基于經(jīng)驗(yàn)似然方法的BINAR(1)過(guò)程參數(shù)的置信域

劉 燕, 肖玉山

(長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院, 長(zhǎng)春 130022)

0 引 言

整數(shù)值時(shí)間序列由于其應(yīng)用廣泛而備受關(guān)注, 例如: Steutal等[1]提出了二項(xiàng)稀疏算子“°”; Al-Osh等[2]利用“°”提出了一階整數(shù)值自回歸(INAR(1))模型; Liu等[3]研究了邊緣分布為零截?cái)郟oisson分布的INAR(1)過(guò)程; Li等[4]研究了門(mén)限INAR(1)過(guò)程; Yu等[5]研究了帶有隨機(jī)系數(shù)的INAR(1)過(guò)程; Li等[6]給出了基于整數(shù)值門(mén)限自回歸時(shí)間序列模型對(duì)腦膜炎病人數(shù)的非參數(shù)Bayes分析. 在實(shí)際應(yīng)用中, 存在多組自相關(guān)計(jì)數(shù)數(shù)據(jù), 因此Pedeli等[7]建立了二維一階整數(shù)值自回歸(BINAR(1))模型:

(1)

其中A為二階對(duì)角陣且對(duì)角線元素獨(dú)立, “°”運(yùn)算與常規(guī)矩陣乘法運(yùn)算相同, 且具有二項(xiàng)稀疏算子的運(yùn)算性質(zhì),α1∈[0,1),α2∈[0,1), {εt}為獨(dú)立同分布的非負(fù)整數(shù)值隨機(jī)序列, 且其分量與“°”中的求和序列及{Xt-l}(l≥1)均獨(dú)立.若{Xt}滿足Latour[8]給出的分布, 則可推出過(guò)程(1)為嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程.基于此， 本文將經(jīng)驗(yàn)似然(EL)方法應(yīng)用于BINAR(1)過(guò)程， 建立經(jīng)驗(yàn)似然比(ELR)統(tǒng)計(jì)量， 并尋找其極限分布， 以構(gòu)造參數(shù)的置信域, 解決參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題.

1 置信域推斷及假設(shè)檢驗(yàn)

令E(εj,t)=λj(j=1,2), Cov(ε1,t,ε2,t)=φ, 且均有限, 則有

E(Xj,t|Xj,t-1)=αjXj,t-1+λj(j=1,2), Cov(X1,t,X2,t|X1,t-1,X2,t-1)=φ.

為利用EL方法對(duì)過(guò)程(1)的參數(shù)進(jìn)行置信域推斷, 需假設(shè)該過(guò)程滿足下列條件：

(i) {Xt}是嚴(yán)平穩(wěn)遍歷過(guò)程; (ii)‖Xt‖6<∞.

根據(jù)條件最小二乘(CLS)估計(jì)方法, 令

模型(1)的截面ELR函數(shù)為

(2)

利用Lagrange乘子法, 令

其中γ與b∈5為L(zhǎng)agrange乘子.由可得

(3)

為證明L(θ)的極限分布, 先引入如下引理.

對(duì)于非主對(duì)角元, 有

證明: 根據(jù)文獻(xiàn)[9]中引理2.1, 有

同理, 令

Fn=σ(X1,0,X1,1,…,X1,n,X2,0,X2,1,…,X2,n),

則

所以{Mn,Fn,n≥0}是鞅, 又由E|X1,tX2,t|<∞可知,

{[(X1,t-α1X1,t-1-λ1)(X2,t-α2X2,t-1-λ2)-φ],n≥1}

是均勻可積的.由文獻(xiàn)[10]中定理1.1可知,

因此, 由文獻(xiàn)[11]中推論3.2和鞅中心極限定理, 可得

同理, 對(duì)任意的c=(c1,c2,c3,c4,c5)T∈5(0,0,0,0,0)T, 當(dāng)n→∞時(shí), 有

其中

根據(jù)Cramer-Wold技巧, 結(jié)論得證.

證明: 記Dt(θ)為Dt,b(θ)為b.

