北京市順義區(qū)教育研究考試中心 張秋爽

創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的基本任務(wù)，應(yīng)體現(xiàn)在數(shù)學(xué)教與學(xué)的過(guò)程中。學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題是創(chuàng)新的基礎(chǔ)；獨(dú)立思考、學(xué)會(huì)思考是創(chuàng)新的核心；歸納概括、形成猜想和總結(jié)規(guī)律，并加以驗(yàn)證，是創(chuàng)新的重要方法。創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)應(yīng)該從義務(wù)教育階段做起，貫穿數(shù)學(xué)教育的始終。

一、在關(guān)鍵處提問(wèn)題，凸顯數(shù)學(xué)核心概念

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是要滿足學(xué)生的好奇心，使其不僅知道是什么，還要知道為什么。課堂上要給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題的時(shí)間，這樣做的目的：一是解決學(xué)生心中的疑惑，滿足他們的需求；二是凸顯數(shù)學(xué)的核心概念，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

“11~20各數(shù)的認(rèn)識(shí)”一課，講述了古人用大石頭、小石頭表示11~20各數(shù)的故事，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用直觀的學(xué)具——小棒進(jìn)行表示，認(rèn)識(shí)10個(gè)1就是1個(gè)10。接下來(lái)，教師還可以為學(xué)生介紹計(jì)數(shù)器，但是，怎么介紹好呢？

我們班學(xué)生有一半已經(jīng)認(rèn)識(shí)了計(jì)數(shù)器，他們會(huì)告訴你“左邊放一顆珠子代表10，右邊放一顆珠子代表1”對(duì)于這部分知識(shí)，怎樣讓每個(gè)學(xué)生都能知其然又知其所以然呢？

師：剛才我們欣賞了聰明的古人用1個(gè)大石頭和1個(gè)小石頭表示出11，也能用1捆和1根小棒表示11。你還能用什么表示11呢？

師：咱們的學(xué)具袋中有很多珠子，有顏色不相同、大小相同的珠子；有顏色相同、大小不相同的珠子；也有顏色相同、大小也相同的珠子。請(qǐng)同學(xué)們從中挑兩顆珠子表示11，試試看。

（學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試后進(jìn)行交流）

生1：（邊說(shuō)邊撥）我拿一個(gè)珠子放在計(jì)數(shù)器的十位上表示1個(gè)10 ，拿一個(gè)珠子放在個(gè)位上表示1個(gè)1，這就是11。

生2：為什么長(zhǎng)得一樣，一個(gè)表示10，一個(gè)表示1呢？

生3：為什么大小一樣、顏色也一樣的兩個(gè)珠子能表示11，不是2個(gè)珠子表示2嗎？

師：好問(wèn)題，真會(huì)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。不著急，讓我們?cè)賮?lái)聽聽其他同學(xué)的想法，相信大家的問(wèn)題就能解決了。

生1：我拿一個(gè)大珠子表示1個(gè)10，拿一個(gè)小珠子表示1個(gè)1。

生2：我拿一個(gè)大珠子表示1個(gè)10 ，放在上邊，拿一個(gè)小珠子表示1個(gè)1，放下邊。

師：大珠子、小珠子就像大石頭、小石頭一樣，放上邊、下邊可以，放左邊、右邊也可以，和位置沒(méi)有關(guān)系。

生1：我拿兩個(gè)大小一樣的珠子，藍(lán)色代表1個(gè)10，綠色代表1個(gè)1。

生2：我也是拿兩個(gè)大小一樣的珠子，綠色代表1個(gè)10，藍(lán)色代表1個(gè)1。

生3：我拿的是紅色和黃色的珠子，黃色的代表1個(gè)10，紅色的代表1個(gè)1；反過(guò)來(lái)也行。

師：同樣大小的兩顆珠子，選擇兩種不同的顏色，只要事先約定，就可以表示出11。那你們有拿形狀相同、顏色也相同的兩顆珠子表示11的嗎？能表示嗎？

生：我覺(jué)得兩顆一模一樣的小珠子只能表示2，它就是兩個(gè)，不能表示11。

師：是呀，我也是這么想的。

生1：我覺(jué)得可以把1個(gè)小珠子看成10，另一個(gè)小珠子看成1。

生2：可是這兩顆小珠子長(zhǎng)得一模一樣，又不是一個(gè)大一個(gè)小，難以分辨。

師：是呀，同樣大小的珠子你怎么能讓所有人都知道到底誰(shuí)是10誰(shuí)是1呀？

生：在一顆珠子上寫個(gè)10，在另一顆珠子上寫個(gè)1不就行了。

師：其實(shí)，剛才他的想法和我們數(shù)學(xué)家的想法特別像，數(shù)學(xué)家為我們制作了計(jì)數(shù)的工具，快來(lái)看（出示計(jì)數(shù)器），認(rèn)識(shí)嗎？

