切片分析：小學數(shù)學教材分析新路徑

基金項目：江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點資助課題“小學數(shù)學結構化學習的實踐研究”（編號：R-a/2018/04）、江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃重點自籌課題“小學數(shù)學結構化學材開發(fā)的課例研究”（編號：B-b/2018/02/74）。

摘 要 我國小學數(shù)學教材有近十個版本，是非常好的教學研究參考資料。調查發(fā)現(xiàn)，廣大中青年教師對不同版本教材資源的關注度并不高，不會研讀教材是主因。從切片面包獲得啟示，采用切片法可以對教材進行較為深入的分析，化解問題。構建一課切片式教材分析框架，以“因數(shù)和倍數(shù)”為例，在三個版本教材切片分析比較基礎上，統(tǒng)整教材資源，為教師研究教材提供參考途徑。

關鍵詞 切片式教材分析；框架建構；實例解讀；教學實踐

中圖分類號 G623.5

文獻標識碼 A

文章編號 2095-5995（2022）04-0041-04

教材是學生獲取知識的主要來源和教師教學的主要依據(jù)。^[1]教材資源效益最大化是教師專業(yè)素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。目前，我國小學數(shù)學教材有近十個版本，給一線教師帶來很大的學習研究空間。從豐富的教材資源中，博采眾長，豐富“用教材去教”的理念，理應成為一線教師的行動自覺。“雙減”時代，一線教師更要注重教材教法的深入研究，提高課堂教學效率。

一、問題的提出

2020年，筆者有幸參加江蘇省某市A區(qū)鄉(xiāng)村小學數(shù)學骨干教師培育站暑期培訓和山東省某市B區(qū)小學高年級段數(shù)學教師暑期培訓活動，對接受培訓的教師進行現(xiàn)場調查，了解了兩區(qū)教材的使用情況。兩區(qū)使用的教材分別是蘇教版、青島版，手機現(xiàn)場掃碼采集數(shù)據(jù)，共收到296份有效信息。通過數(shù)據(jù)分析，筆者發(fā)現(xiàn)：兩區(qū)教師的教齡結構相似，其中21～30年教齡段人數(shù)占比最多，達32%，其余依次是4～10年、1～3年、11～20年，31年及以上最少，占8%。此外，調查顯示，教師對教材研究存在如下問題：

（一）青年教師對不同版本教材的關注度需提高

從閱讀不同版本教材人數(shù)占各教齡段人數(shù)的百分比看，經(jīng)常閱讀不同版本教材的教師為工作1～3年的年輕教師，A區(qū)經(jīng)常閱讀的教師占比19%，B區(qū)經(jīng)常閱讀的教師占比41.2%。把“經(jīng)?！?、“有時”兩個選項的百分比相加可得：入職1～3年的教師對各版本的教材關注度也最高，A區(qū)占本段人群的52.3%，B區(qū)占本段人群的67.7%，遠超過其他教齡段的教師。

（二）經(jīng)常深入研讀不同版本教材的教師不多

調查“您曾經(jīng)深入地比較分析研究兩種及以上不同版本教材的同一內容嗎？” 兩區(qū)調查結果較為相似，有近一半的教師沒有深入研究分析不同版本的教材，其中研究不同版本教材的頻次達到3次及以上的僅占15%～20%。

（三）研讀教材沒有成為教師教學設計智慧的重要來源

研讀教材最顯性的價值就是改進教學，有效促進學生發(fā)展。對于調查中“最近一次公開教學備課時，您的教學設計的靈感主要來自哪里？”這一問題，兩區(qū)答題統(tǒng)計結果如表1所示。

在七種教學設計智慧來源中，“研讀多個版本的教材”的回答占比居第五位，位次較低。在最近一次的公開教學中，僅有6.5%～9.1%（單選）的教師從研究多版教材中獲得設計靈感；有35.7%～41.3%（多選）的教師選擇多種策略，包含研讀多版教材。