2) 由文獻(xiàn)[10]中定理1.1可知,

(4)

其中Ω(θ)由引理1定義.因此

又根據(jù)式(4)知,σ1+op(1)≤βTΩnβ≤σp+op(1), 其中σp≥σ1≥0是Ω(θ)的最大和最小特征根.因此‖b‖(βTΩnβ+op(1))=Op(n-1/2), 即‖b‖=Op(n-1/2).

證明： 令Dt,b,Zt均由引理2定義.由Taylor公式可將式(3)展開(kāi)為如下形式：

(5)

因此

(6)

(7)

將式(6)和式(7)代入式(5), 可得

其中

根據(jù)引理1及式(4), 可得

證畢.

由定理1直接可得:

由定理2直接可得:

2 數(shù)值模擬

下面基于定理1的EL方法, 通過(guò)數(shù)值模擬計(jì)算過(guò)程(1)參數(shù)置信域的覆蓋率. 為表明EL方法的有效性, 同時(shí)基于引理2的正態(tài)逼近(normal approximation, NA)法構(gòu)造參數(shù)置信域并計(jì)算覆蓋率, 其中用式(4)中的Ωn估計(jì)漸近方差中的Ω.

將過(guò)程(1)的擾動(dòng)項(xiàng){εt}分別定義為二維Poisson分布(BP(λ1,λ2,φ))[12]和二維負(fù)二項(xiàng)分布(BVNB(λ1,λ2,β))[13], 分別記為模型Ⅰ和模型Ⅱ.針對(duì)模型Ⅰ, 選取8組參數(shù)真值: (0.1,0.1,2,2,1),(0.1,0.1,2,4,1),(0.3,0.3,2,2,1),(0.3,0.3,2,4,1),(0.1,0.3,2,2,1),(0.1,0.3,2,4,1),(0.2,0.4,3,3,1),(0.2,0.4,3,5,1); 針對(duì)模型Ⅱ, 選取8組參數(shù)真值: (0.1,0.1,2,2,1/4),(0.1,0.1,2,4,1/8),(0.3,0.3,2,2,1/4),(0.3,0.3,2,4,1/8),(0.1,0.3,2,2,1/4),(0.1,0.3,2,4,1/8),(0.2,0.4,3,3,1/9),(0.2,0.4,3,5,1/15).樣本容量n分別取100,300和500.圖1給出了當(dāng)n=100時(shí)模型Ⅰ和模型Ⅱ在給定參數(shù)情形下模擬產(chǎn)生的樣本路徑, 其中Xt兩個(gè)分量的樣本路徑分別用實(shí)線和虛線表示.令置信度(1-δ)分別取0.95 和0.90, 利用引理2和定理1, 分別基于NA方法和EL方法計(jì)算參數(shù)θ置信域的覆蓋率.所有模擬結(jié)果均重復(fù)試驗(yàn)1 000次.兩個(gè)模型得到的覆蓋率結(jié)果分別列于表1和表2.

圖1 模型Ⅰ和模型Ⅱ的樣本路徑

表1 模型Ⅰ中參數(shù)θ的覆蓋率

表2 模型Ⅱ中參數(shù)θ的覆蓋率

由表1和表2可見(jiàn): 隨著樣本容量n的增加, 基于EL方法和NA方法得到的參數(shù)置信域的覆蓋率逐漸增大, 并趨于置信度(1-δ), 因此用兩種方法得到過(guò)程(1)的參數(shù)置信域均可行; 對(duì)于相同模型和相同樣本量, EL方法略大于NA方法的覆蓋率, 因此對(duì)于該過(guò)程, EL方法略?xún)?yōu)于NA方法; 對(duì)于不同模型和相同樣本容量, 模型Ⅱ基于NA方法得到的覆蓋率略大于模型Ⅰ的覆蓋率, 因此NA方法對(duì)于模型Ⅱ表現(xiàn)更好, 兩個(gè)模型基于EL方法得到的覆蓋率無(wú)明顯差別. 對(duì)模擬結(jié)果進(jìn)行多次重復(fù)試驗(yàn), 結(jié)果均與表1和表2的結(jié)論一致.