師：既然兩顆小珠子長(zhǎng)得一模一樣，我們就用位置來(lái)區(qū)分。請(qǐng)看計(jì)數(shù)器，從右邊起第一位是個(gè)位，個(gè)位上有幾顆珠子表示幾個(gè)一；從右邊起第二位是十位，十位上有幾顆珠子就表示幾個(gè)十。所以兩顆一模一樣的珠子一個(gè)放在個(gè)位，一個(gè)放在十位，就表示11。

師：你們還有什么問(wèn)題嗎？

生：兩顆長(zhǎng)得一模一樣的珠子還能代表幾呢？

師：真會(huì)提問(wèn)題！你能順藤摸瓜，從一點(diǎn)出發(fā)向多個(gè)角度提問(wèn)，值得大家學(xué)習(xí)。關(guān)于他的問(wèn)題，同學(xué)可以先撥一撥再回答。

生：兩顆珠子還可以表示2，把兩顆都放在個(gè)位。（學(xué)生們沉默了，沒(méi)有了其他答案）

師：兩顆珠子還可以表示20，放在哪兒呢？

生：兩顆珠子放在十位，就表示20。

師：對(duì)呀！結(jié)合大家的回答，我們就明白了，兩顆珠子都放在個(gè)位表示2個(gè)1，都放在十位，表示2個(gè)十，還可以1顆放個(gè)位，1顆放十位，表示11。

生：兩顆珠子可以表示11，12可以用幾顆珠子表示？13呢？

師：同學(xué)們，表示12用幾顆珠子？十位放幾顆？個(gè)位放幾顆？誰(shuí)愿意回答？

生：3顆珠子可以表示12，1顆放在十位，2顆放在個(gè)位；4顆珠子可以表示13，3顆在個(gè)位，1顆在十位。

本節(jié)課內(nèi)容是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)位的開始，也是學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)位和計(jì)數(shù)單位的重要基礎(chǔ)。教師根據(jù)學(xué)情，從結(jié)論出發(fā)，抓住學(xué)生的困惑，從困惑出發(fā)，把靜態(tài)的知識(shí)設(shè)計(jì)成動(dòng)態(tài)生成的過(guò)程，給學(xué)生提供了思考的空間，使其產(chǎn)生疑惑，師生共同發(fā)現(xiàn)和提出一連串的問(wèn)題，在互動(dòng)交流中解決疑惑，從而碰撞出智慧的火花，幫助學(xué)生真正理解“不同數(shù)位上的數(shù)可以表示不同的數(shù)值”。感悟在計(jì)數(shù)器上用小珠子表示數(shù)的價(jià)值，拓寬了學(xué)生的視野，從結(jié)論本身走向知識(shí)的形成過(guò)程，詮釋了由淺入深的思維層次。

水平1：“大珠子、小珠子”與“大石頭和小石頭”“一梱小棒和一根小棒”具有異曲同工之妙，都分別用來(lái)表示10和1，一個(gè)大石頭或一梱小棒可以表示10，一個(gè)小石頭或一根小棒可以表示1，所以可以表示11。而大珠子、小珠子有大小之分，表示的數(shù)分別是10和1，石頭放在哪兒都不影響數(shù)的大小，大石頭表示的數(shù)總是10，小石頭表示的數(shù)總是1，和位置沒(méi)有關(guān)系，學(xué)生容易接受，但呈現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上，大小不一樣的珠子不便于交流。

水平2：形狀相同、顏色不一樣的兩顆珠子也可以表示11，只要事先有約定，不同顏色的珠子放在哪兒都可以，約定后不影響它們代表數(shù)的大小，和位置無(wú)關(guān)，但呈現(xiàn)在計(jì)數(shù)器上，約定的種類就更豐富了，需要做解釋和說(shuō)明。

水平3：長(zhǎng)得一模一樣的兩顆珠子不好區(qū)分，需要在一顆珠子上寫上“10”，在另一顆珠子上寫上“1”，就能表示11。這正是位值制的本質(zhì)，同樣的數(shù)放在不同數(shù)位上表示不同的值。

