2022年全國乙卷理科第19題的命題特點與備考建議探究

甘肅 陳鴻斌

高考試題研究是高三復習中的一項重要工作,通過挖掘高考試題的命題特點可以及時掌握命題方向和趨勢,進而有效地反思和改進高三復習備考.本文通過對2022年全國乙卷理科第19題進行探究,分析了高考試題的命題特點和命題趨勢,進而反思高三備考復習策略,提出一點復習備考建議,以期拋磚引玉.

1 真題呈現

(2022·全國乙卷理·19)某地經過多年的環(huán)境治理,已將荒山改造成了綠水青山,為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量,隨機選取了10棵這種樹木,測量每棵樹的根部橫截面積(單位: m2)和材積量(單位: m3),得到如下數據:

樣本號i12345678910總和根部橫截面積xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9

(1)估計該林區(qū)這種樹木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；

(2)求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的樣本相關系數(精確到0.01)；

(3)現測量了該林區(qū)所有這種樹木的根部橫截面積，并得到所有這種樹木的根部橫截面積總和為186 m2.已知樹木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數據給出該林區(qū)這種樹木的總材積量的估計值.

附:相關系數

2 同源真題比較

統(tǒng)計解答題對變量的相關關系問題的考查可以說并不陌生,早在2016年全國卷Ⅲ理科第18題和2020年全國卷Ⅱ理科第18題中就有所考查,下面的引題1和引題2分別為這兩年的高考真題.

【引題1】(2016·全國卷Ⅲ理·18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.

注:年份代碼1～7分別對應年份2008～2014.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；

(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到0.01)，預測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

(1)求該地區(qū)這種野生動物數量的估計值(這種野生動物數量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數量的平均數乘以地塊數)；

(2)求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關系數(精確到0.01)；

(3)根據現有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大.為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數量更準確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由.

附：相關系數：

將2022年全國乙卷理科第19題與引題1和引題2相互比較,如下表所示:

題目2022年全國乙卷理科第19題引題1:2016年全國卷Ⅲ理科第18題引題2:2020年全國卷Ⅱ理科第18題不同點本題更具開放性,考生可以利用表格直接計算相關系數,但運算量太大;也可以對相關系數公式變形,代入已知數據,較易.可以看出本題更關注對公式本身的理解需要對相關系數公式部分變形,不變形無法求解,單向考查對公式本身的理解直接代入相關系數公式,比較機械,運算量大相似點問題背景三道題均以生態(tài)環(huán)境建設為素材背景進行命題設問形式三道題都設置了相關系數的運算問題.其中本題與引題2設問形式相同,均設三問.考查角度三道題都考查相關系數的運算,數據處理能力、運算求解能力和應用意識,落實數據分析、數學建模、數學運算核心素養(yǎng).其中引題1和引題2都還考查了相關系數的統(tǒng)計意義.本題和引題1求解相關系數都需要變形公式

從上表分析可以看出,2022年全國乙卷在引題1和引題2的基礎上有所創(chuàng)新,就相關系數而言,本題與2016年的全國卷Ⅲ理科第18題更為相似,但本題更具開放性,給考生提供了選擇空間.

3 真題解答

≈0.97.

【點評】從上面的解答可以發(fā)現,總體求解思路還是比較簡單的,但是第(2)問有區(qū)分度：一是不對相關系數公式進行變形,直接從表格中獲取數據,這樣對已知提示數據利用不高而導致運算極大;二是對相關系數公式進行變形代入計算,但是運算量仍然不小.縱觀近幾年的高考試題,對數學運算核心素養(yǎng)的考查力度呈現加大趨勢.

4 命題特點分析

4.1 設置生態(tài)環(huán)境建設的現實情境,發(fā)揮育人功能

高考數學命題堅持思想性與科學性的統(tǒng)一,發(fā)揮數學的應用廣泛性,設置具有教育意義的現實情境,發(fā)揮育人功能.本題和引題1、引題2一樣,都是以生態(tài)環(huán)境建設為背景,考查學生統(tǒng)計的基本知識和基本方法的同時,考查關鍵能力和核心素養(yǎng).從本題中學生可以了解到我國生態(tài)環(huán)境建設取得的巨大成就,有助于增強學生的愛國主義精神,引導學科教學應注重課程思政,發(fā)揮育人功能,弘揚正能量和核心價值觀,以立德樹人為根本任務.