通過以上的調查發(fā)現(xiàn)，絕大部分教師沒有深入地研究多版同類教材的經(jīng)歷，教材資源利用率低，通過訪談得知教師不會研讀教材是主因。

二、切片式教材分析框架

（一）切片式教材分析內涵

數(shù)學教材如何研讀？仁者見仁智者見智。生活是智慧之源，會給我們很多啟示。切片面包是很多人的最愛，因為將一整塊面包切開后，可以有多種吃法，隨意取幾片，可以蘸奶酪、番茄醬、果醬吃，中間也可以夾果蔬，夾煎蛋、培根等，根據(jù)自己的口味，豐富搭配，吃出個性。2000年后“一標多本”打破了“一本書教遍天下”的局面，教材呈百花齊放的態(tài)勢。如何充分利用教材資源改善教學？

如果把一本教材中的一個單元、一課內容等看作一整塊面包，根據(jù)編排內容的次序依次切開，每個切片就如面包的切片。對每個切片進行分析，充分研究后再進行加工，就如在面包中蘸醬、夾果蔬等進行個性化、深度理解的設計。如果對相同內容的兩個版本及以上的教材用這種方法切開，進行橫向比較分析，更深入地思考教學內容，這種研究教材的方法就叫“切片式”教材分析。這種教材分析法是把教材進行解構，切開后，再分析內部各元素之間、部分與整體之間的關系，然后重構教學。

（二）切片式教材分析框架

根據(jù)教學三要素：內容、學生和教師，切片式教材分析分為三個維度：切片內容、分析目標和教學設計。切片內容根據(jù)顯性的教材編排順序和隱性的方法思想，分為這幾塊：內容所處位置、學習內容、引入方式、內容層次結論方式及方法思想、編寫特色和練習特點。根據(jù)結構化學學理分析的要素^[2]，分析目標可分為學生的認知規(guī)律、知識結構、學習情境、認知結構、思維結構、素養(yǎng)結構、表征結構等。現(xiàn)代教學設計是用系統(tǒng)化的方法將教學過程中的各元素進行結構化^[3]設計，設計主要分為教和學這兩個系統(tǒng)，因此教學設計要關照教學目標、任務分析、教學方法和教學評價。根據(jù)解構與重構的結構觀，可以按教材編排的順序對教材進行切片分析，下面以一課時教學內容為例，構建切片式教材分析框架（如圖1）。

三、切片式教材分析實例

（一）教材切片實例分析

以人教版小學數(shù)學教材五年級下冊的“因數(shù)和倍數(shù)”這課為例進行切片分析。

1．切片的劃分

人教版數(shù)學教材“因數(shù)和倍數(shù)”這課被切成七片，第一片是學習內容所處的位置；第二片是本課的學習內容；第三片是學習內容引入方式；第四、五、六片是學習內容展開的層次和方法思想；第七片是結論方式2。不同的學習內容，切片數(shù)量也存在差異，例如處在單元中間的內容，第二個切片在教材中不好切，則需要提煉；有的沒有引入情境，如本課的例2和例3，則可以作為一大切片，然后將它再分項切成兩至三個小切片來處理。

2．切片的分析

根據(jù)以上教材切片，下面重點對“引入方式”、“內容層次、方法思想”、“結論方式”這三個切片作以下分析：

（1）引入方式分析。在前面整數(shù)和小數(shù)除法的基礎上，將9道除法算式進行分類，比較分類結果，進行歸納與概括。對除法算式分類時，是基于學生學習現(xiàn)狀，從數(shù)學內在的邏輯結構展開，對接舊知，聯(lián)系新知。

（2）內容層次與方法思想分析。本課有三個例題，即三個大的切片，每個例題在內容層次、方法思想方面存在緊密聯(lián)系，例1是概念，例2、例3是概念的應用。例1的內容聚焦在除法分類結果中的第一類（整除），在歸納這類除法算式共同特點的基礎上給因數(shù)和倍數(shù)下定義，然后用定義來闡釋算式中兩個數(shù)間的因數(shù)或倍數(shù)關系，體現(xiàn)了由具體到抽象再到具象應用的思想。例2和例3教材編排層次基本相同，注重介紹找一個數(shù)因數(shù)或倍數(shù)的策略——一一列舉，這種策略滲透了集合思想。