本節(jié)課，讓學(xué)生在關(guān)鍵處提問(wèn)題，教給他們順著桿接著問(wèn)，從多角度思考，把握知識(shí)的來(lái)龍去脈，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生初步形成了符號(hào)意識(shí)，也促進(jìn)了他們的數(shù)學(xué)理解，為其后續(xù)學(xué)習(xí)大數(shù)的認(rèn)識(shí)打下基礎(chǔ)。

二、在對(duì)比中提問(wèn)題，凸顯知識(shí)關(guān)聯(lián)

發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的意愿和能力是學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)，也是創(chuàng)新的基礎(chǔ)。真正的學(xué)習(xí)是從學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題開始的，不斷產(chǎn)生疑問(wèn)，探究知識(shí)的奧秘，繼而成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力。

在學(xué)習(xí)“2、5、3的倍數(shù)的特征”時(shí)，學(xué)生可以通過(guò)舉例，經(jīng)歷不完全歸納推理的過(guò)程，得出2、5的倍數(shù)只看個(gè)位，而3的倍數(shù)要看各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是否是3的倍數(shù)。學(xué)生能把特征記下來(lái)，并用它去判斷一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)、5的倍數(shù)或3的倍數(shù)，難道這就是我們學(xué)習(xí)的目標(biāo)和價(jià)值追求嗎？數(shù)學(xué)不是記憶，除了獲得這些知識(shí)技能外，課堂上還要讓學(xué)生收獲些點(diǎn)什么？數(shù)學(xué)是理解，要從工具性理解到關(guān)系性理解。教師在教學(xué)過(guò)程中，要進(jìn)行對(duì)比和勾連。

師：看到“2、5、3的倍數(shù)的特征”這個(gè)課題，你有什么問(wèn)題？

生1：2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、5的倍數(shù)有什么特點(diǎn)？

生2：為什么2、5的倍數(shù)的特征只看個(gè)位？不看其他的數(shù)位呢？

生3：為什么3的倍數(shù)的特征看個(gè)位不行，要看各數(shù)位上的數(shù)之和才能判斷呢？

……

如何讓學(xué)生能理解這樣的概念呢？教師可以擺一擺、分一分、畫一畫、說(shuō)一說(shuō)，然后大家一起交流。

生1：我們學(xué)過(guò)2的乘法口訣，一二得二、二二得四、二三得六……二九十八，個(gè)位上的數(shù)是0、2、4、6、8，因此，我認(rèn)為2的倍數(shù)的特征是個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)。

生2：你的發(fā)言啟發(fā)了我，5的乘法口訣，個(gè)位不是0就是5，沒(méi)有其他的數(shù)字，所以個(gè)位上是0或5的數(shù)，就是5的倍數(shù)。

生3：我拿12根小棒，也就是1捆和2根小棒；1捆10根小棒是2的倍數(shù)，只需要看2根是否是2的倍數(shù)就可以了，所以2的倍數(shù)只看個(gè)位就可以了。

師：你能把剛才表達(dá)操作過(guò)程的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言嗎？也就是用一個(gè)算式來(lái)說(shuō)明。

生1：12÷2=（10+2）÷2=10÷2+2÷2，整十部分就不看了，直接看個(gè)位數(shù)是不是2的倍數(shù)就能判斷12是不是2的倍數(shù)。

生2：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，整捆的表示整十?dāng)?shù)，整十?dāng)?shù)肯定是2的倍數(shù)，那么只需要看個(gè)位有幾根小棒，也就是有幾個(gè)一，個(gè)位是4，4是2的倍數(shù)，所以54就是2的倍數(shù)。

生3：我在計(jì)數(shù)器上撥一個(gè)數(shù)136，也就是1個(gè)百、3個(gè)十和6個(gè)一，100肯定是2的倍數(shù)，30也肯定是2的倍數(shù)，所以只看個(gè)位，其他位就可以不看了。其實(shí)只需要看個(gè)位是單數(shù)還是雙數(shù)，個(gè)位是6，是雙數(shù)，因?yàn)?是2的倍數(shù)，所以136就是2的倍數(shù)。

生4：以此類推，一個(gè)數(shù)是不是2的倍數(shù)，只需要看個(gè)位就可以了，因?yàn)樗械恼當(dāng)?shù)、整百數(shù)、整千數(shù)等都是2的倍數(shù)，就不用考慮了。

