五水平U型設(shè)計在可卷型L2-偏差下的新下界*

胡柳平,裴 武,周 昱,歐祖軍

(1.華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079;2.吉首大學(xué)師范學(xué)院，湖南 吉首 416000;3.吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000)

均勻設(shè)計是一種重要的空間填充設(shè)計,它要求試驗點均勻分布在試驗區(qū)域中,具有靈活性和穩(wěn)健性的優(yōu)點.設(shè)計的均勻性一般采用偏差來衡量.可卷型L2-偏差[1]被廣泛用于評價設(shè)計的均勻性,其精確的下界可用來檢驗設(shè)計的均勻程度.在可卷型L2-偏差下,學(xué)者獲得了二水平、三水平、二和三混水平U型設(shè)計的一些下界[2-7],并給出了對稱和非對稱U型設(shè)計的一般下界[8-9].考慮到五水平設(shè)計在實踐中應(yīng)用廣泛,為了更好地評價五水平設(shè)計的均勻性,筆者將主要探討五水平U型設(shè)計在可卷型L2-偏差下的下界問題.

1 預(yù)備知識

(1)

其中

記ξij=|{(i,j):xik=xjk}|,ηij=|{(i,j):(xik,xjk)∈Ω1}|,γij=|{(i,j):(xik,xjk)∈Ω2}|,其中|Ω|表示集合Ω的勢,那么

ξii=s,ηii=0,γii=0,ξij+ηij+γij=s，

2 主要結(jié)論

引理1[8]對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),有[WD(d)]2≥LB1,其中

定理1對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),有

(2)

證明由(1)式，有

證畢.

定理2對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),有[WD(d)]2≥LB2,其中

證明由(2)式和引理2，有

證畢.

根據(jù)引理1和定理2可得五水平U型設(shè)計在可卷型L2-偏差下更精確的下界：

定理3對于任意設(shè)計d∈U(n;5s),有[WD(d)]2≥LB,其中LB=max{LB1,LB2}.

3 實例分析

例1考慮如下設(shè)計d1∈U(5;52),d2∈U(5;53),d3∈U(10;57)和d4∈U(10;510)，即

設(shè)計d1～d4的數(shù)值結(jié)果見表1.由表1可知，下界LB2比LB1更緊,且LB2可達(dá).

表1 設(shè)計d1～d4的數(shù)值結(jié)果

4 結(jié)語

可卷型L2-偏差精確的下界可用于檢驗設(shè)計的均勻程度.本研究獲得的五水平U型設(shè)計在可卷型L2-偏差下的新下界LB2,它比文獻(xiàn)[8]中的下界LB1更精確,是對可卷型L2-偏差下界的有效補(bǔ)充,可以將其作為搜索五水平均勻設(shè)計的基準(zhǔn).