（3）結論方式分析。結論主要指數(shù)學的概念、規(guī)律、公式、定理等，這些數(shù)學結論呈現(xiàn)的方式體現(xiàn)了對學生認知規(guī)律的尊重和數(shù)學結構發(fā)展的不斷完善。本課有兩個結論：一個是因數(shù)和倍數(shù)的概念，采用下定義的方式；另一個是一個數(shù)的因數(shù)或倍數(shù)的規(guī)律，采用不完全歸納法。下定義，純文字是抽象的，對學生的理解能力要求高；歸納是基于具體的實例，有具象支撐，也可驗證（具體分析見表2）。

（二）多版本教材切片對比分析

下面以“因數(shù)和倍數(shù)”這課為例，選擇三個版本教材進行切片比較（如表2）。

（三）追問究理，統(tǒng)整教材的教學實踐

1．反思追問

問題1：整除的概念有必要引入嗎？整除是因數(shù)和倍數(shù)的上位概念，如果引入教學，則增加了學習任務量，也會增大難度，影響學生的學習動機。^[4]從以往的教學經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)學生很容易混淆“誰能被誰整除”和“誰整除誰”。但是從知識整體性看，學生需要弄清“誰能被誰整除”和“誰整除誰”，這需要教師將整除概念的內涵向學生闡釋清楚。

問題2：集合圖要教學嗎？必須滲透集合的思想嗎？自然數(shù)、整數(shù)、因數(shù)和倍數(shù)的數(shù)學科學概念都是從集合論的角度來定義的，因此，教學中滲透集合思想是必需的。

問題3：枚舉法是用乘法好、除法好、還是兩種方法都用好？方法好不好可以從兩個角度來判斷：一是學生選不選，好不好用；二是兩種方法是否都必須掌握。從方法的完整性來說，這兩種都要教學，但選哪種？適合的才是最好的，由學生自己確定。

問題4：怎樣培養(yǎng)學生的合情推理能力？合情推理在同類型同結構的情況下才易發(fā)生，所以推理前要豐富實例。

問題5：本課知識的本質是什么？因數(shù)和倍數(shù)兩個概念的本質是非零自然數(shù)域內數(shù)與數(shù)之間的關系。

2．刨根究理

（1）數(shù)學科學概念。自然數(shù)是數(shù)學中最基本的概念，是指“一類等價的非空有限集合的標記，它表示非空有限集合中元素的個數(shù)”^[5]，或“有限集合的基數(shù)”^[6]。這兩種界定方式大同小異，都是從集合論的角度來界定，此外還有公理化的界定。在幾種自然數(shù)的界定中，這種集合論的界定與小學生能理解的描述性定義關系更近一些。因此，某些版本教材的編寫者就從自然數(shù)作為數(shù)學科學概念的角度在此部分教材中呈現(xiàn)了集合圖，以滲透集合思想。

因數(shù)與倍數(shù)是數(shù)論中的基本概念，數(shù)論中的因數(shù)與倍數(shù)的定義為：“如果整數(shù)a能被自然數(shù)b整除，那么a叫做b的倍數(shù)，b叫做a的約數(shù)，約數(shù)有時也叫因數(shù)?！?sup>[7^]還有一種定義為：“對于整數(shù)a與b（b≠0），如果存在一個整數(shù)q使a=bq成立，那么稱b整除a，記為b│a。這時a稱為b的倍數(shù) ，b稱為a的約數(shù)或因數(shù)。”^[8]前一種定義中“整除”是屬概念，是因數(shù)和倍數(shù)概念的根，后一種定義則是將相乘關系作為屬概念，整數(shù)是研究數(shù)的范圍。在以上三個版本的教材中，人教版教材主要依據(jù)前一種定義來介紹因數(shù)和倍數(shù)，其他兩個版本教材則根據(jù)后一種定義引入因數(shù)和倍數(shù)。從小學生當前的認知水平看，在學習此內容之前學生已有豐富的乘法和除法運算基礎，但乘、除兩種運算中，乘法屬于順向思維，所以對于因數(shù)和倍數(shù)的界定，后一種方式更利于小學生理解和掌握。