學(xué)生在操作中感悟數(shù)的分與合，通過(guò)列舉多個(gè)例子，進(jìn)行了合情推理的過(guò)程，明白了2的倍數(shù)為什么只看個(gè)位，個(gè)位是0、2、4、6、8的數(shù)就是2的倍數(shù)的道理，做到了知其然更知其所以然。

同理，在學(xué)習(xí)5的倍數(shù)時(shí)，教師也可以讓學(xué)生操作，經(jīng)歷不完全歸納法的過(guò)程，明白知識(shí)的來(lái)龍去脈。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生動(dòng)手操作小棒，自己尋找3的倍數(shù)的特征。

生1：我拿54根小棒，也就是5捆和4根小棒，即5個(gè)十和4個(gè)一，個(gè)位是4，所以不是3的倍數(shù)。

生2：僅看個(gè)位好像不行，5個(gè)十不是3的倍數(shù)，4個(gè)一也不是3的倍數(shù)，無(wú)法判斷。

生3：是呀，54是3的18倍，按照經(jīng)驗(yàn)看個(gè)位不行了。我選擇的數(shù)是72，也就是7捆和2根小棒，表示7個(gè)十和2個(gè)一，單看個(gè)位，不是3的倍數(shù)，可72是3的24倍。

師：討論到這兒，你們有什么問(wèn)題或感覺(jué)？

生1：我感覺(jué) 54根小棒不能按照整捆的和單根的那樣去分了。

生2：那應(yīng)該把小棒分成兩部分，讓其中一部分就是3的倍數(shù)，只看其余的部分就行了？

師：這個(gè)辦法好！你是如何考慮的？

生：我們學(xué)習(xí)2、5的倍數(shù)的特征，都是先分出一部分固定不變的，這固定不變的部分一定是2的倍數(shù)或5的倍數(shù)，然后再看另一部分。

師：你能夠用舊知聯(lián)想，進(jìn)行類比遷移，是一種非常好的辦法。問(wèn)題是按照我們認(rèn)數(shù)時(shí)的分解和組合的方式不合適了，該怎么拆分呢？

生1：我知道3的倍數(shù)的特征要看各數(shù)位上的數(shù)字之和是不是3的倍數(shù)，就能判斷。如54，先看5+4的和，和是9，9是3的倍數(shù)，54就是3的倍數(shù)；82不是3的倍數(shù)，因?yàn)?+2的和是10，10不是3的倍數(shù)。

生2：為什么是這樣的呢？54明明是50+4，怎么能變成5+4呢？

師：你很會(huì)提問(wèn)題，從是什么到為什么，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題并提出問(wèn)題，還把自己心中的困惑清晰地表達(dá)出來(lái)，大家一起討論。這才是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)所追求的，數(shù)學(xué)是講道理的，弄清楚其中的道理能讓我們體會(huì)解決問(wèn)題的方法和思考的新角度。請(qǐng)大家看我手里的小棒，認(rèn)真思考，看看還是和原來(lái)那樣拆分嗎？

（師出示5捆和4根小棒）

師：這是54，剛剛說(shuō)過(guò)5捆不是3的倍數(shù)，也就是10不是3的倍數(shù)，我們可以把每捆小棒看作是“9+1”，9是3的倍數(shù)，拿走9根，1捆剩下1根，5捆就是5個(gè)“9+1”，5個(gè)9不用考慮了，剩下5個(gè)1，所以5捆的50，我們只需要判斷剩下的5和4合起來(lái)是否是3的倍數(shù)即可。

生：老師，我明白了，您操作小棒的過(guò)程可以這樣記錄：54=5×（9＋1）+4=5×9+（5+4），5×9一定是3的倍數(shù)，不用考慮了，就看剩下的余數(shù)5+4的和9，5+4的和是9，9是3的倍數(shù)，所以54就是3的倍數(shù)。

師：在操作中感悟，在感悟中質(zhì)疑，在聯(lián)系中理解，在理解的基礎(chǔ)上遷移。同學(xué)們的疑問(wèn)就能解決，你們還有新的發(fā)現(xiàn)或問(wèn)題嗎？

