湖南 張新民

高考命題注重對“基礎性”的考查要求，解答題的前幾道試題往往設置一些“基礎性”試題，旨在考查學生的基礎知識、基本能力和基本素養(yǎng)，包括全面合理的知識結構、扎實靈活的能力.這些試題看似素材質(zhì)樸、背景平淡，但往往平中蘊奇，有著豐富的思想方法內(nèi)涵，反映出數(shù)學本質(zhì)性的東西，多角度進行分析、探究，對提高數(shù)學思維能力大有裨益.2022年新高考Ⅰ卷第17題的數(shù)列解答題就是基于“基礎性”考查要求的一道優(yōu)質(zhì)試題，本篇以該試題為母題，從母題變式、推廣及知識聯(lián)系等方面進行分析研究.

一、母題呈現(xiàn)

(1)求{an}的通項公式；

二、母題分析

試題以基礎知識、基本方法、基本數(shù)學思想的面目對數(shù)列解答題進行考查，試題設置兩小問：第(1)問利用題設所給等差數(shù)列的條件以及數(shù)列“和”與“項”的關系轉(zhuǎn)化為遞推式，運用累乘法或構造常數(shù)列求出數(shù)列的通項公式，這一小問是該道試題的重點部分，需要運用分類討論和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想及累乘法，其中還考查思維的全面性；第(2)問依據(jù)第(1)問求得的通項公式，進行裂項求和，然后“放縮”證得結論.試題雖然是試卷中首道解答題，但對數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)要求是比較高的.透過試題表象，可以看出命題者對數(shù)列解答題命題的深層次思考.

三、母題解答

解法1(累乘法+裂項相消法)：

整理得(n-1)an=(n+1)an-1，

顯然對于n=1也成立，

點評：對于第(1)問，利用數(shù)列“和”與“項”的關系轉(zhuǎn)化為遞推式后，運用累乘法求得an后，需要注意的是不要忽視對于n=1是否成立的驗證.

解法2(構造常數(shù)列+裂項相消法):

(2)同解法1.

點評：對于第(1)問，首先利用數(shù)列“和”與“項”的關系轉(zhuǎn)化為遞推式，變形后，通過構造常數(shù)列求出數(shù)列的通項公式.

四、考查模式

數(shù)列是高中數(shù)學的核心知識，也是新高考卷解答題中必考的基本內(nèi)容之一.新高考Ⅰ卷已啟用三年，這三年對數(shù)列解答題的考查均以考查基礎知識、基本方法、基本數(shù)學思想的面目出現(xiàn)，試題處于17或18題的位置.試題設置兩問：第(1)問求數(shù)列的通項公式，主要考查基本量思想的應用、數(shù)列有關性質(zhì)或數(shù)列遞推關系；第(2)問設置數(shù)列求和或與數(shù)列通項、前n項和等有關的數(shù)列不等式證明、求參數(shù)的取值范圍等問題.其中“數(shù)列求和”是命題的“主旋律”，方法有直接利用求和公式、裂項相消、錯位相減、分組求和或分段求和等，這是數(shù)列解答題的重點考查方向.下表是2020～2022年新高考Ⅰ卷對數(shù)列解答題的考查一覽，新高考Ⅰ卷對數(shù)列解答題的考查特點由此可窺見一斑.

表 2020～2022年新高考Ⅰ卷數(shù)列解答題考查一覽

筆者預測2023年新高考Ⅰ卷對數(shù)列解答題的考查風格總體上會繼續(xù)沿用現(xiàn)有模式.從命題形式上看，近年來新高考Ⅰ卷刻意避開“結構不良”的命題形式，盡管在近幾年各地的新高考模擬卷中數(shù)列解答題的結構不良試題出現(xiàn)的頻率很高，命題較多，但新高考Ⅰ卷對以結構不良題型出現(xiàn)的數(shù)列解答題還未曾涉及，而數(shù)列卻是作為命制結構不良試題最佳的素材和載體，因而預測2023年新高考Ⅰ卷命制數(shù)列結構不良試題的可能性很大，希望新高考Ⅰ卷地區(qū)的教師在指導復習備考時予以關注.

五、母題變式

(1)求{an}的通項公式；

和母題一樣，對于第(1)問，也是用兩種方法分別來解答.

整理得(n-1)an=(n+k-2)an-1，

因為a1=1，且與組合數(shù)公式相聯(lián)系，

所以當k≥3時，

等式左、右兩邊分母同乘以(n+1)(n+2)(n+3)×…×(n+k-2)，

(2)同解法1.

點評：變式1將母題延伸、推廣到一般情形，運用數(shù)列知識并結合計數(shù)原理中的排列數(shù)、組合數(shù)及其變形推導、證明結論，抽象程度高，邏輯思維能力強，需要有較強的運算求解能力，很好地考查了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模及數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng).