4.2 平淡中有創(chuàng)新

本題的設問以及題干的表述都很常規(guī),但是求解相關系數的過程具有創(chuàng)新性：一是打破了像引題2那樣直接給出的機械代入模式.這種模式可以說基本上貫穿了整個高三復習歷程,而且給考生一種“統(tǒng)計問題就是帶值計算”的錯誤認知,雖然說引題1已經對公式本身的理解有所導向,但是時間較久,復習備考中重視不夠,所以成了思維定式.二是相比較引題1,本題更具開放性,雙重選擇下尋找最優(yōu)解題策略.這就使得本題具有很大的創(chuàng)新性.

4.3 命制有梯度、著力于數學核心素養(yǎng)的考查

本題第(1)、(3)問,大多數考生都能拿下,考查要求體現了基礎性,但是第(2)問就不那么容易了.雖易上手,但不易走出來.如果選擇從表格里獲取數據計算相關系數,運算量很大,很多考生在這里投入大量時間卻無結果.根據題目中的數據,需要對相關系數公式進行變形才能代入計算,但是從解答來看,運算量還是不小.可以看出,本題在面向大多數考生的同時,對數學核心素養(yǎng)提出了要求,如果數學運算的核心素養(yǎng)不夠,那么是算不出結果的.當然首先要從現實情境中獲取數據,抽象成數學模型才能完成本題的解答.因此,本題是以素養(yǎng)立意,考查運算求解、數據處理的能力和應用意識,落實數學運算、數據分析和數學建模的核心素養(yǎng).

5 命題趨勢

從上面2022全國乙卷理科第19題的命題特點來看,2023年高考數學統(tǒng)計解答題應具有以下的命題趨勢:

(1)仍然設置現實情境問題,發(fā)揮育人功能；

(2)數學運算關注知識的原理、化簡,不再是簡單的機械代入；

(3)仍然立足于數學運算、數據分析和數學建模核心素養(yǎng)的考查.

6 幾點建議

6.1 統(tǒng)計復習不能停留在機械的套用公式上

如今高三備考對統(tǒng)計部分的復習基本上停留在機械的代入現成公式,缺少對公式本身的理解,因為高考試題會附參考公式,所以學生對公式的表達式也不要求記憶,致使統(tǒng)計部分對基本公式的掌握連死記硬背的程度都沒有達到,只是停留在對現成公式的死搬硬套上.通過對今年高考試題的命題特點的分析,啟示我們在今后在統(tǒng)計部分的復習中,要引導學生熟練掌握基本公式的意義、推導及變形,對數學公式、概念深刻理解,才能適應高考的不斷創(chuàng)新.只有理解了必備知識,才能培養(yǎng)關鍵能力.

6.2 高三復習應注重大單元整體復習策略

無論是2022年全國乙卷理科第19題還是引題1、引題2,他們并不是單純的考查相關系數的計算,還會交匯回歸分析、樣本估計總體等知識.所以我們在復習備考中不是點對點,而是要成面結網,注重知識的聯系性,打破現有章節(jié)的限制,將相關的知識整合在一起,采用大單元整體復習策略,重新建構認知結構,有助于從整體上理解數學知識.大單元整體建構知識不是簡單的知識點的羅列,而是要對統(tǒng)計這一模塊的知識重新整合,不僅要體現知識之間的上下位從屬關系,而且還要體現邏輯關系,這樣的知識梳理才具有體系化和網絡化,如圖所示.

上圖是筆者在復習備考統(tǒng)計這一模塊時,引導學生重新建構的知識體系,源自于筆者對教材的重新整合,以及歷年高考試題的命題規(guī)律.學生對知識有了清晰的框架結構,解題思路才具有系統(tǒng)化和體系化.

6.3 高三備考復習仍要重視發(fā)展數學運算核心素養(yǎng)