生1：2、5、3的倍數(shù)的特征表面上看著沒(méi)聯(lián)系，難道真的一點(diǎn)聯(lián)系都沒(méi)有嗎？

生2：為什么只學(xué)2、5、3的倍數(shù)的特征？其他數(shù)的特征就不學(xué)了呢？

生3：6、9的倍數(shù)的特征和3的倍數(shù)的特征有聯(lián)系嗎？

生4：4的倍數(shù)的特征看個(gè)位行嗎？看個(gè)位不行的話，看全部行嗎？還是和2的倍數(shù)一樣，看某些位就行呢？

生5：2×5=10，2和5的倍數(shù)看個(gè)位；4×25=100，是不是4的倍數(shù)、25的倍數(shù)就看后兩位？看個(gè)位和十位行嗎？

生6：7的倍數(shù)有什么特征呢？

……

這些問(wèn)題使學(xué)生們眼前一亮，也讓他們渴望尋找答案。教師只有給學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題的時(shí)間和空間，才能激發(fā)他們不斷地想、持續(xù)地想、關(guān)聯(lián)地想，也給他們后續(xù)的研究提供了素材。最終，每個(gè)學(xué)生都能始終保持思考的狀態(tài)，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，用所學(xué)知識(shí)和方法解決自己感興趣的問(wèn)題。

三、在無(wú)疑處提問(wèn)題，拓展學(xué)生的思考維度

在學(xué)習(xí)“長(zhǎng)、正方體的認(rèn)識(shí)”時(shí)，我們非常強(qiáng)調(diào)根據(jù)幾何元素去觀察。對(duì)于長(zhǎng)、正方體來(lái)說(shuō)，它的幾何元素就是面、棱和頂點(diǎn)，其中個(gè)數(shù)和關(guān)系是元素的思考維度。

學(xué)生都知道長(zhǎng)方體有6個(gè)面、12條棱、8個(gè)頂點(diǎn)。在單元復(fù)習(xí)課上，需要教師引領(lǐng)學(xué)生思考：

（1）長(zhǎng)方體為什么有6個(gè)面？你怎么知道的？

（2）長(zhǎng)方體有12條棱，這12條棱的長(zhǎng)度和位置關(guān)系如何？

（3）長(zhǎng)方體有8個(gè)頂點(diǎn)，每一個(gè)頂點(diǎn)和面、棱的關(guān)系是什么？

師：你們可以從中選擇一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行獨(dú)立思考，然后交流。

生1：長(zhǎng)方體有6個(gè)面，我是通過(guò)實(shí)物數(shù)出來(lái)的，有上、下面，左、右面和前、后面。相對(duì)的面都是長(zhǎng)方形，也可能有一組面是正方形，面積相等。

生2：我們?cè)谌昙?jí)學(xué)過(guò)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形有4條邊，4個(gè)角。如A4紙就是長(zhǎng)方形的，把一張張A4紙擺在一起，就是一個(gè)長(zhǎng)方體。

生3：受同學(xué)的啟發(fā)，我想到把一張長(zhǎng)方形的紙向上平移，請(qǐng)大家想象，掃過(guò)的空間就形成了長(zhǎng)方體。原來(lái)下面是4條邊、4個(gè)角，平移后出現(xiàn)一個(gè)上面，也有了4條邊和4個(gè)角，此時(shí)就是8條邊、8個(gè)角，在上、下面之間起支撐作用的還有4條邊，與此同時(shí)，在四周又出現(xiàn)了前、后、左、右四個(gè)面，所以一共是6個(gè)面、12條邊、8個(gè)角。

師：角是構(gòu)成平面圖形的元素，是從一點(diǎn)引出兩條邊組成的圖形。在長(zhǎng)方體中的角已經(jīng)由兩條邊變成了相交于一點(diǎn)的三條邊。為了區(qū)分平面圖形和立體圖形，在立體圖形中，邊就變成了棱，角就變成了頂點(diǎn)。

在這里，其他問(wèn)題的互動(dòng)交流不再贅述。

張丹教授研究的“問(wèn)題引領(lǐng)式學(xué)習(xí)”包括三個(gè)要點(diǎn)：（1）學(xué)會(huì)提問(wèn)，發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的意愿和能力是學(xué)習(xí)的重要目標(biāo)；（2）因問(wèn)而學(xué)，真正的學(xué)習(xí)從學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題開始，不斷產(chǎn)生問(wèn)題也成為學(xué)習(xí)的動(dòng)力；（3）問(wèn)學(xué)交融，學(xué)生一方面在不斷地發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問(wèn)題中學(xué)習(xí)、應(yīng)用和發(fā)展所學(xué)的知識(shí)、方法，另一方面在學(xué)習(xí)過(guò)程中不斷發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題。所以教師要善于提問(wèn)，要給予學(xué)生質(zhì)疑的時(shí)間和空間，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，培育學(xué)生的核心素養(yǎng)。