），

直線MN的解析式為

y=（m+n）x-mn.

令x=m+n2，y=m2+n22，

所以F（m+n2，m2+n22），

EF=yF-yE=m2+n22-mn=（m-n）22，

S△MNE=12EF·（m-n）=（m-n）34，

所以（m-n）34=2，

所以（m-n）3=8，m-n=2.

圖4

例3如圖4，拋物線y=x2-32x-1與過(guò)點(diǎn)（1，-1）的直線交于M，N兩點(diǎn)，分別過(guò)M，N且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線交于點(diǎn)G，求OG長(zhǎng)的最小值．

解設(shè)M（m，m2-32m-1），

N（n，n2-32n-1），

易得直線MN的解析式為

y=m+n-32x-1-mn，

且過(guò)點(diǎn)（1，-1），

則mn=m+n-32，

由結(jié)論得

G（m+n2，mn-3（m+n）4-1），

則G（m+n2，m+n4-52），

即點(diǎn)G在直線y=12x-52上，

直線y=12x-52與x軸交于點(diǎn)E（5，0），與y軸交于點(diǎn)F（0，-52），

則OE=5，OF=52，EF=552，

過(guò)點(diǎn)O作直線y=12x-52的垂線，垂足為點(diǎn)H，

因?yàn)?2OF·OE=12EF·OH，

所以O(shè)H=5，

當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)H重合時(shí)，OG最小，最小值為5.

圖5

例4拋物線y=x2-1交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左邊），如圖5，F(xiàn)是原點(diǎn)O關(guān)于拋物線頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，不平行y軸的直線l分別交線段AF，BF（不含端點(diǎn)）于G，H兩點(diǎn).若直線l與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：FG+FH的值是定值．

解由A（-1，0），B（1，0），F(xiàn)（0，-2），

可得直線AF的解析式為

y=-2x-2，

直線BF的解析式為y=2x-2，

聯(lián)立y=2x+2，y=x2-1，消去y并整理得

x2-2x+1=0，

因?yàn)棣?0，

得直線AF與拋物線有唯一公共點(diǎn)，

同理，得直線BF與拋物線有唯一公共點(diǎn).

設(shè)直線l與拋物線的唯一公共點(diǎn)為M，

設(shè)M（m，m2-1），A（-1，0），B（1，0），

由結(jié)論知

xG=m-12，xH=m+12，

GF=-5xG，HF=5xH，

所以FG+FH=5（xH-xG）

=5m+12-m-12=5為常數(shù).