（2）課程標準中相關內容的表述。與本課內容相關的教學標準有：在1～100的自然數(shù)中，能找出10以內自然數(shù)的所有倍數(shù)，能找出一個自然數(shù)的所有因數(shù)，了解自然數(shù)、整數(shù)等。^[9]在數(shù)學思考方面，與本課聯(lián)系緊密的有：在一系列思維活動中，發(fā)展合情推理能力，獨立、有條理地思考，清楚表達思考過程與結果。體會數(shù)學的基本思想。^[10]在情感態(tài)度方面的要求則為：“在運用數(shù)學知識和方法解決問題的過程中，認識數(shù)學的價值。”^[11]

（3）教材單元知識結構。梳理教材知識結構（如圖2），我們會發(fā)現(xiàn)本課學習的基礎是整數(shù)的乘、除法，整除是因數(shù)與倍數(shù)的根概念，因數(shù)與倍數(shù)又是后面其他知識學習的核心概念，因此乘除法（積、商）是學生認識和掌握因數(shù)倍數(shù)的橋梁（圖2）。

3．統(tǒng)整教材的教學實踐

在教材切片分析和學理分析的基礎上，統(tǒng)整三個版本教材資源，設計教學可以充分發(fā)揮教材資源的作用，優(yōu)勢互補，對教師的教學設計進行適當?shù)某鋵嵟c完善。這樣獲得的“因數(shù)和倍數(shù)”的教學思路如下：畫出12個小正方形拼成的長方形——描述乘除法算式中的因數(shù)與倍數(shù)關系——任意兩數(shù)間的關系——引導學生通過反例——找因數(shù)及規(guī)律——找倍數(shù)及規(guī)律——實踐情境演練。在教學實踐中，我們會發(fā)現(xiàn)：學生在判斷任意兩個數(shù)因數(shù)和倍數(shù)關系時，明顯比直接根據(jù)乘、除法算式思考的時間要長，學生思考時十分依賴乘、除法算式，在說算理的過程中，學生想乘法算式的人數(shù)明顯比想除法的要多得多。學生只要想出了算式，就能判斷兩數(shù)間的關系；反例的學習可以促進學生正確建構核心概念，激發(fā)學生學習主動性。

切片式教材分析是分析教材的一個新視角和新方法，通過縱、橫分析與比較，教師可以更深入地理解教材，發(fā)現(xiàn)差異，通過深入思考發(fā)現(xiàn)知識間的內在邏輯關系。這樣，教師就可以根據(jù)學生的認知結構設計出適合學生學習、有自己獨特理解的教學流程，在提高教師自身專業(yè)素養(yǎng)的同時促進學生更好地發(fā)展。切片式教材分析的框架只是按教材本身的編排順序進行初步的建構，操作容易，但它的合理性、科學性還有待在實踐中進一步完善。

（毛文波，南京市金陵小學，南京 210046）

參考文獻：

[1] 邵瑞珍.教育心理學[M]．上海：上海教育出版社，1988：392．

[2] 吳玉國.小學數(shù)學結構化學習的實踐研究[M]．南京：江蘇鳳凰教育出版社，2021：19-22．

[3] 毛文波，吳玉國. 備課軸：小學數(shù)學結構化學習的實務[J].中小學教師培訓，2018（12）：62-66.

[4] 邵瑞珍等.教育心理學——學與教的原理 [M]．上海：上海教育出版社，1983：290．

[5][7] 江蘇省中等師范學校教材編寫組.小學數(shù)學基礎理論[M]．南京：江蘇教育出版社，1987：2，69．

[6][8] 洪修仁.小學數(shù)學基礎理論[M]．蘇州：蘇州大學出版社，1995：54，119．

[9][10][11] 中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

責任編輯：劉 源