考慮到母題的第(2)問是運用裂項相消法求和的，這里在直接給出數(shù)列{an}的遞推關系的條件下，(1)利用累乘法求通項；(2)考查利用錯位相減法求和，則有：

(1)求{an}的通項公式；

(2)證明：a1+a2+a3+…+an≤-2.

因為a1=-2，所以得an=-n·2n(n≥2，n∈N*).

又a1=-2符合上式，故數(shù)列{an}的通項公式為an=-n·2n.

(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，即Sn=a1+a2+a3+…+an.

由(1)知Sn=-(1×2+2×22+…+n·2n)，

兩式相減，得Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2n+1-2-n·2n+1=-2+(1-n)·2n+1≤-2.

故a1+a2+a3+…+an≤-2得證.

考慮到裂項相消法求和的多樣性，這里將母題第(2)問的裂項相消法求和變?yōu)椤爸笖?shù)型”，則有：

【變式3】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn+1=Sn+2an+1，n∈N*.

(1)證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；

【分析】(1)首先利用Sn與an的關系，得到an+1與an的遞推關系，配湊后證得結論.

【解析】(1)因為Sn+1=Sn+2an+1，

所以Sn+1-Sn=2an+1，

所以an+1=2an+1，

所以an+1+1=2(an+1)，

又a1=1，所以a1+1=2，

故數(shù)列{an+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.

(2)由(1)得an+1=2×2n-1=2n，所以an=2n-1，

故Tn<1得證.

考慮到命題形式的多樣性，這里設置一個結構不良試題，則有：

【變式4】已知數(shù)列{an}與正項等比數(shù)列{bn}滿足an=log2bn(n∈N*)，且________.

(1)求{an}與{bn}的通項公式；

(2)設Cn=an·bn，求數(shù)列{Cn}的前n項和Sn.

從①b3=16，b6=128；②b1=4，b5-b1b3=0這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

【分析】本題是以結構不良試題形式命制的試題，首先從題中所給的兩個條件中任選一個，補充到題目中，然后按結構良好試題的模式去作答.

(1)利用已知條件和等比數(shù)列通項公式求出數(shù)列{bn}的通項公式，再利用已知中兩數(shù)列關系求出數(shù)列{an}的通項公式.

(2)將{an}與{bn}的通項公式代入Cn=an·bn，然后運用乘公比錯位相減法求出數(shù)列{Cn}的前n項和Sn.

【解析】若選①，

(1)因為數(shù)列{bn}是正項等比數(shù)列，所以b6=b3q3.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=n+1，{bn}的通項公式為bn=2n+1.

(2)Cn=an·bn=(n+1)·2n+1，

所以Sn=2·22+3·23+4·24+…+(n+1)·2n+1，

2Sn=2·23+3·24+…+n·2n+1+(n+1)·2n+2.

故Sn=n·2n+2.

若選②，

(1)由b5-b1b3=0，得b5=b1b3.

因為數(shù)列{bn}是正項等比數(shù)列，設{bn}的公比為q,所以b1q4=b1·b1q2.

因為b1=4，所以q2=4，又bn>0，所以q=2.

所以bn=b1qn-1=4·2n-1=2n+1.

所以an=log2bn=n+1.

故數(shù)列{an}的通項公式為an=n+1，{bn}的通項公式為bn=2n+1.

(2)同選①的解法.

六、方法規(guī)律

1.求數(shù)列的通項公式是高考考查的重點，其中累加、累乘法是求數(shù)列通項的基本方法.

(1)累加法

將遞推公式變形為an+1-an=c(c為常數(shù))或an+1-an=f(n)，分別令n=1，2，3，…，n-1，n，再將這n個式子相加得an+1-a1的表達式，從而求得數(shù)列{an}的通項公式.

(2)累乘法

2.?？嫉臄?shù)列求和的主要方法

(1)裂項相消法求和

將數(shù)列的各項拆分成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項和變成首尾若干少數(shù)項之和.裂項相消法求和用得比較多，一般是把通項公式分解為兩式子的差，再相加抵消，但是在抵消時，有的是依次抵消，有的是間隔項抵消，特別是間隔項抵消時要注意規(guī)律性.另外，要注意的是裂項相消后剩余的正項和負項的項數(shù)一樣多.

(2)錯位相減法求和

若數(shù)列{cn}的通項公式為cn=anbn，其中{an}，{bn}中一個是等差數(shù)列，另一個是等比數(shù)列，求和時一般在已知和式的兩邊都乘以組成這個數(shù)列的等比數(shù)列的公比q，然后再將得到的新和式和原和式相減，轉(zhuǎn)化為同倍數(shù)的等比數(shù)列求和，這種方法就是錯位相減法.

(3)分組求和

數(shù)列的通項是若干項的代數(shù)和，要將其分成幾部分來求解.

(4)分段求和

對于以分段形式給出的數(shù)列求和問題，先研究各段的規(guī)律，然后分段求和后再合并.

七、教學啟示